2019届北京专用高考数学一轮复习第二章函数第七节函数的图象讲义文

第七节函数的图象总纲目录教材研读1.描点法作图考点突破2.图象变换考点二函数图象的识辨考点一作函数的图象考点三函数图象的应用1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的

性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画

出函数的图象.教材研读2.图象变换(1)平移变换:

(2)伸缩变换:y=f(x)

y=⑤

f(ωx)

;y=f(x)

y=⑥

Af(x)

.(3)对称变换:y=f(x)

y=⑦-f(x)

;y=f(x)

y=⑧

f(-x)

;y=f(x)

y=⑨-f(-x)

.函数图象对称变换的相关结论(1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象.(2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象.(3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.(4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.(4)翻折变换:y=f(x)

y=⑩

f(|x|)

;y=f(x)

y=

|f(x)|

.

1.函数y=x|x|的图象大致是

()

答案

A

y=x|x|=

为奇函数,奇函数图象关于原点对称.A2.为了得到函数y=2x-2的图象,可以把函数y=2x的图象上所有的点

(

)A.向右平行移动2个单位长度

B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动2个单位长度

D.向左平行移动1个单位长度答案

B因为y=2x-2=2(x-1),所以将函数y=2x的图象上所有的点向右

平行移动1个单位长度即可得到y=2(x-1)=2x-2的图象.故B正确.B3.函数y=f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示),其定义域为[-1,0)

∪(0,1],则不等式f(x)-f(-x)>-1的解集是

()

A.{x|-1≤x≤1且x≠0}

B.{x|-1≤x<0}C.

D.

D答案

D由图可知,f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),

∴f(x)-f(-x)>-1⇔2f(x)>-1⇔f(x)>-

⇔-1≤x<-

或0<x≤1.故选D.4.函数y=f(x)=

的图象大致为

()

A答案

A∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D.∵当0<x<π时,sinx>0,∴f(x)=

>0,∴在(0,π)上,f(x)的图象在x轴的上方,可排除B.故选A.5.(2018北京朝阳期中)已知函数f(x)=

若方程f(x)=m有2个不相等的实数根,则实数m的取值范围是

.答案

解析函数f(x)的图象如图所示,要使方程f(x)=m有2个不相等的实数,即

函数f(x)的图象与函数y=m的图象有2个不同的交点,只需1<m≤

.

所以实数m的取值范围是

.典例1分别画出下列函数的图象.(1)y=|lgx|;(2)y=2x+2;考点一作函数的图象(3)y=x2-2|x|-1;(4)y=

.考点突破解析(1)y=

的图象如图①.(2)将y=2x的图象向左平移2个单位即可得到y=2x+2的图象,如图②.(3)y=

的图象如图③.(4)y=

=1+

,先作出y=

的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y=

的图象,如图④.方法技巧函数图象的常见画法(1)直接法.当函数(或变形后的函数)是熟悉的基本函数时,或当易发现

函数的图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线

的一部分)时,可根据这些熟悉的函数或曲线的特征直接作出.(2)利用图象变换.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻

折、对称得到,则可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接

找到基本函数的要先变形.(3)描点法.当上面两种方法都失效时,可采用描点法.为了描少量点就能

得到比较准确的图象,常常需要判断函数的单调性、奇偶性.注意变形的等价性,不要扩大或缩小变量的取值范围.1-1作出下列函数的图象.(1)y=|x-2|·(x+1);(2)y=|log2(x+1)|.解析(1)当x-2≥0,即x≥2时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=

-

;当x-2<0,即x<2时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-

+

.∴y=

函数图象如图所示.(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻

折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图所示.

典例2函数y=f(x)=2x+sinx的大致图象是

()

考点二函数图象的识辨答案

A

解析因为f'(x)=2+cosx>0,所以函数f(x)单调递增,因此选A.A典例3

(2017北京海淀二模)函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式

可以为

()

A.f(x)=

-x2

B.f(x)=

-x3C.f(x)=

-ex

D.f(x)=

-lnxC答案

C解析∵y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,y=ex是增函数,∴对于C,f(x)=

-ex在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,与图象相符.对于A,取x=-10和x=-1,f(-10)<f(-1),与图象不符.对于B,f(-1)=0,与图象不符.对于D,f(x)的定义域为(0,+∞),与图象不符.故选C.方法技巧函数图象识辨的常用方法函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上

下位置;(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性;(4)由函数的周期性识辨图象;(5)由函数的特征点排除不符合要求的图象.2-1函数f(x)=

的大致图象是

()

B答案

B由函数解析式可得f(x)为偶函数,当|x|≤1时,f(x)=

=y≥0,即x2+y2=1(y≥0),当x>1时,f(x)=

,其图象在第一象限单调递减,故选B.考点三函数图象的应用命题角度一利用图象研究不等式典例4

(2015北京,7,5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)

≥log2(x+1)的解集是

()

A.{x|-1<x≤0}

B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}

D.{x|-1<x≤2}C答案

C解析作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:

其中函数

f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),由图象可知f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1},故选C.命题角度二利用图象研究函数零点个数典例5

(2017北京朝阳期末)已知函数

f(x)=

则函数g(x)=f(f(x))-

的零点个数是()A.4

B.3

C.2

D.1B答案

B解析由g(x)=f(f(x))-

=0,得f(f(x))=

,则f(x)=-

或f(x)=

.如图,f(x)的图象与直线y=-

有两个交点,f(x)的图象与直线y=

只有一个交点.则g(x)=f(f(x))-

的零点个数为3.故选B.典例6

(2015北京朝阳期末)已知定义在R上的函数f(x)=

若直线y=a与函数f(x)的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是

()A.(0,2)

B.[0,2)

C.(0,2]

D.[1,2]命题角度三利用函数的图象求参数的范围B答案

B解析由题意得f(x)=

在平面直角坐标系内作出其图象如图所示,

由图象易知,若直线y=a与函数f(x)的图象恰有两个交点,则a的取值范围

是[0,2),故选B.方法技巧(1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否

有解,有多少个解.(2)利用图象,可观察函数的单调性、定义域、值域、最值等.3-1已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实

根,则实数k的取值范围是

()A.

B.

C.(1,2)

D.(2,+∞)B答案

B

f(x)=

如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=

.

要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个

交点