2019届北京专版中考数学一轮复习第五章空间与图形5.1图形的轴对称平移与旋转试卷讲义

第五章空间与图形§5.1图形的轴对称、平移与旋转中考数学

(北京专用)2014-2018年北京中考题组五年中考1.(2017北京,5,3分)下列图形中,是轴对称图形但

中心对称图形的是

(

)

答案

A选项A中的图形是轴对称图形但不是中心对称图形;选项B、D中的图形既是轴对

称图形又是中心对称图形;选项C中的图形是中心对称图形但不是轴对称图形.故选A.2.(2016北京,7,3分)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式.下列甲骨文中,

轴对称图形的是

(

)

答案

D选项A、B、C都是轴对称图形,故选D.3.(2015北京,4,3分)剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品中,是轴对称图形的为

(

)

答案

D选项A、B既不是中心对称图形也不是轴对称图形;选项C是中心对称图形,不是轴

对称图形;选项D是轴对称图形.故选D.4.(2013北京,6,4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是

(

)

答案

A

A项是中心对称图形,但不是轴对称图形.B项既是中心对称图形,又是轴对称图形.C项不是中心对称图形,是轴对称图形.D项既不是中心对称图形,又不是轴对称图形.故选A.5.(2017北京,15,3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形

的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△OCD得到△AOB的过程:

.

答案将△OCD以点C为旋转中心按顺时针方向旋转90°,再向左平移2个单位长度(答案不唯

一)6.(2011北京,22,5分)阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O.若梯形

ABCD的面积为1,试求以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.图1图2小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,

再计算其面积即可.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.

他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC、BD、AD+

BC的长度为三边长的三角形(如图2).请你回答:图2中△BDE的面积等于

.参考小伟同学思考问题的办法,解决下列问题:如图3,△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF.(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形(保留画

图痕迹);图3(2)若△ABC的面积为1,则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于

.解析

1.(1)如图.

以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP.(2)

.教师专用题组考点一轴对称的概念及性质1.(2018重庆,2,4分)下列图形中一定是轴对称图形的是

(

)

答案

D根据轴对称图形的概念可得矩形一定是轴对称图形.故选D.解题关键

判断轴对称图形的关键是寻找对称轴.2.(2018河北,3,3分)图中由“

”和“

”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线

(

)

A.l1

B.l2

C.l3

D.l4

答案

C如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对

称图形,由此知该图形的对称轴是直线l3,故选C.3.(2018天津,10,3分)如图,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点

E处,折痕为BD,则下列结论一定正确的是

(

)

A.AD=BD

B.AE=ACC.ED+EB=DB

D.AE+CB=AB答案

D由折叠的性质知,BC=BE,∴AE+CB=AB.故选D.4.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个

动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是

(

)

A.AB

B.DE

C.BD

D.AF答案

D在正方形ABCD中,连接CE、PC.

∵点A与点C关于直线BD对称,∴AP=CP,∴AP+EP的最小值为EC.∵E,F分别为AD,BC的中点,∴DE=BF=

AD.∵AB=CD,∠ABF=∠ADC=90°,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE.故选D.思路分析

点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长度;通

过证明△CDE≌△ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长.解后反思

本题考查轴对称,正方形的性质,主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或

点E)关于直线BD的对称点C(或G),再连接EC(或AG),所得的线段长为两条线段和的最小值.5.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,

BC边上的中点,则MP+PN的最小值是

(

)

A.

B.1

C.

D.2答案

B如图,取AD的中点M',连接M'N,M'P,则有MP=M'P.MP+PN的最小值为线段M'N的长,

即菱形边长1.故选B.

