高等数学第五章

第五章定积分及其应用

5.1定积分的概念与性质5.2微积分基本公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法5.4广义积分5.5定积分在几何上的应用﹡5.6定积分在物理上的应用湖南教育出版社下页5.1定积分的概念与性质1．两个实例2．定积分的定义3．定积分的几何意义4．定积分的简单性质首页上页下页5.1定积分的概念与性质例1

求曲边梯形的面积.1．两个实例5.1定积分的概念与性质（1）分割.

用分点

第i小曲边梯形的面积首页上页下页用以为宽，为高的小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，即5.1定积分的概念与性质（2）近似代替.（3）求和.（4）取极限.首页上页下页5.1定积分的概念与性质例2

求变速直线运动的路程.

设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间区间[a,b]上的t连续函数，且．求物体在这段时间内所走的路程．（1）分割.

用分点

（2）近似代替.首页上页下页5.1定积分的概念与性质（3）求和.（4）取极限.首页上页下页5.1定积分的概念与性质2．定积分的定义定义设f(x)是湿疹偏方定义在区间[a,b]上的有界函数,用分点把区间[a,b]分成n个小区间第i个小区间的长度记为积分和式

首页上页下页5.1定积分的概念与性质存在,且此极限值与对区间[a,b]http://的分法以及对点取法无关,则称这个极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分(简称积分),

首页上页下页5.1定积分的概念与性质被积函数被积表达式积分变量

积分下限

积分上限

积分区间

首页上页下页5.1定积分的概念与性质注意

（1）积分值只与被积函数和积分区间有关,与积分变量用什么字母表示无关.（2）在定积分的定义中,我们假定a<b,即积分下限小于积分上限.如果a>b

,规定当a=b时,规定如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,称f(x)在[a,b]上可积.

首页上页下页设函数f(x)在区间[a,b]上只有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积．定理15.1定积分的概念与性质设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积．定理2例3根据定积分的定义,证明其中C为常数.

证首页上页下页5.1定积分的概念与性质例4根据定积分的定义,求解

函数在区间[0,1]上连续,把区间[0,1]n等分分点为小区间的长度首页上页下页5.1定积分的湿疹偏方概念与性质首页上页下页5.1定积分的概念与性质3．定积分的几何意义首页上页下页5.1定积分的概念与性质几何意义：曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形面积的http://代数和．首页上页下页例5用定积分表示各图形阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出其值.

5.1定积分的概念与性质解

首页上页下页5.1定积分的概念与性质4．定积分的简单性质假定函数f(x),g(x)在所讨论的区间上都是可积的．性质1两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，即证

首页上页下页性质3(定积分的可加性)对于任意三个数a,b,c,总有5.1定积分的概念与性质性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号外面,即证

首页上页下页5.1定积分的湿疹偏方概念与性质首页上页下页5.1定积分的概念与性质首页上页下页5.1定积分的概念与性质例6

已知解

(性质3)首页上页下页性质4（保号性）如果在区间上[a,b]上5.1定积分的概念与性质证

(极限的保号性)首页上页下页5.1定积分的概念与性质性质5

如果在区间[a,b]上性质6（估值性质）设M和m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则证(性质5)首页上页下页5.1定积分的概念与性质性质7（积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点，使得证

函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(性质6)

首页上页下页5.1定积分的概念与性质f(x)在[a,b]上的平均值首页上页下页5.1定积分的概念与性质积分中值定理的几何解释：

由曲线y=f(x),直线x=a,x=b,y=0,所围成的曲边梯形的面积,等于以区间[a,b]为底、以该区间上某一点处的函数值为高的矩形的面积.首页上页下页5.2微积分基本公式1．积分上限的湿疹偏方函数及其导数2．微积分基本公式首页上页下页考察定积分记作积分上限函数5.2微积分基本公式1．积分上限的函数及其导数首页上页下页5.2微积分基本公式表示阴影部分的面积．几何意义:首页上页下页5.2微积分基本公式若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数定理1在区间[a,b]上可导，且它的导数就是f(x)，即证

由积分中值定理，有首页上页下页5.2微积分基本公式首页上页下页

(原函数存在定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上的原函数一定存在.

5.2微积分基本公式定理2例1解首页上页下页5.2微积分基本公式例2求下列函数的导数：解首页上页下页设函数f(x)在[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则2．微积分基本公式5.2微积分基本公式定理3证

首页上页下页5.2微积分基本公式0牛顿—莱布尼兹公式

(微积分基本公式)

首页上页下页5.2微积分基本公式例3计算解例4计算解首页上页下页例5计算5.2微积分基本公式解首页上页下页5.2微积分基本公式例6计算解首页上页下页5.2微积分基本公式例7已知自由落体的运动速度v(t)=gt

(m/s)，试求物体在运动开始后T(s)内下落的距离．解物体下落的距离为首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法1．定积的换元积分法2．定积分的分部积分法首页上页下页设F(x)是f(x)的一个原函数，则5.3定积分的换元积分法与分部积分法1．定积的换元积分法定理1设函数f(x)在[a,b]上连续，令定积分的换元公式

证

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例1计算解首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例2计算解首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例3计算解首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元公式也可以反过来用.例4求定积分解

