2025年沪科版七年级数学寒假预习 第01讲 平方根、立方根

第01讲平方根、立方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根和立方根；2．会求一个数的平方根、算术平方根、立方根；知识点1平方根1.算术平方根（1）一般地、如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.规定0的舞术平方根是0.（2）a的算术平方根记为，读作“根号”,叫做被开方数.注意：(1)只有非负数才存在算术平方根，负数没有算术平方根.(2)算术平方根是它本身的数只有0和1.(3)算术平方根是非负数，即。2.算术平方根的规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.3.无限不循环小数无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分是不循环的小数.许多正有理数的算术平方根是无限不循环小数(例如：，，等).注意：的结果有两种情况：当是完全平方数时，是一个有理数；当不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数.4.平方根的定义一般地，如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根或二次方根.即如果,那么x叫做的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为±2是4的平方根.5.平方根的表示方法正数的算术平方根可以用表示；正数的负的平方根，可以用符号“-”表示，故正数的平方根可以用符号“±”表示，读作“正、负根号”.6.平方根的性质(1)正数有两个平方根，它们互为相反数.(2)负数没有平方根.(3)0的平方根是0.7.开平方(1)定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中数叫做被开方数.(2)平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系.8.平方根的求法(1)被开方数是完全平方数，可以通过开平方运算求平方根，81的平方根是±9.(2)被开方数不是完全平方数，可用计算器求正数的算术平方根，所得的值是近似值.注意：(1)在求平方根的运算中，被开方数会经常以和的形式出现，应先将和计算后，再求其平方根，如的平方根是±2.(2)在进行带分数的开平方运算时，应先将带分数化为假分数，再开方.9.,,±的意义(1)表示非负数，即,表示的算术平方根.(2)(a≥0)表示的算术平方根的相反数，也表示的负的平方根.(3)±(a≥0)表示的平方根.当>0时，±表示两个数，且这两个数互为相反数.知识点2立方根1.立方根的概念与性质（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于,那么这个数就叫做的立方根或三次方根.即如果=，则叫做的立方根.2.表示方法：一个数的立方根，用符号表示，读作“三次根号”,其中是被开方数，3是根指数.3.性质(1)正数的立方根是正数.(2)负数的立方根是负数.(3)0的立方根是0.4.开立方:求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.开立方所得的结果就是立方根，根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求出一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根.注意：(1)开立方时，被开方数可以是正数、负数或零.(2)立方根等于它本身的数是0,±1.(3)==.(4)当求一个带分数的立方根时，先将它化为假分数，然后再求它的立方根.5.立方根与平方根的区别与联系（1）联系①都与相应的乘方互为逆运算.开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算.②在研究被开方数和方根的关系时，小数点的移动规律类似.③0的立方根与平方根都是0.（2）区别①表示方法不同，用符号表示平方根时，根指数2可省略，如±;用符号表示立方根时，根指数3不可省略，的立方根必须写为.②只有非负数才有平方根，任何数都有立方根.③正数有两个平方根，但只有一个立方根.④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.6.平方根与立方根的估算要估算“”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如2³<10<3³,所以2<<3;第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1(或以较大整数为基础，开始逐步减0.1),并求其立方确定被估算数的十分位，…,如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法”.利用“夹逼法”也可确定一个数的平方根的取值范围。考点01：求一个数的算术平方根例题1.若，则的算术平方根是．【变式1-1】的算术平方根为（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知，则的算术平方根是．【变式1-3】的算术平方根是，的算术平方根是．考点02：估计算术平方根的范围例题2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则．【变式2-1】估算值是在（

）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【变式2-2】（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【变式2-3】（23-24七年级下·湖北·期中）已知，那么下列结论正确的是（

）A． B．C． D．考点03：求一个数的平方根例题3．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）已知a的平方根为，的算术平方根为2．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【变式3-1】若，则的平方根是（

）A． B． C． D．【变式3-2】的平方根是．【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，求的平方根．考点04：求代数式的平方根例题4．一个正数b的平方根是与，(1)求a和b的值．(2)求平方根．【变式4-1】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为．【变式4-2】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．(1)求和的值．(2)求的平方根．【变式4-3】已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数．考点05：已知一个数的平方根求这个数例题5．如果和是正数A的平方根，则A为（

）A．1或9 B．1或 C．1 D．【变式5-1】若一个数的平方根为和，则这个数是．【变式5-2】一个正数x的两个不同的平方根是和，则a的值为．【变式5-3】（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值．考点06：利用平方根解方程例题6．求下列各式中x的值．(1)；(2)．【变式6-1】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）满足方程中的x的值为．【变式6-2】解方程：【变式6-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，求未知数x的值考点07：平方根的应用例题7．如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．(1)求出这个魔方的棱长．(2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．【变式7-1】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（