思路分析

先确定M关于直线AC的对称点M',再借助两点之间线段最短来确定线段和的最小

值.解题关键

解决本题的关键是要借助轴对称将MP+PN转化为M'P+PN,进而借助两点之间线

段最短来解决.6.(2017内蒙古呼和浩特,3,3分)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC这个图形

进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是

(

)

A.(1)

B.(2)

C.(3)

D.(4)答案

A根据轴对称的性质可知,序号(1)对应的三角形与△ABC的对应点所连的线段被一

条直线(对称轴)垂直平分,故选A.7.(2017山西,6,3分)如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC'D,C'D与AB交于点E.若∠1=35°,则∠2的度数为

(

)

A.20°

B.30°

C.35°

D.55°答案

A∵AB∥CD,∠C=90°,∴∠ABD=∠1=35°,∠DBC=90°-∠1=55°,由折叠的性质得∠DBC'=∠DBC=55°,∴∠2=∠DBC'-∠ABD=55°-35°=20°.8.(2017福建,5,4分)下列关于图形对称性的命题,正确的是

(

)A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形C.线段是轴对称图形,但不是中心对称图形D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形答案

A圆是轴对称图形,每一条经过圆心的直线都是它的对称轴,圆又是中心对称图形,对

称中心是圆心,故选A.9.(2017新疆乌鲁木齐,9,4分)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折

叠后,使点D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4

且∠AFG=60°,GE=2BG,则折痕EF的长为

(

)

A.1

B.

C.2

D.2

答案

C∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠H=∠D=∠FGH=∠C=90°.由折叠知∠GFE=∠DFE,FD=FG.∵∠GFD=180°-∠AFG=120°,∴∠GFE=∠DFE=60°.∵AD∥BC,∴∠FGE=∠AFG=60°,∠FEG=∠DFE=60°,∴△GEF是等边三角形,∴FG=GE=FE.

设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x.作GM⊥AD,交AD于点M,则四边形ABGM是矩形,GM=GF·sin60°=

x,MF=GF·cos60°=x,∴AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x,∵AD·GM=4

,∴4x·

x=4

,解得x=1或x=-1(不符合题意,舍去),∴EF=2x=2,故选C.10.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足S△PAB=

S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为

(

)

A.

B.

C.5

D.

答案

D如图,过P点作MN,使MN∥AB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设

点P到AB的距离为h,由AB=5,AD=3,S△PAB=

S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PB≥A1B,所以当P为A1B与MN的交点时,PA+PB最小,其最小值为

=

,故选D.

疑难突破

本题的突破口是根据S△PAB=

S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对称的性质将问题转化.11.(2016河北,3,3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是

(

)

答案

A选项B只是轴对称图形,选项C和D只是中心对称图形,只有选项A既是轴对称图形,

又是中心对称图形.12.(2016四川南充,3,3分)如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,点P是直线MN上的点,下列判

断错误的是

(

)

A.AM=BM

B.AP=BNC.∠MAP=∠MBP

D.∠ANM=∠BNM答案

B根据轴对称的性质,可知AM=BM,△MAP≌△MBP,△AMN≌△BMN,∴∠MAP=∠MBP,∠ANM=∠BNM,∴A、C、D正确.故选B.13.(2015福建福州,7,3分)如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,

网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴

对称,则原点是

(

)

A.A点

B.B点

C.C点

D.D点答案

B以点B为坐标原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,则点A,C关于坐

标轴对称,故选B.14.(2018重庆,16,4分)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,得

到∠AGE=30°,若AE=EG=2

厘米,则△ABC的边BC的长为

厘米.

答案

(6+4

)解析过E作EH⊥AG于H.∵∠AGE=30°,AE=EG=2

,∴EH=

,GH=EGcos30°=3,∴AG=6,∴GC=AG=6,易知BE=AE=EG=2

,∴BC=BE+EG+GC=(6+4

)厘米.15.(2018河南,15,3分)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A'B所在直线于点F,连接A'E.当△A'EF为直角三角形时,AB的长为

.

