2025年沪科版八年级数学寒假预习 第01讲 二次根式

第01讲二次根式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解二次根式的概念；2．掌握二次根式的性质，能够运用二次根式的性质进行化简；知识点1二次根式的概念1.定义一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号，“”称为被开方数.2.二次根式定义的理解(1)二次根式“”,一般省略根指数2,写作“”(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.(3)≥0是有意义的前提条件，(4)在具体问题中，如果已知二次根式,就意味着给出≥0这一隐含条件。知识点2二次根式的性质1.二次根式的性质（1），即非负数的算术平方根是非负数.（2），即非负数的算术平方根的平方等于它本身.（3）即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。2.与的区别与联系表达式取值范

围不同是全体实数区

别运算顺

序不同先平方后开方先开方后平方运算结

果不同联系①结果都是非负数；

②当时，考点01：二次根式有意义的条件例题1．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【变式1-1】已知函数有意义，则的取值范围．【变式1-2】若，则的值是．【变式1-3】（22-23八年级下·四川成都·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是．考点02：求二次根式的值例题2.已知，均为实数，，则的值为．【变式2-1】计算：．【变式2-2】当时，二次根式的值为．【变式2-3】已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是．考点03：求二次根式中的参数例题3.如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根．【变式3-1】二次根式与的和为0，则的值为．【变式3-2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是．【变式3-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值．考点04：利用二次根式的性质进行化简例题4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简．【变式4-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则．【变式4-2】（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）已知a，b在数轴上的位置如图，化简＝．​【变式4-3】已知a为整数，且满足，则a的值为．一、单选题1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C．3 D．2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（

）A． B． C． D．二、填空题4．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则．5．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则．6．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为．三、解答题7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围．(1)；(2)；(3)；(4)．8．（23-24八年级下·重庆开州·期中）若，都是实数，且满足，试化简代数式：．9．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：(1)已知，则的值为______；(2)若x，y为实数，且，求的值．10．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法．例：已知，求的值．解：由，得，，______；（2）尝试应用：若，为实数，且，化简：；（3）拓展创新：已知，求的值．

第01讲二次根式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解二次根式的概念；2．掌握二次根式的性质，能够运用二次根式的性质进行化简；知识点1二次根式的概念1.定义一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号，“”称为被开方数.2.二次根式定义的理解(1)二次根式“”,一般省略根指数2,写作“”(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.(3)≥0是有意义的前提条件，(4)在具体问题中，如果已知二次根式,就意味着给出≥0这一隐含条件。知识点2二次根式的性质1.二次根式的性质（1），即非负数的算术平方根是非负数.（2），即非负数的算术平方根的平方等于它本身.（3）即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。2.与的区别与联系表达式取值范

围不同是全体实数区

别运算顺

序不同先平方后开方先开方后平方运算结

果不同联系①结果都是非负数；

②当时，考点01：二次根式有意义的条件例题1．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．【答案】且【解析】解：由题意得：，且，解得：且，故答案为：且．【变式1-1】已知函数有意义，则的取值范围．【答案】【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．【解析】解：∵函数有意义，∴，∴，故答案为：．【变式1-2】若，则的值是．【答案】【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得，的值．【解析】解：和有意义，，，，，．故答案为：．【变式1-3】（22-23八年级下·四川成都·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件解答即可．【解析】解：由题意得，且，解得且．故答案为：且．考点02：求二次根式的值例题2.已知，均为实数，，则的值为．【答案】8【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．【解析】解：∵，∴，，，，故答案为：8【变式2-1】计算：．【答案】【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．【解析】故答案为：3．【变式2-2】当时，二次根式的值为．【答案】【分析】把代入原式化简即可．【解析】解：当时，原式，故答案为：．【变式2-3】已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是．【答案】【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．【解析】∵∴∴∴故答案为：考点03：求二次根式中的参数例题3.如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根．【答案】【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可．【解析】解：是二次根式，且值为5，，解得．故的算术平方根为．【变式3-1】二次根式与的和为0，则的值为．【答案】【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键．【解析】解：由题意得，，，解得：，，；故答案：．【变式3-2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是．【答案】或【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值．【解析】解：根据被开方数是非负数可得，中的，解得：，∵是自然数，∴，∵是整数，∴，，∴自然数的值是或，故答案为：或．【变式3-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值．【答案】10，9，6，1【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解．【解析】由题意得，又n为自然数，∴，∵是整数，∴，，，，∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1．考点04：利用二次根式的性质进行化简例题4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简．【答案】【分析】由题图可知，于是可得，，，，然后对原式化简绝对值并利用二次根式的性质化简，即可得出答案．【解析】解∶由题图可知，，，，，，．【变式4-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则．【答案】8【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是化简．【解析】解：，，，故答案为：8．【变式4-2】（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）已知a，b在数轴上的位置如图，化简＝．​【答案】【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值、数轴等知识点，关键是根据数轴得出，进而得出，去括号后合并即可．【解析】解：由数轴可得，且，则，，原式，故答案为：．【变式4-3】已知a为整数，且满足，则a的值为．【答案】【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解．【解析】解：，，，又∵为整数，．故答案为：25．一、单选题1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】解：A、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B、是二次根式，故此选项符合题意；C、是有理数，不符合二次根式的定义，故此选项不合题意；D、时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：B．2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】解：①当时，不是二次根式；②当时，不是二次根式；③是二次根式；④当时，不是二次根式；⑤是二次根式；⑥是二次根式．故选B．3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由题意得，解得：，故选：C．二、填空题4．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则．【答案】【解析】解：∵式子与在实数范围内有意义，∴，解得，∴，∴．故答案为：．5．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则．【答案】5或【解析】解：∵，∴且，∴，即，解得，∴，∴或，故答案为：5或．6．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为．【答案】【解析】解：在实数范围内有意义，则，总小于0，，，故答案为：．三、解答题7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）解：∵要使有意义，∴，解得：；（2）解：要使有意义，∴，∴；（3）解：∵要使有意义，∴∴；（4）解：∵要使有意义，∴，∴．8．（23-24八年级下·重庆开州·期中）若，都是实数，且满足，试化简代数式：．【答案】【解析】解：由题可知，，解得，将代入求得，则．9．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：(1)已知，则的值为______；(2)若x，y为实数，且，求的