2025高考数学一轮复习-第7章-第8节 空间距离【课件】

第七章立体几何与空间向量第8节

空间距离会用几何法与向量法求点到直线、点到平面的距离.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE图23.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.(

)(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(

)(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.(

)(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.(

)××√解析(1)当平面α上三点在平面β的两侧时，α与β相交.(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线，该点与垂足之间的距离.(4)直线l上的两个点在平面α的两侧时，l与平面α相交.×解析由题意，点F到平面ABC的距离为

4.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，

则平面AMN与平面EFBD间的距离为________.解析以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，N(4，2，4).易知MN∥EF，MN⊂平面AMN，EF

平面AMN，∴EF∥平面AMN，又BF∥AM，AM⊂平面AMN，BF

平面AMN，∴BF∥平面AMN，∵EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一利用几何法求距离A解析如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.(2)(2024·安庆模拟)一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截(如图)，O为底面圆的中心，O1为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且∠AO1B＝60°，则点B到底面的距离是________.解析圆柱半径为1，截面与底边所成角为45°，作BC⊥AO1于C，感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.D解析如图，连接CB1，设AC的中点为D，连接B1D，则B1D⊥AC，设点C到直线AB1的距离为h，(2)(2024·威海模拟)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为________.解析由题可得AB＝8，因为AP＝BP，考点二利用向量法求距离例2

(1)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为(

)A解析如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，角度1点到直线的距离A解析以A为空间直角坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.由ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，角度2点到平面的距离感悟提升训练2

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.求：（1）点N到直线AB的距离；（2）点C1到平面ABN的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为D1C1，C1C的中点.(1)求点E到直线AF的距离；(2)求点B1到平面A1BE的距离.设n＝(x，y，z)为平面A1BE的一个法向量，2.(2024·江西五市九校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，AB＝AE＝2BF＝2.(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；证明

取EC的中点G，连接BD交AC于点N，连接GN，GF.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且N是AC的中点，又AE∥BF，AE＝2BF＝2，所以GN∥BF且GN＝BF，所以四边形BNGF是平行四边形，所以GF∥BN.又EA⊥平面ABCD，BN⊂平面ABCD，所以EA⊥BN，又因为AC∩EA＝A，AC，EA⊂平面EAC，所以BN⊥平面EAC，所以GF⊥平面EAC.又GF⊂平面EFC，所以平面EFC⊥平面EAC.(2)求点B到平面CEF的距离.解

因为EA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以EA⊥AC.因为EA∥BF，所以BF⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以BF⊥BC.因为∠ABC＝60°，AB＝2，所以AC＝2，取AB的中点M，连接CM，因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，又因为EA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，所以EA⊥CM，且AB∩EA＝A，AB，EA⊂平面ABFE，所以CM⊥平面ABFE.设点B到平面CEF的距离为d，因为VB－CEF＝VC－BEF，3.如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直线DE到平面PBC的距离.解如图，设DE的中点为O，BC的中点为F，连接OP，OF，OB，则OP⊥DE，因为平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以OP⊥平面BCDE.因为在△ABC中，点D，E分别为AC，AB边的中点，所以DE∥BC.因为DE

平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.又OF⊥DE，所以以点O为坐标原点，OE，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，解在正三棱柱ABC－A1B1C1中，因为M为A1B1的中点，所以C1M⊥A1B1.又A1A⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，则有AA1⊥C1M，而AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，所以C1M⊥平面AA1B1B.又C1M⊂平面BC1M，所以平面BC1M⊥平面AA1B1B.在平面AA1B1B内过点A作AQ⊥BM交BB1于点Q.因为平面BC1M∩平面AA1B1B＝BM，因此AQ⊥平面BC1M，故点Q即为所要找的点.显然△ABQ∽△BB1M，(2)求点C到平面BC1M的距离.解取AB的中点N，连接CN，MN，因为M为A1B1的中点，所以MN∥BB1∥CC1，MN