答案

4或4

解析

(1)当点A'在直线DE下方时,如图1,∵∠CA'F=90°,∠EA'F>∠CA'F,∴△A'EF为钝角三角

形,不符合;(2)①当点A'在直线DE上方时,如图2.当∠A'FE=90°时,∵DE∥AB,∴∠EDA=90°,∴A'B∥AC.由对称知四边形ABA'C为正方形,∴AB=AC=4;②当点A'在直线DE上方时,如图3.当∠A'EF=90°时,A'E∥AC,所以∠A'EC=∠ACE=∠A'CE,∴A'C=A'E.∵A'E=EC,∴△A'CE为等边三角

形,∴∠ACB=∠A'CB=60°,∴在Rt△ACB中,AB=AC·tan60°=4

;③当点A'在直线DE上方时,∠EA'F<∠CA'B,不可能为90°.综上所述,当△A'EF为直角三角形时,AB的长为4或4

.

图1图2

图3思路分析

由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A'可以在直线DE的下方或上方.分类

讨论,当点A'在DE的下方时,△A'EF不可能为直角三角形,当点A'在直线DE上方时,∠A'EF或∠A'FE为90°时分别计算AB的长,显然∠EA'F<90°,可以排除.方法总结

解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为

圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条

件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.16.(2017江西,12,3分)已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D在边AC上,将

边OA沿OD折叠,点A的对应点为A',若点A'到矩形

两对边的距离之比为1∶3,则点A'的坐标为

.答案

(

,3)或(

,1)或(2

,-2)解析∵点A(0,4),B(7,0),C(7,4),∴BC=OA=4,OB=AC=7.分两种情况进行讨论:(1)当点A'在矩形AOBC的内部时,过A'作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如图1所示.

图1①当A'E∶A'F=1∶3时,∵A'E+A'F=OA=4,∴A'E=1,A'F=3,由折叠可得OA'=OA=4,在Rt△OA'F中,OF=

=

=

,∴A'(

,3).②当A'E∶A'F=3∶1时,同理,得A'(

,1).(2)当点A'在矩形AOBC的外部时,此时点A'在第四象限,过A'作OB的垂线交OB于F,交AC于E,如

图2所示.

图2∵A'F∶A'E=1∶3,则A'F∶EF=1∶2,∴A'F=

EF=

BC=2,由折叠可得OA'=OA=4,在Rt△OA'F中,OF=

=

=2

,∴A'(2

,-2).综上,点A'的坐标为(

,3)或(

,1)或(2

,-2).易错警示

解此题时,需分类讨论点A'的位置,学生往往只画出点A'在第一象限的情况而漏解.17.(2016吉林,14,3分)在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意

一点.将此三角形纸片按下列方式折叠.若EF的长度为a,则△DEF的周长为

(用含a的

式子表示).

答案

3a解析易知∠FDC=∠C=90°,∴∠FDB=90°.∵∠B=30°,∴在Rt△BDF中,∠BFD=60°.∵∠EDB=∠B=30°,∴∠DEF=60°.∴△DEF是等边三角形.∴△DEF的周长是3a.18.(2015江苏南京,13,2分)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,-3),作点A关于x轴的对称点,得

到点A',再作点A'关于y轴的对称点,得到点A″,则点A″的坐标是(

,

).答案

-2;3解析点A(2,-3)关于x轴的对称点A'的坐标是(2,3),点A'(2,3)关于y轴的对称点A″的坐标是(-2,

3).19.(2014湖南郴州,16,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上一点,将矩形ABCD沿CE

折叠后,点B落在AD边的点F上,则DF的长为

.

答案

6解析在矩形ABCD中,CD=AB=8,由对称性知CF=BC=10,在Rt△DCF中,DF=

=6.20.(2017甘肃兰州,26,10分)如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到

点E处,BE交AD于点F.(1)求证:△BDF是等腰三角形;(2)如图2,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;②若AB=6,AD=8,求FG的长.

解析

(1)证明:由折叠得,△BDC≌△BDE,∴∠DBC=∠DBF.

(1分)又∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DBC=∠FDB.

(2分)∴∠DBF=∠FDB.∴DF=BF.∴△BDF是等腰三角形.

(3分)(2)①四边形BFDG是菱形.

(4分)理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴FD∥BG,

(5分)又∵DG∥BE,∴四边形BFDG是平行四边形.

