函数的极限课件

函数的极限

函数的极限第一节讨论了数列的极限，由于数列是一种特殊的函数，即定义在正整数集上的函数xn=f(n)，因而，数列有两个基本特点：一是自变量n(n∈N*)的变化是间断的(跳跃的)；二是n无限制地增大.在生产和科学技术中，所讨论的自变量往往是连续变化的并且绝对值无限增大或自变量趋近于某一点时函数的变化趋势，这就是本节要学习的函数的极限问题.

一、函数极限的定义当自变量绝对值无限增大时，函数f(x)的极限1.设f(x)为定义于无限区间上的函数，所谓x的绝对值无限增大，包括如下三种情形：(1)

x取正值无限增大，记作x→+∞.

(2)

x取负值而|x|无限增大，记作x→－∞.

(3)

x不限定正负而|x|无限增大，记作x→∞.

一、函数极限的定义考察函数f(x)=xx+1，从图2-5中可以看出，当x→+∞时，函数f(x)=xx+1无限趋近于常数1，此时称1为函数f(x)=xx+1当x→+∞时的极限.图2-5一、函数极限的定义当x→+∞时函数f(x)的极限与当n→∞时数列f(n)的极限十分类似，所不同的只是自变量x→+∞与n→∞的方式不同：x是连续地趋于+∞，而n是间断地趋于∞.因此，它们的极限定义也极为类似，只需把数列极限中的“存在正整数N”用“存在正数M”来代替，当“n>N时”用“当x>M时”来代替，就可得下述定义.一、函数极限的定义定义4设函数f(x)定义在区间(a,+∞)上，且存在常数A，如果对于任意给定的ε>0，总存在正数M，当x>M时，恒有

|f(x)－A|<ε成立，则称A为x→+∞时函数f(x)的极限，记为

limx→+∞f(x)=A或f(x)→A(x→+∞)

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关于x→－∞时函数极限的定义，可仿照定义4给出.一、函数极限的定义定义5设函数f(x)定义在区间(－∞,a)上，且存在常数A，如果对于任意给定的ε>0，总存在正数M，当x<－M时，恒有

|f(x)－A|<ε成立，则称A为x→－∞时函数f(x)的极限，记为

limx→－∞f(x)=A或f(x)→A(x→－∞)

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为了准确描述函数f(x)当x的绝对值无限增大时的变化情况，我们给出函数极限的“ε-M”定义.

一、函数极限的定义定义6如果对于任意给定的正数ε(不论多么小)，总存在一个正数M，使得当|x|>M时，恒有|f(x)－A|<ε成立，则称当x→∞时，f(x)的极限为A，记作对于给定的正数ε，作两条平行线y=A－ε和y=A+ε，总有一个正数M存在，当x∈(－∞,－M)∪(M,+∞)时，y=f(x)的图形全部落在这两条平行线之间(见图2-6).

一、函数极限的定义读者可仿照定义6给出x→+∞和x→－∞时函数极限的“ε-M”定义的几何解释.

图2-6一、函数极限的定义【例14】一、函数极限的定义【例15】一、函数极限的定义“ε-M”证法的一般步骤是：①ε>0；②令f(x)－A<ε；③推出x>φ(ε)；④取M=φ(ε).其中关键的一步是由

f(x)－A<εx>φ(ε)，找到M=φ(ε)，并用定义叙述结论.利用定义不难推出如下定理成立.注一、函数极限的定义定理9一、函数极限的定义【例16】一、函数极限的定义当自变量趋向于某一点时，函数f(x)的极限2.【例17】图2-7一、函数极限的定义一、函数极限的定义一、函数极限的定义定义7设函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε(不论多么小)，总存在一个正数δ，使得当0<|x－x0|<δ时，恒有

|f(x)－A|<ε成立，则称当x→x0时，f(x)的极限为A，记作

一、函数极限的定义对于任意给定的正数ε，作两条平行线y=A－ε和y=A+ε，总有一个正数δ存在，当0<|x－x0|<δ，即x0－δ<x<x0+δ时，y=f(x)的图形全部落在这两条平行线之间(见图2-8).

