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交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛

第二节我们讨论了正项级数的审敛法，那么，对任意项级数我们又该如何来审敛呢？这一节我们首先讨论一种特殊的任意项级数——交错级数的审敛问题.一、交错级数及其审敛法设级数u1,u2,u3,…,un,…的每一项都是正数，则称级数

u1－u2+u3－u4+…+(－1)n－1un+…或

－u1+u2－u3+u4－…+(－1)nun+…为交错级数.例如，级数

都是交错级数.对于交错级数，我们有下面的莱布尼兹(Leibniz)定理.一、交错级数及其审敛法定理7一、交错级数及其审敛法证我们就n是奇数或偶数分别考察Sn.设n为偶数，此时

Sn=S2m=u1－u2+u3－u4+…+u2m－1－u2m

=(u1－u2)+(u3－u4)+…+(u2m－1－u2m).由已知条件(1)可知，S2m的每个括号内的值都大于等于0，因而

S2≤S4≤…≤S2m≤….又可将S2m改写成

S2m=u1－(u2－u3)－…－(u2m－2－u2m－1)－u2m一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法上式仍是交错级数，也满足定理7的两个条件，所以级数也收敛，且其和

|rn|≤un+1.我们称满足定理1两个条件的交错级数为莱布尼兹型交错级数.例如，级数

由于un=1n是单调减小的，且limn→∞un=0，所以该交错级数收敛且为莱布尼兹型交错级数.而级数(－1)+2+(－3)+4+(－5)+…+(－1)nn+…虽是交错级数，但却不是莱布尼兹型交错级数.一、交错级数及其审敛法【例22】一、交错级数及其审敛法【例23】二、绝对收敛与条件收敛前面我们已经讨论了正项级数、交错级数收敛性的判别方法，那么，对于其他的级数又如何来判别呢？下面给出任意项级数的概念.设有级数其中u

n(n=1,2,…)为任意实数，这样的级数称为任意项级数.为了判定任意项级数的收敛性，通常先考察其各项的绝对值所组成的正项级数二、绝对收敛与条件收敛定理8二、绝对收敛与条件收敛定义3二、绝对收敛与条件收敛【例24】二、绝对收敛与条件收敛定义4二、绝对收敛与条件收敛【例25】二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件

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