(6分)又∵DF=BF,∴四边形BFDG是菱形.

(7分)②∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴BD=

=

=10.∵四边形BFDG是菱形,∴GF⊥BD,FG=2OF,OD=

BD=5.

(8分)∵∠FDO=∠BDA,∠FOD=∠A=90°,∴△OFD∽△ABD.

(9分)∴

=

,即

=

,∴OF=

.∴FG=2OF=

.

(10分)思路分析

(1)利用折叠及矩形的性质得到角的等量关系,再用等角对等边转化成边的等量关

系;(2)先判断四边形BFDG是平行四边形,再利用一组邻边相等即可判断四边形BFDG是菱形;

(3)利用相似三角形的性质,把线段OF与矩形的边联系起来,求得线段OF的长,再利用菱形的性

质求出FG的长.考点二平移的概念及性质1.(2018江西,5,3分)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图

形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一

次平移操作,平移后的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形

的平移方向有

(

)

A.3个

B.4个

C.5个

D.无数个答案

C如图所示,正方形ABCD可以向上、向下、向右以及沿射线AC或BD方向平移,平移

后的两个正方形组成轴对称图形.故选C.

2.(2016山东青岛,5,3分)如图,线段AB经过平移得到线段A'B',其中点A,B的对应点分别为点A',B',这四个点都在格点上.若线段AB上有一个点P(a,b),则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为

(

)

A.(a-2,b+3)

B.(a-2,b-3)C.(a+2,b+3)

D.(a+2,b-3)答案

A线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到线段A'B',由此可知线

段AB上的点P(a,b)的对应点P'的坐标为(a-2,b+3),故选A.评析

在平面直角坐标系中,点的平移与其坐标变化的关系是“上加下减,右加左减”,即点向

上(或下)平移a个单位长度,则纵坐标加a(或减a);点向右(或左)平移b个单位长度,则横坐标加b

(或减b).3.(2014山东济南,20,3分)如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着

AD方向平移,得到△A'B'C',当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA'等于

.

答案

4或8解析设AA'=x,则A'D=12-x,则有x(12-x)=32,解得x=4或8,经检验均符合题意.4.(2017山西,13,3分)如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC向

右平移4个单位,得到△A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A',B',C',再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A',B',C'的对应点分别为A″,B″,C″,则点A″的坐标为

.

答案

(6,0)解析如图,点A″的坐标为(6,0).

5.(2014江西,11,3分)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移2个

单位后,得到△A'B'C',连接A'C,则△A'B'C的周长为

.

答案

12解析∵B'C'=BC=6,CC'=2,∴B'C=B'C'-CC'=4,∵A'B'=AB=4,∴B'C=A'B',又∵∠A'B'C=∠B=60°,∴△A'B'C是等边三角形,∴△A'B'C的周长是12.6.(2018福建,21,8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.线段AD由线段AB绕点A按逆时

针方向旋转90°得到,△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,且直线EF过点D.(1)求∠BDF的大小;(2)求CG的长.

解析

(1)∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到,∴∠DAB=90°,AD=AB=10.∴∠ABD=45°.∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,∴AB∥EF,∴∠BDF=∠ABD=45°.(2)由平移的性质可得AE∥CG,AB∥EF,且AE=CG.∴∠DEA=∠DFC=∠ABC,∠ADE+∠DAB=180°,∵∠DAB=90°,∴∠ADE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ADE=∠ACB,∴△ADE∽△ACB,∴

=

,∵AC=8,AB=AD=10,∴AE=

,∴CG=AE=

.解后反思

本题考查图形的平移与旋转、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、

解直角三角形、相似三角形的判定与性质等基础知识,考查运算能力、推理能力、数形结合

思想、化归与转化思想.7.(2016江苏南京,20,8分)我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后,可以进行进

一步研究.请根据示例图形,完成下表.图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论平移

(1)

.AA'=BB';AA'∥BB'.轴对称

(2)

.(3)

.旋转

AB=A'B';对应线段AB和A'B'所在

的直线相交所成的角与旋转角相

等或互补.(4)

.解析

(1)AB=A'B';AB∥A'B'.(2)AB=A'B';对应线段AB和A'B'所在的直线相交,交点在对称轴l上.(3)l垂直平分AA',BB'.(4)OA=OA';∠AOA'=∠BOB'.8.(2017安徽,18,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC

和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l.(1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形;(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形;(3)填空:∠C+∠E=

°.