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法另解

换元必换限

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例5求定积分解法1

解法2

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例6设f(x)在[a,b]上连续，试证明：（1）若f(x)在[a,b]上为偶函数，则（2）若f(x)在[a,b]上为奇函数，则证

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法（1）若f(x)为偶函数，则f(－x)=f(x)．（2）若f(x)为奇函数，则f(－x)=－f(x)．首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法几何解释：偶函数

奇函数首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例7计算下列定积分：解首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法2．定积分的分部积分法定理2设函数u=u(x)与v=v(x)在区间[a,b]上有连续的导数,则分部积分公式

证

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例8计算解

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例9计算解

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例10计算解

首页上页下页5.3定积分的换元积分法与分部积分法例11计算解

首页上页下页5.4广义积分1．无限区间上的广义积分*2.无界函数的广义积分首页上页下页5.4广义积分1．无限区间上的广义积分引例开口曲边梯形

在区间[1,b]上的曲边梯形的面积为“开口曲边梯形”的面积

首页上页下页5.4广义积分定义1上的广义积分，记作如果上述极限不存在，则称广义积分首页上页下页5.4广义积分注意

首页上页下页5.4广义积分例1求解

首页上页下页5.4广义积分如果f(x)的原函数为F(x)，则首页上页下页5.4广义积分例2判别广义积分解

发散

首页上页下页5.4广义积分例3讨论广义积分解

首页上页下页5.4广义积分*2.无界函数的广义积分引例:“开口曲边梯形”的面积

首页上页下页5.4广义积分定义2在区间[a,b]上的广义积分，记作如果上述极限不存在，则称广义积分点x=a称为函数f(x)的瑕点，广义积分也称为瑕积分.

首页上页下页5.4广义积分注意

首页上页下页例4计算5.4广义积分解

首页上页下页发散

5.4广义积分例5讨论广义积分解

首页上页下页5.5定积分在几何上的应用1．平面图形的面积2．旋转体的体积*3．平面曲线的弧长首页上页下页5.5定积分在几何上的应用1．平面图形的面积（1）由连续曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0所围成的平面图形的面积．首页上页下页5.5定积分在几何上的应用首页上页下页5.5定积分在几何上的应用（2）由曲线y=f(x),y=g(x)与直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积．首页上页下页5.5定积分在几何上的应用（3）由曲线与直线y=c,y=d,x=0所围成的平面图形的面积.

首页上页下页5.5定积分在几何上的应用（4）由曲线与直线y=c,y=d所围成的平面图形的面积.

首页上页下页5.5定积分在几何上的应用例1求由抛物线yxo解

首页上页下页5.5定积分在几何上的应用例2求由抛物线解

xoy两抛物线的交点为(－1,1)和(1,1).

首页上页下页5.5定积分在几何上的应用例3

解

xoy首页上页下页5.5定积分在几何上的应用特别，当a=b=r时，得圆的面积公式：首页上页下页5.5定积分在几何上的应用例4xoy解

首页上页下页2．旋转体的体积xoy面积微元

xoy微元法

5.5定积分在几何上的应用首页上页下页用微元法来求旋转体的体积过点作垂直于x轴的平面,其面积为体积微元

xoy5.5定积分在几何上的应用首页上页下页xoy5.5定积分在几何上的应用首页上页下页例5证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为xoy证

5.5定积分在几何上的应用首页上页下页求椭圆绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．例6

解

xoy旋转椭球体

球体体积

5.5定积分在几何上的应用首页上页下页例7

如下图所示的一个高8cm,上底半径为5cm,下底半径为3cm的圆台形工件,在中央钻一个半径为2cm的孔,如果该工件是铁制的,求它的重量.

5.5定积分在几何上的应用首页上页下页解

xoy铁的密度5.5定积分在几何上的应用首页上页下页5.5定积分在几何上的应用*3．平面曲线的弧长xoy设函数f(x)在[a,b]上具有一阶连续导数，计算曲线f(x)上从a到b的曲线弧的弧长．首页上页下页5.5定积分在几何上的应用例8

解

首页上页下页*5.6定积分在物理上的应用1．功

2．液体的压力3．定积分在经济上的应用首页上页下页o*5.6定积分在物理上的应用1．功功微元

x首页上页下页*5.6定积分在物理上的应用例1已知弹簧每拉长0.01m要用5N的力，求把弹簧拉长0.1m所作的功．解

(平衡点

)当x=0.01m时,F=5N,所以k=500(N/m).

首页上页下页o*5.6定积分在物理上的应用例2把一个带电量为+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处,它产生一个电场．电场中距离原点O为r的地方有一个单位正电荷．当这个单位正电荷在电场中从点a处沿r轴移动到点b(

a<b)处时，计算电场力F对它所作的功．r解

(k为常数)首页上页下页*5.6定积分在物理上的应用例3

修建一座大桥的桥墩时先要下围囹,并要抽尽其中的水以便施工．已知围囹(看作圆柱体)的直径为20m,水深为27m,围囹高出水面3m,求抽尽围囹中的水所作的功．解

首页上页下页*5.6定积分在物理上的应用