2025年湘教新版高三数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高三数学下册月考试卷306考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若一个三角形具有以下两个性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍．则这个三角形的最大边所对角的余弦值为（）A.B.C.-D.-2、已知函数f（x）=lg（-2x）+，则f（lg2）+f（lg）=（）A.-1B.0C.1D.23、如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（）A.最长的是AB，最短的是ACB.最长的是AC，最短的是ABC.最长的是AB，最短的是ADD.最长的是AD，最短的是AC4、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、执行如图的程序框图；输出的T=（）

A.12B.20C.42D.306、设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于（）A.B.1C.±1D.不存在7、要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组；如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（）

A.

B.

C.

D.

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、已知函数f（x）=-2x3-3x2+12x+1在[m，1]上的最小值为-17，则m=____．9、函数f（x）=-2x（≤x≤π）的最小值是____．10、如果方程x2+（m-1）x+m2-2=0的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是____11、【题文】定义在R上的函数满足则____。12、已知鈻�ABC

是直角边为2

的等腰直角三角形，且A

为直角顶点，P

为平面ABC

内一点，则PA鈫�鈰�(PB鈫�+PC鈫�)

的最小值是______．13、已知鈻�ABC

的三个内角ABC

的对应边分别为abc

且S鈻�ABC=312a2.

则使得sin2B+sin2C=msinBsinC

成立的实数m

的最大值是______．14、设向量a鈫�b鈫�

满足|a鈫�|=|b鈫�|=1a鈫�?b鈫�=鈭�14

则|a鈫�+2b鈫�|=

______．评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）18、空集没有子集．____．19、任一集合必有两个或两个以上子集．____．20、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、综合题(共3题，共15分)21、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn，数列{bn}满足bn=，数列{bn}的前n项和为Tn（其中n∈N*）．

（Ⅰ）求an和Tn；

（Ⅱ）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8-（-1）n恒成立，求实数λ的取值范围．22、已知向量，．

（1）求；

（2）求函数f（x）=单调增区间．23、已知椭圆；直线l与椭圆C相交于A；B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．

（1）证明：点O到直线AB的距离为定值；

（2）求|OA|•|OB|的最小值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】【分析】设三角形的三边分别为n-1，n，n+1，对应的角分别为A、B、C，由题意和正弦定理可得cosA=，再由由余弦定理可得cosA=，可得=，解方程可得a值，可得三边长，由余弦定理可得．【解析】【解答】解：设三角形的三边分别为n-1；n，n+1，对应的角分别为A；B、C；

则A＜B＜C；由题意可得C=2A；

由正弦定理可得==，∴cosA=；

又由余弦定理可得cosA==；

∴=，化简可得n2-5n=0解得n=5

∴三角形的三边分别为4；5，6；

∴三角形的最大边所对角的余弦值cosC==

故选：B．2、C【分析】【分析】由已知条件利用对数的运算法则和函数的性质求出f（x）+f（-x）=1，由此能求出f（lg2）+f（lg）的值．【解析】【解答】解：∵f（x）=lg（-2x）+；

∴f（x）+f（-x）=[lg（-2x）+]+[lg（+2x）+]

=[lg（-2x）+lg（+2x）]+1

=lg[（1+4x2-4x2）+1

=lg1+1

=1；

∴f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（-lg2）=1．

故选：C．3、C【分析】【分析】由直观图，结合斜二测画水平放置的平面图形直观图的规则可得AB、AC相等且最长，AD最短，则答案可求．【解析】【解答】解：由直观图可知A′D′∥y′轴；根据斜二测画法规则，在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BE边上的中线；

∴△ABC为等腰三角形；AD为BC边上的高，则有AB；AC相等且最长，AD最短．

故选：C．4、C【分析】【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解析】【解答】解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1-2sin2A＜1-2sin2B；即sinA＞sinB．

若a＞b，由正弦定理；得sinA＞sinB．充分性成立．

若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b；必要性成立．

所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．

即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件；

故选C．5、D【分析】【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值，当T=30时，满足条件T＞S，输出T的值为30．【解析】【解答】解：执行程序框图；有。

S=0；T=0，n=0

不满足条件T＞S；S=5，n=2，T=2；

不满足条件T＞S；S=10，n=4，T=6；

不满足条件T＞S；S=15，n=6，T=12；

不满足条件T＞S；S=20，n=8，T=20；

不满足条件T＞S；S=25，n=10，T=30；

满足条件T＞S；输出T的值为30．

故选：D．6、D【分析】【分析】抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），设l：x=my-1，从而得到yQ=（y1+y2）=2m，xQ=2m2-1，由此能求出直线l的斜率k=±1．【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1；0）；

设l：x=my-1；②

代入①，y2-4my+4=0；

则yQ=（y1+y2）=2m；

由②，xQ=2m2-1；

由|FQ|=2，得（2m2-2）2+（2m）2=4；

（m2-1）2+m2=1；

解得m=土1；

∴直线l的斜率k=±1．

当k=±1时，方程y2-4my+4=0的△=0；也就是只有一个交点，不满足题意，因此这样的直线l不存在．

故选：D．7、A【分析】

由题意知本题是一个古典概型；

从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组的方法有C156；

按性别依比例分层随机抽样；

则女生有4人，男生有2人，选法有C104C52；

组成此课外兴趣小组的概率为

故选A．

【解析】【答案】本题是一个古典概型，从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组的方法有C156，按性别依比例分层随机抽样，得到女生有4人，男生有2人，选法有C104C52；根据古典概型概率公式得到结果．