解析

(1)如图所示.

(3分)(2)如图所示.

(6分)

(3)45.

(8分)提示:∠A1C1F1=∠C+∠E,连接A1F1,易证三角形A1F1C1是等腰直角三角形且∠A1C1F1=45°.9.(2015福建龙岩,22,12分)下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边

长为2的正方形所得,该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.(1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长;(2)如图甲,把六边形ABCDEF沿EH,BG剪成①②③三部分,请在图甲中画出将②③与①拼成的

正方形,然后标出②③变动后的位置,并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种图形变

换;

图甲

图乙(3)在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线,并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正

方形.解析

(1)由剪拼前后面积相等可知,拼成的正方形的边长=

=4

.

(3分)(2)

②③都是平移变换.

(8分)(3)如下图,两种只需对一种即可.

(12分)考点三旋转的概念及性质1.(2018天津,4,3分)下列图形中,可以看作是中心对称图形的是

(

)

答案

A在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重

合,那么这个图形叫做中心对称图形,选项A中的图形符合中心对称图形的定义,故选A.2.(2018山西,8,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方

向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为

(

)

A.12

B.6

C.6

D.6

答案

D如图,连接BB',由旋转可知AC=A'C,BC=B'C,∵∠A=60°,∴△ACA'为等边三角形,∴∠ACA'=60°,∴∠BCB'=∠ACA'=60°,∴△BCB'为等边三角形,在Rt△ABC中,∠A=60°,AC=6,则BC=6

.∴BB'=BC=6

,故选D.

3.(2017福建,10,4分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做

相同的旋转,分别得到线段A'B'和点P',则点P'所在的单位正方形区域是

(

)

A.1区

B.2区

C.3区

D.4区答案

D连接AA',BB',分别作AA',BB'的垂直平分线,两条直线相交于点O,点O就是旋转中心,

旋转角为90°,连接OP,OP绕点O逆时针旋转90°即可得到OP',可知点P'落在4区,故选D.4.(2017河北,5,3分)图1和图2中所有的小正方形都全等.将图1的正方形放在图2中①②③④的

某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,这个位置是

(

)

图1图2A.①

B.②

C.③

D.④答案

C根据中心对称图形的定义知当正方形放在③的位置时,可使它与原来的7个小正方

形组成的图形是中心对称图形.故选C.5.(2017天津,9,3分)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的

延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是

(

)

A.∠ABD=∠E

B.∠CBE=∠CC.AD∥BC

D.AD=BC答案

C∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE,∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,∴△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°,∴∠DAB=∠CBE,∴AD∥BC,故选C.解题关键

熟练掌握旋转的性质是解题的关键.6.(2016河南,8,3分)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋

转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为

(

)

A.(1,-1)

B.(-1,-1)C.(

,0)

D.(0,-

)答案

B由题意知菱形每8秒旋转一周,60秒旋转7周余4秒,4秒旋转180°,即旋转60秒后得到

的图形与原图形关于原点成中心对称,因为B(2,2),所以D(1,1),D关于原点对称的点的坐标为(-1,-1).故选B.7.(2015天津,7,3分)在平面直角坐标系中,把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应

点P'的坐标为

(

)A.(3,2)

B.(2,-3)C.(-3,-2)

D.(3,-2)答案

D在平面直角坐标系中,任意一点A(x,y)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对称点是

A'(-x,-y),故点P(-3,2)关于原点的对称点是P'(3,-2).故选D.8.(2015天津,11,3分)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,

把△BAE顺时针旋转,得到△BA'E',连接DA'.若∠ADC=60°,∠ADA'=50°,则∠DA'E'的大小为

(

)

A.130°

B.150°

C.160°

D.170°答案

C在▱ABCD中,因为∠ADC=60°,所以∠CBA=60°.在△AEB中,因为∠EBA=60°,∠AEB=90°,所以∠EAB=30°.又因为AD∥BC,∠ADA'=50°,所以∠BA'D=180°-50°=130°.由旋转的

性质知,∠E'A'B=∠EAB=30°,所以∠DA'E'=130°+30°=160°.故选C.9.(2018江西,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为

.

