函数的连续与间断

函数的连续与间断函数的连续与间断前面学习了极限，通过极限理论进一步考察函数的变化关系.可以发现，在自然界中有许多现象，如植物的生长、气温的变化、河水的流动等都是连续变化的.就植物的生长来看，当时间变化很微小时，植物的变化也是很微小的，这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性.本节主要讨论连续函数的概念和间断的概念及其分类.

一、函数的连续性函数的增量1.定义15设自变量x从它的初值x0变到终值x1，则终值与初值之差x1－x0称为自变量的改变量(或增量)，记为Δx=x1－x0.若函数y=f(x)在点x0处的某个邻域有定义，当自变量在此邻域内x从x0变到x0+Δx时，函数相应的改变量记为Δy，则有Δy=f(x0+Δx)－f(x0)

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与自变量一样，函数的改变量也称为函数的增量Δy

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函数的增量是可正可负的.若f(x0+Δx)>f(x0)，则Δy>0；若f(x0+Δx)<f(x0)，则Δy<0

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一、函数的连续性这个关系式的几何解释如图2-11所示.图2-11一、函数的连续性【例45】一块正方形的金属薄板，受热膨胀后，边长和面积都在增大.当边长有一增量Δx时，求其面积A的增量.解设面积与边长的函数关系为A=x2，当自变量x有一个改变量Δx时，相应函数的增量为ΔA.ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x•Δx+(Δx)2.一、函数的连续性函数的连续性概念2.设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当Δx趋向于零时，函数相对应的增量Δy也趋向于零，即limΔx→0Δy=0成立，则称函数y=f(x)在点x0连续.

在定义16中，若令x=x0+Δx,即Δx=x－x0，则当Δx→0时，也就是当x→x0时.又因为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而limΔx→0Δy=0可以改写为

limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).

因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述如下.定义16一、函数的连续性定义17设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有limx→x0f(x)=f(x0)成立，则称函数y=f(x)在点x0处连续，且称x0为函数y=f(x)的连续点.

更直观一些又可表述为：函数在一点连续应满足三个条件：(1)函数y=f(x)在点x0有定义.

(2)limx→x0f(x)存在.

(3)极限值等于该点的函数值f(x0)

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如果借用极限定义的“ε-δ”语言，连续性的定义又可表述如下.

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的小正数ε，总存在正数δ，使得当|x－x0|<δ时，恒有|f(x)－f(x0)|<ε成立，则称函数y=f(x)在点x0连续.一、函数的连续性定义18如果函数y=f(x)满足limx→x-0f(x)=f(x0)［或limx→x+0f(x)=f(x0)］，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.

设函数y=f(x)在区间［a,b］内有定义，如果有limx→b－f(x)=f(b)，那么我们就称函数y=f(x)在右端点b左连续；如果limx→a+f(x)=f(a)，那么我们就称函数y=f(x)在左端点a右连续.一、函数的连续性定义19如果一个函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续.如果一个函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续，又在左端点a右连续，右端点b左连续，则称函数y=f(x)在闭区间［a,b］上连续.如果函数y=f(x)在整个定义域内连续，则称该函数为连续函数.一、函数的连续性定理24函数y=f(x)在点x0处连续的充要条件是函数y=f(x)在点x0既左连续又右连续.一、函数的连续性【例46】证明y=cosx在(－∞,+∞)内是连续的.一、函数的连续性连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线.通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以联想一下，若函数在某一点不连续，会出现什么情形呢？下面我们就来讨论这个问题：函数的间断点.注二、函数的间断点定义20若函数f(x)在点x0的某一空心邻域内有定义，且f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处间断，称点x0为f(x)的间断点.

由定义17知，函数f(x)在点x0处连续的条件是：(1)函数f(x)在点x0的某邻域内有定义.

如果其中任何一条不满足，即函数f(x)有下列三种情形之一，那么点x0为f(x)的间断点：(1)f(x)在点x0处没有定义.

二、函数的间断点定义21设点x0为f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；若f(x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在，则称点x0为函数f(x)的第二类间断点.

二、函数的间断点二、函数的间断点二、函数的间断点图2-12二、函数的间断点【例47】二、函数的间断点【例48】二、函数的间断点