高中数学第二章统计2.2用样本估计总体2.2.1用样本估计总体课件新人教版A

2.2.1用样本的频率分布估计总体分布1.了解分析数据的方法,知道估计总体频率分布的方法.2.了解频率分布折线图和总体密度曲线,会画频率分布直方图和茎叶图.3.理解频率分布直方图和茎叶图及其应用.1.分析数据的方法(1)借助于图形.用图将各个数据画出来,作图可以达到两个目的,一是从数据中提取信息;二是利用图形传递信息.(2)借助于表格.用紧凑的表格改变数据的排列方式,通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.2.频率分布直方图(1)绘制步骤:①求极差,即一组数据中最大值与最小值的差.②决定组距与组数.组距与组数的确定没有固定的标准.一般来说,数据分组的组数与样本容量有关,样本容量越大,所分组数越多.当样本容量不超过100时,按照数据的多少,常分为5~12组.③将数据分组:按组距将数据分组,分组时,各组均为左闭右开区间,最后一组是闭区间.④

列频率分布表.一般分四列:分组、频数累计、频数、频率,最后一行是合计.其中频数合计应是样本容量,频率合计是1.⑤画频率分布直方图.画图时,应以横轴表示样本数据,纵轴表示频率/组距.其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积.(2)意义:在频率分布直方图中,每个小长方形的面积表示相应组的频率,所有小长方形的面积的总和等于1.(3)频率分布的估计:频率分布是指各个小组数据在样本容量中所占比例的大小,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布,频率分布表是反映样本的频率分布的表格.通过频率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布.归纳总结频率分布直方图的特征:直观、形象地反映了样本的分布规律,可以大致估计出总体的分布.但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容,把数据绘制成频率分布直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.【做一做1】

如图所示是一个容量为200的样本的频率分布直方图,请根据图形中的数据填空.(1)样本数据落在[5,9)内的频率是

;

(2)样本数据落在[9,13)内的频数是

.

答案:(1)0.32

(2)723.频率分布折线图和总体密度曲线(1)类似于频数分布折线图,连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.一般地,当总体中的个体数较多时,抽样时样本容量就不能太小.例如,如果要抽样调查一个省乃至全国的居民的月均用水量,那么样本容量就应比调查一个城市的时候大.可以想象,随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.归纳总结频率分布折线图反映了数据的变化趋势.总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息.(2)估计方法:实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但是在实际应用中我们并不知道它的具体表达形式,需要用样本来估计.由于样本是随机的,不同的样本得到的频率分布折线图不同;即使对于同一个样本,不同的分组情况得到的频率分布折线图也不同.频率分布折线图是随样本容量和分组情况的变化而变化的,因此不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线.【做一做2】

对于频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是(

)A.频率分布折线图与总体密度曲线无关B.频率分布折线图就是总体密度曲线C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线,即为总体密度曲线答案:D4.茎叶图(1)制作方法:将所有两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出(也可以没有大小顺序).(2)优缺点:在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好.它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,这对数据的记录和表示都能带来方便.但是当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方便,因为每一个数据都要在图中占空,如果数据很多,枝叶就会很长.归纳总结茎叶图的特征:统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.【做一做3-1】

没有信息的损失,所有的原始数据都可以从图中得到的统计图是(

)A.总体密度曲线 B.茎叶图C.频率分布折线图 D.频率分布直方图答案:B【做一做3-2】

如图是12名学生某次测试分数的茎叶图,由图可知,这些分数的最低分与最高分之和为

.

答案:1471.理解频率分布直方图剖析:(1)频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于样本中数据落在该组的频率,也就是样本中数据落在该组的百分比.(3)频率分布直方图中各小长方形的面积和等于1.(4)频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.(5)频率分布直方图能够把大量数据的分布情况直观地表现出来,但是在频率分布直方图中我们读不出原始的数据.也就是说,在反映样本的频率分布方面,频率分布表能确切地反映相关数据,频率分布直方图能直观地反映相关数据的分布规律,它们起着相互补充的作用.2.频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图和茎叶图的优缺点比较剖析:如下表:题型一题型二题型三频率分布直方图的绘制与应用【例1】

一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况,在一块试验地里抽取了100个麦穗,量得长度如下(单位:cm):6.5

