3年高考2年模拟2025版新教材高考数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.2对数运算法则讲义新人教B版必修第二册

PAGEPAGE9对数运算法则课标解读课标要求核心素养1.理解对数的运算性质.(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.(难点)3.会运用对数运算法则进行一些简洁的化简与证明.(易错点、重点)1.通过对数运算法则的学习,培育数学运算的核心素养.2.通过对数换底公式的学习,提升逻辑推理的核心素养.问题:有了乘法口诀,我们就不必把乘法还原成加法来计算.那么,有没有类似乘法口诀的东西,使我们不必把对数式还原成指数式就能计算呢?答案有.1.对数的运算法则假如a>0,且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么:(1)loga(MN)=①logaM+logaN;loga(N1N2…Nk)=②logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni>0,i=1,2,…,k).(2)logaMα=③αlogaM.(3)logaMN=④logaM-logaN2.换底公式logab=⑤log思索:运用换底公式时,应留意什么?提示①在运用换底公式时,底数大于0且不等于1,底数的取值不唯一,应依据实际状况选择.②换底公式的意义就在于把对数式的底数变更,把不同底问题转化为同底问题.3.换底公式常用推论(1)loganbn=log(2)logambn=nm(3)logab·logba=1(a>0,b>0,a≠1,b≠1);(4)logab·logbc·logcd=logad(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,c≠1,d>0).探究一利用对数的运算法则求值例1(1)计算:log327+lg4+lg25+-1(2)计算下列各式的值:①lg5100;②log2(47×25);③(lg2)2解析(1)原式=32+lg102+1=32+2+1=9(2)①lg5100=15lg102=25②log2(47×25)=log247+log225=log222×7+log225=2×7+5=19.③(lg2)2+lg20×lg5=(lg2)2+(1+lg2)(1-lg2)=(lg2)2+1-(lg2)2=1.思维突破对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简取决于问题的实际状况,一般本着便于真数化简的原则进行.1.计算下列各式的值:(1)2log23-log2638+log27-7(2)log33+lg25+lg4-log2(log216).解析(1)2log23-log2638+log27-7=log29-log2638+log2=log29×8(2)原式=12log33+lg(25×4)-2=12+2-2=探究二对数运算法则的综合应用例2(易错题)设lga+lgb=2lg(a-2b),则log4ab的值为易错辨析:将对数形式化为代数形式时,忽视真数的取值范围致误.答案1解析依题意,得a>0,b>0,a-2b>0,原式可化为ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,等号两边同时除以b2得ab2-5ab+4=0,解得ab∵a-2b>0,∴ab>2,∴a∴log4ab易错点拨在将对数形式转化成其他形式时,肯定要先确定字母的取值范围,再求值.2.已知2lg(x+y)=lg2x+lg2y,则xy=答案1解析∵2lg(x+y)=lg2x+lg2y,∴lg(x+y)2=lg4xy,∴(x+y)2=4xy,即(x-y)2=0,∴x=y,∴xy探究三对数换底公式的应用例3已知3a=4b=c(c>0,且c≠1),且1a+1解析由3a=4b=c(c>0,且c≠1),得a=log3c,b=log4c,所以1a=1log3c=logc3,1又1a+1b=2,所以logc3+logc4=log即c2=12,所以c=23.思维突破应用换底公式时的留意点(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要留意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时,要留意将指数式与对数式化成一种形式.3.(1)(变条件)将本例中的条件“1a+1b=2”改为“1a(2)(变条件、变结论)将本例条件改为“已知正数a,b,c满意3a=4b=6c”,求证:1c-1a=解析(1)由3a=4b=c(c>0,且c≠1)得a=log3c,b=log4c,所以1a=1log3c=logc3,1又1a-1b=2,所以logc3-logc4=logc即c2=34,所以c=3(2)证明:设3a=4b=6c=k(k>1),则a=log3k,b=log4k,c=log6k,所以1c-1a=1log6k-=logk63=logk12b=12log4k=所以1c-1a=1.计算log84+log82等于()A.log86 B.8C.6 D.1答案Dlog84+log82=log8(4×2)=log88=1.2.若2a=3b(ab≠0),则log32=()A.ba B.C.ab D.a答案A2a=3b⇒alg2=blg3,故log32=lg2lg3=ba3.下列等式成立的是()A.loga(x-y)=logax-logayB.logaxlogC.logaxy=logax-logaD.logaxy=答案C4.若3a=2,则2log36-log38=(用a表示).