图2-8一、函数极限的定义①在极限定义中，要求|x－x0|>0是为了去掉x=x0的情形.因函数f(x)在x=x0处是否有定义并不影响函数f(x)在x→x0时是否有极限.但当x→1时，其极限为4，所以定义中的0<|x－x0|<δ不能写成|x－x0|<δ.②δ是由给定的ε和不等式|f(x)－A|<ε来确定的，故δ与ε有关，且ε越小δ就越小.有时为了表示这种依赖关系，就写成δ(ε)，但是δ的值不是唯一的(若δ满足要求，则比δ小的任何正数都满足要求).③由定义求函数极限时，常常先限定自变量x的变化范围：|x－x0|<δ0.由于我们考察的是：当x→x0时，函数f(x)的变化趋势，所以在点x0邻域(x0－δ0,x0+δ0)之外，函数f(x)的变化是无关紧要的.注一、函数极限的定义【例18】一、函数极限的定义【例19】一、函数极限的定义“ε-δ”证法的一般步骤是：①将f(x)－A化简或适当放大成f(x)－A≤φ(x－x0)；②ε>0，令φ(x－x0)<ε，解得x－x0<δ(ε)；③取δ=δ(ε)或δ=min{1,δ(ε)}等；④用“ε-δ”语言叙述结论.其中关键的一步是“瞄准”式子x－x0，由

f(x)－A≤φ(x－x0)<εx－x0<δ(ε)，找到δ.有时为了找δ，还要辅以放大不等式，先不妨设x－x0<1等技巧.注一、函数极限的定义单边极限3.在定义4中，所谓的“x→x0”指的是x从x0的左、右两侧趋近于x0，我们把f(x)在点x0的极限称为双边极限.但在有些问题中，往往只需要考虑x从x0的一侧趋近于x0时，函数f(x)的变化趋势，我们把f(x)在点x0的一侧趋近于x0时的极限称为单边极限.一、函数极限的定义定义8设函数f(x)在x0的左侧有定义，如果当x从x0的左侧(x<x0)趋近于x0(记为x→x－0)时f(x)以A为极限，即如果对于任意给定的ε>0，总存在一个正数δ，使得当0<x0－x<δ(或x0－δ<x<x0)时，恒有

|f(x)－A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→x0时的左极限，记为类似地有下面的定义.一、函数极限的定义定义9设函数f(x)在x0的右侧有定义，如果当x从x0的右侧(x>x0)趋近于x0(记为x→x+0)时f(x)以A为极限，即如果对于任意给定的ε>0，总存在一个正数δ，使得当0<x－x0<δ(或x0<x<x0+δ)时，恒有

|f(x)－A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→x0时的右极限，记为

为了精确描述函数f(x)当x无限趋近于某一点(即x→x0)时的变化情况，我们给出函数极限的“ε-δ”定义.

由双边极限及单边极限的定义不难推出，函数f(x)在点x0的极限与函数f(x)在点x0的左、右极限有如下关系.一、函数极限的定义定理10一、函数极限的定义【例20】一、函数极限的定义定义10如果因变量Y在自变量的某一变化过程中，无限趋近于某一常数A，则称A为变量Y的极限，简记为limY=A或Y→A

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利用极限的精确定义证明极限时，有关“ε”的特性和“N，M，δ”的寻找方法，本书不再详细介绍，有兴趣的读者可参看数学分析有关教材和参考书.二、函数极限的性质定理11(有界性定理)若limx→x0f(x)=A，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界，即存在正数M和δ，当0<x－x0<δ时，有

f(x)≤M.

证按极限定义，对于任意给定的ε>0，总存在δ>0，使得当x满足0<x－x0<δ时，恒有