6.4

6.7

5.8

5.9

5.9

5.2

4.0

5.4

4.65.8

5.5

6.0

6.5

5.1

6.5

5.3

5.9

5.5

5.86.2

5.4

5.0

5.0

6.8

6.0

5.0

5.7

6.0

5.56.8

6.0

6.3

5.5

5.0

6.3

5.2

6.0

7.0

6.46.4

5.8

5.9

5.7

6.8

6.6

6.0

6.4

5.7

7.46.0

5.4

6.5

6.0

6.8

5.8

6.3

6.0

6.3

5.65.3

6.4

5.7

6.7

6.2

5.6

6.0

6.7

6.7

6.05.6

6.2

6.1

5.3

6.2

6.8

6.6

4.7

5.7

5.75.8

5.3

7.0

6.0

6.0

5.9

5.4

6.0

5.2

6.06.3

5.7

6.8

6.1

4.5

5.6

6.3

6.0

5.8

6.3题型一题型二题型三根据上面的数据列出频率分布表、绘出频率分布直方图,并估计长度在[5.75,6.05)cm之间的麦穗在这批麦穗中所占的百分比.分析:依据步骤画出频率分布直方图;用样本中的百分比(即频率)来估计长度在[5.75,6.05)cm之间的麦穗在这批麦穗中所占的百分比.解:步骤是:(1)计算极差,7.4-4.0=3.4(cm).(2)决定组距与组数.若取组距为0.3

cm,由于需分成12组,组数合适.于是取定组距为0.3

cm,组数为12.(3)将数据分组.使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点稍微减小一点.则所分的12个小组可以是[3.95,4.25),[4.25,4.55),[4.55,4.85),…,[7.25,7.55].题型一题型二题型三(4)列频率分布表.对各个小组作频数累计,然后数频数,算频率,列频率分布表,如下表所示:题型一题型二题型三题型一题型二题型三(5)画频率分布直方图,如图.从表中看到,样本数据落在[5.75,6.05)之间的频率是0.28,于是可以估计,在这块地里,长度在[5.75,6.05)cm之间的麦穗约占28%.反思本题画频率分布直方图时,小长方形的高易错用该组的频率的大小来表示.其原因是不清楚频率分布直方图纵轴的意义.由于画频率分布直方图的步骤比较烦琐,因此在实际操作的过程中要有足够的耐心.题型一题型二题型三【变式训练1】

为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为100的样本,数据的分组情况与频数如下:[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图;(3)根据上述图表,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几;(4)估计数据小于11.20的可能性是百分之几.题型一题型二题型三解:(1)频率分布表如下:题型一题型二题型三(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图:(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.(4)数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率,设为x,则(x-0.41)÷(11.20-11.15)=(0.67-0.41)÷(11.25-11.15),所以x-0.41=0.13,即x=0.54,从而估计数据小于11.20的可能性是54%.题型一题型二题型三茎叶图的绘制与应用【例2】

某中学高一(2)班甲、乙两名同学自进入高中以来每次数学考试成绩情况如下:甲的得分:95,75,86,89,71,65,76,88,94,110,107;乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图.请根据茎叶图对两人的数学成绩进行比较.分析:用中间的数字表示两位同学得分的十位数和百位数,两边的数字分别表示两人每次数学考试成绩的个位数.题型一题型二题型三解:甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示:从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,且集中在90分左右;甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,且集中在80分左右.因此乙同学发挥比较稳定,且总体得分情况比甲同学好.题型一题型二题型三反思用茎叶图表示数据的特点如下:(1)用茎叶图表示数据有两个突出的优点,一是统计图上没有原始信息的损失,所有的数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图可以在比赛时随时记录,用3|

3

8

9就表示了33,38,39这3个数据,方便记录与表示.(2)茎叶图在样本数据较少,较为集中且位数不多时比较适用.因为它较好地保留了原始数据,所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布.题型一题型二题型三【变式训练2】

在某高中篮球联赛中,甲、乙两名运动员的得分如下(单位:分):甲的得分:14,17,25,26,30,31,35,37,38,39,44,48,51,53,54;乙的得分:6,9,15,17,18,21,27,28,33,35,38,40,44,46,56.(1)用茎叶图表示上面的样本数据;(2)分析甲、乙两名运动员中哪一位发挥得更加稳定.题型一题型二题型三解:(1)茎叶图如图所示:(2)从茎叶图中可以看出,甲运动员的得分大致对称,乙运动员的得分也大