答案2-a解析∵3a=2,∴a=log32,∴2log36-log38=2(log32+log33)-3log32=-log32+2=2-a.5.方程lgx+lg(x+3)=1的解是x=.

答案2解析原方程可化为lg(x2+3x-10)=0,∴x>数学建模素养——利用对数运算求解实际问题依据有关资料,围棋状态空间困难度的上限M约为3361,而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN(参考数据:lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093素养探究:从实际问题中抽象出关系式,转化为对数运算,利用运算法则求解,在此过程中体现数学建模核心素养.答案D解析设MN=3361∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,∴361×0.48=lgt+80,∴lgt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故选D.地震的震级R与地震释放的能量E的关系式为R=23(lgE-11.4).若A地的地震级别为9.0级,B地的地震级别为8.0级,则A地的地震释放的能量是B地的地震释放的能量的答案1010解析由R=23(lgE-11.4),得32故E=103设A地和B地的地震释放的能量分别为E1,E2,则E1E2=103——————————————课时达标训练—————————————1.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是()A.logab·logcb=logcaB.logab·logca=logcbC.loga(bc)=logab·logacD.loga(b+c)=logab+logac答案B利用对数的换底公式进行验证,logab·logca=logcblogc2.lg2516-2lg59+lgA.lg2 B.lg3 C.lg4 D.lg5答案A解法一:lg2516-2lg59+lg32解法二:lg2516-2lg59=lg25163.设a=log32,则log38-2log36=()A.a-2 B.3a-(1+a)2C.5a-2 D.-a2+3a-1答案A∵a=log32,∴log38-2log36=3log32-2(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2.4.计算:log225·log322·log59=()A.3 B.4 C.5 D.6答案D原式=lg25lg2·lg22lg3·2lg5lg2·32lg25.若x=60,则1log3x+A.1 B.12 C.2答案A当x=60时,原式=1log360+=log603+log604+log605=log60(3×4×5)=1.6.计算:(log43+log83)(log32+log92)=()A.1 B.54 C.2 D.答案B(log43+log83)(log32+log92)=12=56log23·32log32=7.已知3a=2,3b=15,则32a-b=答案20解析∵3a=2,3b=15,两边取对数得a=log32,b=log315=-log3∴2a-b=2log32+log35=log320,∴32a-b=20.8.若logab·log3a=4,则b的值为.

答案81解析logab·log3a=lgblga·lgalg3=lgb9.(2024山东淄博高一月考)计算下列各式的值:(1)lg12.5-lg58+lg1(2)12lg25+lg2+lg10+lg(0.01)-1(3)log2(log264).解析(1)原式=lg252=lg10=1.(2)原式=lg[2512×2×1012×(10=lg(5×2×1012×102)=lg107(3)原式=log2(log226)=log26=1+log23.10.(多选)对于a>0,a≠1,下列说法中错误的是()A.若M=N,则logaM=logaNB.若2M=2N,则M=NC.若logaM2=logaN2,则M=ND.若M=N,则M12答案ACD对于A选项,当M=N≤0时,对数式无意义,故A中说法不正确;对于B选项,因为指数函数单调且定义域为R,所以若2M=2N,则M=N成立,故B中说法正确;对于C选项,当M2=22,N2=(-2)2时,有logaM2=logaN2,但M≠N,故C中说法不正确;对于D选项,当M=N≤0时,x-111.已知f(x)=x+log2x9A.37 B.6 C.36 D.9答案C∵f(x)=x+log2x9-=x+log2∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=[f(1)+f(8)]+[f(2)+f(7)]+[f(3)+f(6)]+[f(4)+f(5)]=9×4=36.12.若2a=5b=10,则a=,1a+1b=答案log210;1解析∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,∴1a+1b=1lo13.设方程ln2x-lnx-2=0的两根是α,β,则logαβ+logβα=.

答案-52解析∵ln2x-lnx-2=0的两根为α,β,∴lnα,lnβ是方程t2-t-2=0的两根,∴lnα+lnβ=1,lnα·lnβ=-2,∴logαβ+logβα=lnβln=ln2=1+2×2-2=-14.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0且a≠1),求log8yx解析由对数的运算法则,可将等式化为loga[(x2+4)(y2+1)]=loga[5(2xy-1)],所以(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1),整理得x2y2+x2+4y2-10xy+9