了解导数及其应用培训资料

第三章导数导数及其应用黄石三中郝海滨1/15/2025一．知识串讲

导数是高等数学的基础，是学习微分和积分的第一步。与其他数学知识一样，导数与人们的生活和生产实际有着密切的联系。

我们就是从曲线的切线和物体直线运动的速度出发来研究导数的基本概念的。1/15/2025曲线的切线

以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y)是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ，当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。1/15/2025（1）导数的概念

1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f’(x0)，或y|；1/15/2025

2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=1/15/2025

3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f’(x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为

y

y0=f’(x0)·(x－x0)．

4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度v就是路程s对于时间t的导数，即v(t)=s’(t).1/15/2025（2）常见函数的导数：(C)’

0,(c为常数)；(xn)’

mxn1

；(sinx)’

cosx；(cosx)’

sinx；(ex)’

ex；(ax)’

ax·lna；(lnx)’

；(logax)’

1/15/2025（3）导数的运算

1．函数的和或差的导数法则：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数的和或差，即(u±v)’＝u’±v’.2．函数的积的导教法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(uv)’＝u’v+v’u.1/15/20253．函数的商的导数法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即()’=

(v≠0)。1/15/20254．复合函数y=f[g(x)]的导数法则：设函数u＝g(x)在点x处有导数u’x＝g’(x)，函数f(u)在点x处的u处有导数y’u=f’(u)；则复合函数y=f[g(x)]在点x处也有导数，且y’x＝y’u·u’x，也可简述为：复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量u的导数乘以中间变量u对自变量x的导数。1/15/2025（4）函数的单调性

设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f’(x)>0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内为增函数；如果f’(x)<0，则函数y＝f(x)在区间(a,b)内为减函数；如果恒有f’(x)＝0，则y=f(x)在区间(a,b)内为常数函数.1/15/2025

1．设函数y=f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x都有f(x)＜f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；2．如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＞f(x0)，称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值。1/15/2025

3．判断法则：①对于在x0处连续的函数，如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，那么f(x0)是极小值．1/15/2025（5）函数的最大值与最小值

1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.1/15/2025

2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)内的极值；②将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.1/15/2025例1．已知函数f(x)=,判断f(x)在x＝1处是否可导？分析：函数在x=1的左右两侧的函数表达式是不同的，要判断

f(x)在x=1处的可导性，就要分两侧研究极限，比较它们的极限值是否相同。二．例题讲解

1/15/2025解：f(1)=1,

函数y=f(x)在x＝1处不可导．例1．已知函数f(x)=,判断f(x)在x＝1处是否可导？1/15/2025例2．设曲线y＝cosx在A(，)点处的切线倾斜角为θ，求cot(

θ)的值分析：要求cot(－θ)的值，就必须求出θ角的一个三角函数值，由于θ是切线的倾斜角，所以，切线的斜率k=tanθ.解：y

cosx,

y’

sinx,当x

时,k

sin

,

tanθ

，

cot(

θ)

.1/15/2025例3．证明：若函数y=f(x)是可导奇函数，那么它的导数y=f’(x)是偶函数。

证明：定义法：设f(x)为可导奇函数，则f(－x)＝－f(x),

f’(－x)===f’(x).即f’(－x)=f’(x)．

导函数为偶函数.

同理可证：可导的偶函数的导函数是奇函数．1/15/2025例4．求函数y＝sin(log3ex)的导数．分析一：将其变形为y＝sin(x·log3e)，其中log3e是常数，那么此函数是由u＝x·log3e与y＝sinu构成的复合函数；解法一：由y＝sin(log3ex)得y＝sin(x·log3e),

y’=cos(x·log3e)·log3e=cos(log3ex)·log3e.分析二：将原函数看作是由函数y＝sinu,u=log3v，v=ex，三个函数构成的复合函数．

解法二：原函数可看成y=sinu,u=log3v，v=ex，三个函数复合而成，

y’=cosu·()·ex

=cos(log3ex)·log3e

1/15/2025

说明：在求复合函数的导数时，应首先对函数解析式作认真的分析，经过合理的变形，使求解的过程达到简便准确的目的．复合函数的求导法则可推广用于多层复合函数的情形，如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，那么y’(x)=f’(u)·g’(v)·h’(x).1/15/2025例5．设<a<1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为

,求a,b的值。解：f’(x)=3x2－3ax=3x(x－a)，当x变化时，f’(x),f(x)的变化情况列表如下：1/15/2025当x=0时,f(x)取得极大值b，在x=a处取得一个极小值f(a)=，而f(0)>f(a)，f(－1)<f(1)，∴需要比较f(0)与f(1)的大小，∵f(0)－f(1)＝a－1>0，∴f(x)的最大值为f(0)＝b=1，1/15/2025

又f(

1)

f(a)

(a3

3a

2)

(a

1)2(a

2)<0，

f(x)|min

f(

1)，

a

1

b

a

,

a

，b

1.1/15/2025

说明：这是一个确定最大值的问题。在确定最大值时，应求出所有的极值（包括极大值与极小值），然后将它们与函数在区间的端点值的大小进行比较，其中最大的值是函数的最大值，最小的值是函数的最小值。一定要注意：不能直接将极值作为最值。1/15/2025例6．已知实数x,y，满足x2＋y2＝2x，求x2y2的取值范围．解：本题主要考查函数最值的一般求法，关键要注意变量的取值范围．x2y2=x2(2x－x2)＝2x3