答案

3

解析根据旋转的性质,得BC=EF,AB=AE,又四边形ABCD为矩形,DE=EF,∴AD=DE=3,∠D=90°,即△ADE为等腰直角三角形,根据勾股定理得AE=

=3

,所以AB=AE=3

.解题关键

熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键.10.(2018陕西,14,3分)如图,点O是▱ABCD的对称中心,AD>AB,E、F是AB边上的点,且EF=

AB;G、H是BC边上的点,且GH=

BC.若S1,S2分别表示△EOF和△GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是

.

答案

2S1=3S2

解析如图,连接AC,BD,交点为O,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=OC,∴S△ABO=S△OBC,∵EF

=

AB,∴S1=

S△ABO,∵GH=

BC,∴S2=

S△OBC,所以2S1=3S2.

11.(2018内蒙古包头,20,3分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不

与点A,B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接

AE.

下列结论:①△ACE≌△BCD;②若∠BCD=25°,则∠AED=65°;③DE2=2CF·CA;④若AB=3

,AD=2BD,则AF=

.其中正确的结论是

.(填写所有正确结论的序号)答案①②③解析①根据旋转的性质及AC=BC可得△ACE≌△BCD;②在△BDC中,∠BDC=180°-45°-25°

=110°,∴∠AEC=110°.由题意知CD=CE,∠DCE=90°,∴∠DEC=45°,∴∠AED=∠AEC-∠DEC=

65°;③∵∠ACE=∠FCE,∠FEC=∠CAE=45°,∴△CFE∽△CEA,∴

=

,即CE2=CF·CA,∵在Rt△DCE中,2CE2=DE2,∴DE2=2CF·CA;④∵AB=3

,AD=2BD,∴AC=3,AD=2

,AE=BD=

,易知∠DAE=90°,∴DE=

=

,由③知DE2=2CF·CA,∴(

)2=2CF×3,∴CF=

,∴AF=AC-CF=

.所以正确的结论为①②③.思路分析

根据旋转的性质及AC=BC可判断①正确;由∠BCD=25°,∠B=45°,可得∠BDC=∠AEC=110°,由题意知△DCE为等腰直角三角形,进而求得∠AED=65°,②正确;易证△CFE∽△CEA,则CE2=CF·CA.根据DE2=2CE2可知③正确;在Rt△ADE中,由勾股定理得DE=

,根据DE2=2CF·CA求得CF=

,进而求得AF=

,所以④错.疑难突破

本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性

质等知识,灵活运用旋转的性质是关键,难点在于由旋转的性质得到数量关系及由题中条件判

定三角形相似,并由相似的性质求线段间的数量关系,再求有关线段的长度.12.(2016新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P是边DC上的动点,G是AP的中

点,以P为中心,将PG绕点P顺时针旋转90°,G的对应点为G',当B、D、G'在一条直线上时,PD=

.

答案

解析当B、D、G'在一条直线上时(如图),过点G'作G'M⊥CD的延长线,垂足为M.

∵∠ADC=90°,∠GPG'=90°,∴∠DAP+∠APD=90°,∠APD+∠DPG'=90°,∴∠DAP=∠DPG',∴

Rt△PAD∽Rt△G'PM,∴

=

=

,∵AP的中点为G,PG绕P顺时针旋转90°得PG',∴PG'∶AP=1∶2,∴

=

=

,不妨设PD=x,则G'M=

x,∵G'M∥BC,∴△DCB∽△DMG',∴

=

,∵AB=CD=4,BC=8,∴

=

,则DM=

x,∴PM=

x.∵

=

,∴

=

,解得x=

.13.(2015福建福州,16,4分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=

.将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是

.