二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】【分析】求函数的导数，判断函数的最值，解方程即可．【解析】【解答】解：∵f（x）=-2x3-3x2+12x+1；

∴f′（x）=-6x2-6x+12=-6（x+2）（x-1）；

由f′（x）＞0得-2＜x＜1；此时函数单调递增；

由f′（x）＜0得x＞1或x＜-2．此时函数单调递减；

∴当x=-2时；函数取得极小值；

∵f（-2）=-19，f（x）min=-17；

∴-2＜m＜1；

∴-2m3-3m2十12m+1=-17．

即m2（2m+3）-6（2m+3）=0；

（m2-6）（2m+3）=0；

解得m=-或m=（舍）；

故答案为：-．9、略

【分析】【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（x+）-1，再根据≤x≤π，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最小值．【解析】【解答】解：由于函数f（x）=-2x=sinx+cosx-1=2sin（x+）-1；

由≤x≤π，可得2x+∈[，]；

故当2x+=时；f（x）取得最小值为-2-1=-3；

故答案为：-3．10、略

【分析】

方程x2+（m-1）x+m2-2=0对应的二次函数，f（x）=x2+（m-1）x+m2-2开口向上；

方程x2+（m-1）x+m2-2=0的两个实根一个小于‒1；另一个大于1，只需。

f（1）＜0，且f（-1）＜0，解得m∈（0；1）

故答案为：（0；1）

【解析】【答案】方程对应的二次函数开口向上，方程x2+（m-1）x+m2-2=0的两个实根一个小于‒1；另一个大于1，只需f（1）＜0，且f（-1）＜0可求得m的范围．

11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】-212、略

【分析】解：以BC

为x

轴；以BC

边上的高为y

轴建立坐标系；

鈻�ABC

是直角边为2

的等腰直角三角形；且A

为直角顶点；

斜边BC=22

则A(0,2)B(鈭�2,0)C(2,0)

设P(x,y)

则PB鈫�+PC鈫�=2PO鈫�=(鈭�2x,鈭�2y)

PA鈫�=(鈭�x,2鈭�y)

隆脿PA鈫�鈰�(PB鈫�+PC鈫�)=2x2+2y2鈭�22y

=2x2+2(y鈭�22)2鈭�1

隆脿

当x=0y=22

时，则PA鈫�鈰�(PB鈫�+PC鈫�)

取得最小值鈭�1

．

故答案为：鈭�1

．

以BC

所在直线为x

轴建立坐标系，设P(x,y)

运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出PA鈫�鈰�(PB鈫�+PC鈫�)

关于xy

的表达式，配方即可得出结论．

本题考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．【解析】鈭�1

13、略

【分析】解：隆脽sin2B+sin2C=msinBsinC

隆脿b2+c2=bcm

隆脿m=b2+c2bc

隆脽S鈻�ABC=312a2=12bcsinA

隆脿a2=6bcsinA3

隆脿cosA=b2+c2鈭�a22bc=m2鈭�a22bc=m2鈭�3sinA

隆脿m=2cosA+23sinA=4sin(A+娄脨6)

隆脿

当sin(A+娄脨6)=1

即A=娄脨3

时；m

取得最大值4

．

故答案为4

．

利用正弦定理将角化边得出m=b2+c2bc

根据面积公式得出a2=6bcsinA3

代入余弦定理即可得出m

关于A

的式子，利用三角恒等变换求出m

的最值．

本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，三角恒等变换，属于中档题．【解析】4

14、略

【分析】解：向量a鈫�b鈫�

满足|a鈫�|=|b鈫�|=1a鈫�?b鈫�=鈭�14

则|a鈫�+2b鈫�|2=|a鈫�|2+4|b鈫�|2+4a鈫�?b鈫�=1+4鈭�1=4

则则|a鈫�+2b鈫�|=2

故答案为：2

根据向量的模即可求出．

本题考查了向量的模的计算，以及数量积公式，属于基础题．【解析】2

三、判断题(共6题，共12分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×18、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．19、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．20、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、综合题(共3题，共15分)21、略

【分析】【分析】（Ⅰ）由nan+1=2Sn，可得（n-1）an=2Sn-1，（n≥2），两式相减可得，利用叠乘法即可求解an，利用裂项法可求Tn

（Ⅱ）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8-（-1）n恒成立，即需不等式=2n+恒成立．

②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8-（-1）n恒成立，即需不等式=恒成立，转化为求解最值即可【解析】【解答】解：（Ⅰ）∵nan+1=2Sn；①

∴（n-1）an=2Sn-1；（n≥2）②

①-②，可得nan+1-（n-1）an=2an；

∴nan+1=（n+1）an；

即；（2分）

∴

=1×=n（n≥2）；

∵a1=1满足上式；

∴an=n（4分）

∴bn==

=（5分）

∴

=（1-）=．（6分）

（Ⅱ）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8-（-1）n恒成立；

即需不等式=2n+恒成立．

∵2n+；当且仅当n=2时取“=”；

∴λ＜25（8分）

②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8-（-1）n恒成立；即需不等式

=恒成立．

∵随n增大而增大；

∴n=1时，2n-取得最小值-6．

∴λ＜-21．（10分）

综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（12分）22、略

【分析】【分析】（1）根据，可得=+2+，利用，即可求得；

（2）函数f（x）==2sinx+2cosx=2sin（x+），，令μ=x+，则可得μ的范围，y=sinμ在上为增函数，由此可得函数f（x）=单调增区间．【解析】【解答】解：（1）∵

∴=+2+=2+2cos2x=4cos2x

∵

∴cosx＞0

∴=2cosx；