2019届江苏专用高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题讲义理苏教版

高考专题突破三

高考中的数列问题考点自测课时作业题型分类深度剖析内容索引考点自测1.(2017·苏州月考)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为____.答案解析设数列{an}的公差为d(d≠0)，由

＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列

的前100项和为_____.答案解析设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∵a5＝5，S5＝15，3.(2016·南通、淮安模拟)在等比数列{an}中，a2＝1，公比q≠±1.若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是____.答案解析因为{an}为等比数列，且a2＝1，所以a1＝

，a3＝q，a5＝q3，由a1，4a3，7a5成等差数列得8q＝

＋7q3，解得q2＝1(舍去)或q2＝

，故a6＝a2q4＝.4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____.答案解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以

＝1，所以

＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝.5.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝

，若1<Sk<9(k∈N*)，则k的值为____.答案解析4由题意，Sn＝

，当n≥2时，Sn－1＝

，两式相减，得an＝

，∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列，∴an＝－(－2)n－1，由1<Sk<9，得4<(－2)k<28，又k∈N*，∴k＝4.∴an＝－2an－1，又a1＝－1，题型分类深度剖析题型一等差数列、等比数列的综合问题例1

(2016·苏州暑假测试)已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*.(1)求实数p的值及数列{an}的通项公式；解答Sn＝na1＋

＝na1＋n(n－1)＝n2＋(a1－1)n，又Sn＝pn2＋2n，n∈N*，所以p＝1，a1－1＝2，即a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若{bn}的前n项和为Tn.求证：

数列{Tn＋}为等比数列.证明因为b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，所以q＝3.所以bn＝b3qn－3＝3×3n－3＝3n－2，所以b1＝.所以数列{Tn＋}是以

为首项，3为公比的等比数列.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.思维升华跟踪训练1在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项公式；解答设数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由a10＝30，a20＝50，得方程组解得

所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)令bn＝

，证明：数列{bn}为等比数列；证明由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列.(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.解答由nbn＝n×4n，得Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，

①4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，

②①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1题型二数列的通项与求和例2

已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；证明∵an＋Sn＝n，

①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴{an－1}是等比数列.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.又cn＝an－1，∴{cn}是以

为首项，

为公比的等比数列.(2)求数列{bn}的通项公式.解答∴an＝cn＋1＝1－()n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1又b1＝a1＝

，代入上式也符合，∴bn＝()n.(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.思维升华跟踪训练2已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解答设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*.(2)记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和.解答由题意知cn＝(n＋1)×2n.记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn.则Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1，即Tn＝n·2n＋1，n∈N*.题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇例3

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足

，且a1＝4.(1)求数列{an}的通项公式；解答

f′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，∴a＝

，则f(x)＝

＋2nx，n∈N*.数列{an}满足又f′(x)＝x＋2n，由叠加法可得

＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，化简可得an＝(n≥2)，当n＝1时，a1＝4也符合，∴an＝(n∈N*).(2)记bn＝

，求数列{bn}的前n项和Tn.解答∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn命题点2数列与不等式的交汇例4

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足

－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；令n＝1代入得a1＝2(负值舍去).解答(2)求数列{an}的通项公式；解答由

－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.又已知数列{an}各项均为正数，故Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，∴an＝2n，n∈N*.证明∵k∈N*，4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，∴不等式成立.命题点3数列应用题例5

(2016·南京模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；解答由题意，得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝

a1－d＝4500－

，…an＋1＝an(1＋50%)－d＝

－d.(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解答由(1)，得an＝

an－1－d＝(an－2－d)－d＝…整理，得an＝()n－1(3000－d)－2d[()n－1－1]＝()n－1(3000－3d)＋2d.由题意，得am＝4000，即()m－1(3000－3d)＋2d＝4000.故该企业每年上缴资金d的值为

时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.思维升华(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较.(3)数列应用题①根据题意，确定数列模型；②准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义.跟踪训练3设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；解答由已知，得b7＝

，b8＝

＝4b7，有解得d＝a8－a7＝2.所以Sn＝na1＋

＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－

，求数列

的前n项和Tn.解答

f′(x)＝2xln2，f′(a2)＝2a2ln2，故函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝2a2ln2(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.解得a2＝2.由题意，得a2－

＝2－

，所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n.所以Tn＝.课时作业1.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；解答设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.12345(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解答由(1)知，bn＝.当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.123452.(2016·山东)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；解答由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由即

可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.12345(2)令cn＝

，求数列{cn}的前n项和Tn.解答由(1)知，cn＝

＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2].两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.123453.设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝

，a3＝

，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；解答当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，解得：a4＝.12345(2)证明：

为等比数列；证明因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，所以n＝1也满足此式，当n＝1时，4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，所以4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，所以数列{an＋1－

an}是以a2－

a1＝1为首项，公比为

的等比数列.12345(3)求数列{an}的通项公式.解答由(2)知：数列{an＋1－

an}是以a2－

a1＝1为首项，公比为

的等比数列，所以an＋1－

an＝()n－1.所以数列

是以

＝2为首项，公差为4的等差数列，所以

＝2＋(n－1)×4＝4n－2，即an＝(4n－2)×()n＝(2n－1)×()n－1，所以数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×()n－1.123454.(2016·常州期末)已知等差数列{an}的公差d为整数，且ak＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k为常数且k∈N*.(1)求k及an；解答由题意得②－①，得d＝4＋.因为k∈N*且d为整数，所以k＝1或k＝2.当k＝1时，d＝6，代入①，解得a1＝3，所以an＝6n－3.当k＝2时，d＝5，代入①，解得a1＝1，所以an＝5n－4.12345(2)设a1>1，{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项为1，公比为q(q>0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得

＝T3，求q.解答因为a1>1，所以an＝6n－3，从而Sn＝3n2.由

＝T3，得

＝1＋q