答案

+1解析如图,连接AM,易知△AMC是等边三角形,所以CM=AM,易证△BMC≌△BMA,所以∠CBM=∠ABM=45°,∠CMB=∠AMB=30°,所以∠CDM=∠CDB=90°.在Rt△CDB中,CD=CB·sin45°=1,所以BD=CD=1.在Rt△CDM中,DM=CM·sin60°=

,所以BM=BD+DM=

+1.

14.(2018吉林,20,7分)下图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做

格点.点A,B,C,D均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动:第一步:点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;第二步:点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;第三步:点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.

(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;(2)所画图形是

对称图形;(3)求所画图形的周长(结果保留π).解析

(1)

(3分)(2)轴.

(4分)(3)所画图形的周长为

+

×2=4π+4π=8π.

(7分)评分说明:1.第(1)题,画图正确,不标D1,D2不扣分;2.第(1)题,画图不完整时,每画对一条弧给1分;3.第(3)题,直接写8π也给分.15.(2017河南,22,10分)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,

连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是

,位置关系是

;(2)探究证明把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理

由;(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.

解析

(1)PM=PN;PM⊥PN.

(2分)(2)等腰直角三角形.

(3分)理由如下:由旋转可得∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE.∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.

(5分)∵点P,M分别是DC,DE的中点,∴PM是△DCE的中位线.∴PM=

CE且PM∥CE.同理可证PN=

BD且PN∥BD.∴PM=PN,∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC.

(6分)∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN.∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,即△PMN为等腰直角三角形.

(8分)(3)

.

(10分)详解:同(2)可证△PMN是等腰直角三角形,PM=PN,PM⊥PN.又知PM=

EC,所以S△PMN=

PM2=

EC2,所以当EC最大时,S△PMN最大.如图,EC的最大值为AE+AC=AD+AB=4+10=14,∴S△PMN的最大值为

.

16.(2015江西南昌,16,6分)如图,正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称.已知A,D1,D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).(1)求对称中心的坐标;(2)写出顶点B,C,B1,C1的坐标.

解析

(1)∵D和D1是对称点,∴对称中心是线段DD1的中点.

(1分)∴对称中心的坐标是

.

(2分)(2)B(-2,4),C(-2,2),B1(2,1),C1(2,3).

(6分)17.(2015广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,

1),B(-3,1),C(-1,4).(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2.请在图中画出△A2BC2,并求出线段BC在旋转

过程中所扫过的面积.(结果保留π)

解析

(1)△A1B1C1如图所示.

(3分,正确作出一点给1分)(2)△A2BC2如图所示.

(6分,正确作出一点给1分)

在Rt△ABC中,AB=2,AC=3,∴BC=

=

.

(7分)∵∠CBC2=90°,∴

=

=

.

(8分)考点一轴对称的概念及性质三年模拟A组

2016—2018年模拟·基础题组1.(2018北京石景山一模,4)下列博物院的标识中不是轴对称图形的是

(

)

答案

A选项A中的图形不是轴对称图形,故选A.2.(2018北京平谷一模,1)风和日丽春光好,又是一年舞筝时.放风筝是我国人民非常喜爱的一项

户外娱乐活动.下列风筝剪纸作品中,不是轴对称图形的是

(

)

答案

B选项B中的图形不是轴对称图形.故选B.3.(2018北京延庆一模,6)已知正六边形ABCDEF,下列图形中,不是轴对称图形的是

(

)

答案

D选项A、B、C是轴对称图形,选项D不是轴对称图形.故选D.4.(2017北京海淀一模,2)下列四个图形依次是北京、云南、西藏、安徽四个省市自治区的图

案字体,其中是轴对称图形的是

(

)

答案

A观察各选项中的图形可知,只有A有一条对称轴,是轴对称图形,其他图形都不是轴

对称图形.故选A.5.(2017北京石景山一模,4)篆体是我国汉字古代书体之一.下列篆体字“美”“丽”“北”

“京”中,不是轴对称图形的为

(

)

答案

B观察可知B中图形不是轴对称图形.6.(2016北京朝阳一模,4)下列图形选自历届世博会会徽,其中是轴对称图形的是

(

)

答案

B选项A、C、D均不是轴对称图形,故选B.7.(2016北京西城二模,2)“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件,其图案各

式各样,属于中国特有的文化艺术遗产.下列“瓦当”的图案中,是轴对称图形的是

(

)

答案

B选项A、C、D都不是轴对称图形,只有选项B是轴对称图形.故选B.考点二平移的概念及性质(2017北京怀柔二模,9)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B

关于x轴的对称点C的坐标是

(

)A.(-4,-2)

B.(2,2)

C.(-2,2)

D.(2,-2)答案

D点A(-1,2)向右平移3个单位长度,则横坐标加3,纵坐标不变,得B(2,2);B、C两点关于

x轴对称,则其纵坐标互为相反数,故C(2,-2).故选D.考点三旋转的概念及性质1.(2018北京朝阳一模,5)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是

(

)

答案

B是轴对称图形的为选项A、C,是中心对称图形的为选项B、C,所以是中心对称图

形但不是轴对称图形的是选项B.故选B.2.(2018北京海淀一模,4)下列图形中,既是中心对称图形,也是轴对称图形的是

(

)

答案

B是轴对称图形的为选项B、D,是中心对称图形的为选项A、B,所以既是中心对称

图形也是轴对称图形的是选项B.故选B.3.(2018北京西城一模,2)在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中,可以看

作中心对称图形的是

(

)

答案

C选项A是轴对称图形,选项C既是轴对称图形也是中心对称图形;选项B、D既不是

中心对称图形也不是轴对称图形.故选C.4.(2018北京门头沟一模,5)利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形,以下是制作

出的几个简单图形,其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是

(

)

答案

A选项A是轴对称图形但不是中心对称图形,选项B、D既是轴对称图形又是中心对

称图形,选项C不是轴对称图形.故选A.5.(2018北京顺义一模,5)已知下图中所有的小正方形都全等,若在图中再添加一个全等的小正

方形得到新的图形,使新图形是中心对称图形,则正确的添加方案是

(

)

答案

B选项B是中心对称图形.故选B.6.(2017北京丰台一模,3)北京教育资源丰富,高校林立,下面四个高校校徽主体图案是中心对称

图形的是

(

)

答案

B选项A、C中图形是轴对称图形,选项B中图形是中心对称图形,选项D中图形既不

是轴对称图形也不是中心对称图形.故选B.7.(2017北京顺义一模,4)我国传统文化中的“福禄寿禧”图(如图)由四个图案构成.这四个图

案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是

(

)

答案

B选项A、D中图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形;选项B中图形既是轴对

称图形又是中心对称图形;选项C中图形是轴对称图形,不是中心对称图形.故选B.8.(2016北京海淀一模,4)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是

(

)

答案

C选项A既不是轴对称图形也不是中心对称图形;选项B既是轴对称图形又是中心对

称图形;选项C是轴对称图形但不是中心对称图形;选项D不是轴对称图形,是中心对称图形.故

选C.9.(2016北京西城一模,12)在平面直角坐标系xOy中,将点(-2,3)绕原点O旋转180°,所得到的对应

点的坐标为

.答案

(2,-3)解析绕原点旋转180°即关于原点中心对称,所以横纵坐标均互为相反数,(-2,3)关于原点中心

对称的点的坐标是(2,-3).B组2016—2018年模拟·提升题组(时间:30分钟分值:35分)一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2018北京石景山一模,6)如图,在平面直角坐标系xOy中,点C,B,E在y轴上,Rt△ABC经过变化

得到Rt△EDO,若点B的坐标为(0,1),OD=2,则这种变化可以是

(

)

A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移5个单位长度B.△