）A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米【变式7-2】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断．【变式7-3】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值．考点08：平方根、立方根的概念理解例题8．有下列说法：①的平方根是4；②表示6的算术平方根的相反数；③的立方根是；④是的平方根.其中，正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式8-1】判断下列说法正确的是（

）．A．的平方根是； B．是64的立方根；C．是的立方根； D．的平方根是．【变式8-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是【变式8-3】绝对值是它本身的数是，平方和平方根都是它本身的数是，倒数是它本身的数是，相反数是它本身的数是．考点09：求一个数的立方根例题9．求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)．【变式9-1】的立方根是．【变式9-2】的平方根是，算术平方根是，−8的立方根是【变式9-3】若，则．【答案】或考点10：已知一个数的立方根求这个数例题10．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4．(1)求的值；(2)求的平方根．【变式10-1】已知的两个平方根分别是和的立方根是的值为．【变式10-2】知一个正数的平方根是和，的立方根为－3．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【变式10-3】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）若既是的一个平方根，又是的立方根，求的立方根．考点11：算术平方根与立方根的综合应用例题11．若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根；【变式11-1】（23-24七年级下·山东德州·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是．【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根．【变式11-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知的算术平方根是3，，求的立方根．一、单选题1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（

）A．5 B． C． D．2．（23-24七年级下·广东东莞·期中）在下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年级下·河北保定·期末）化简的结果是（

）A．4 B．6 C． D．0二、填空题4．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知，则的立方根是．5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，则的值是．6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）某款储物箱A的底面是面积为的正方形，在一间长，宽的长方形仓库中堆放这款储物箱A，要求储物箱从墙角开始，依次整齐正向摆放，则一层最多能放下个储物箱A．7．（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，，．三、解答题8．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）求x的值：(1)(2)9．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知的平方根是，求的立方根．10．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知x的两个平方根分别是与，且的立方根是．(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．

第01讲平方根、立方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根和立方根；2．会求一个数的平方根、算术平方根、立方根；知识点1平方根1.算术平方根（1）一般地、如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.规定0的舞术平方根是0.（2）a的算术平方根记为，读作“根号”,叫做被开方数.注意：(1)只有非负数才存在算术平方根，负数没有算术平方根.(2)算术平方根是它本身的数只有0和1.(3)算术平方根是非负数，即。2.算术平方根的规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.3.无限不循环小数无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分是不循环的小数.许多正有理数的算术平方根是无限不循环小数(例如：，，等).注意：的结果有两种情况：当是完全平方数时，是一个有理数；当不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数.4.平方根的定义一般地，如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根或二次方根.即如果,那么x叫做的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为±2是4的平方根.5.平方根的表示方法正数的算术平方根可以用表示；正数的负的平方根，可以用符号“-”表示，故正数的平方根可以用符号“±”表示，读作“正、负根号”.6.平方根的性质(1)正数有两个平方根，它们互为相反数.(2)负数没有平方根.(3)0的平方根是0.7.开平方(1)定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中数叫做被开方数.(2)平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系.8.平方根的求法(1)被开方数是完全平方数，可以通过开平方运算求平方根，81的平方根是±9.(2)被开方数不是完全平方数，可用计算器求正数的算术平方根，所得的值是近似值.注意：(1)在求平方根的运算中，被开方数会经常以和的形式出现，应先将和计算后，再求其平方根，如的平方根是±2.(2)在进行带分数的开平方运算时，应先将带分数化为假分数，再开方.9.,,±的意义(1)表示非负数，即,表示的算术平方根.(2)(a≥0)表示的算术平方根的相反数，也表示的负的平方根.(3)±(a≥0)表示的平方根.当>0时，±表示两个数，且这两个数互为相反数.知识点2立方根1.立方根的概念与性质（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于,那么这个数就叫做的立方根或三次方根.即如果=，则叫做的立方根.2.表示方法：一个数的立方根，用符号表示，读作“三次根号”,其中是被开方数，3是根指数.3.性质(1)正数的立方根是正数.(2)负数的立方根是负数.(3)0的立方根是0.4.开立方:求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.开立方所得的结果就是立方根，根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求出一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根.注意：(1)开立方时，被开方数可以是正数、负数或零.(2)立方根等于它本身的数是0,±1.(3)==.(4)当求一个带分数的立方根时，先将它化为假分数，然后再求它的立方根.5.立方根与平方根的区别与联系（1）联系①都与相应的乘方互为逆运算.开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算.②在研究被开方数和方根的关系时，小数点的移动规律类似.③0的立方根与平方根都是0.（2）区别①表示方法不同，用符号表示平方根时，根指数2可省略，如±;用符号表示立方根时，根指数3不可省略，的立方根必须写为.②只有非负数才有平方根，任何数都有立方根.③正数有两个平方根，但只有一个立方根.④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.6.平方根与立方根的估算要估算“”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如2³<10<3³,所以2<<3;第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1(或以较大整数为基础，开始逐步减0.1),并求其立方确定被估算数的十分位，…,如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法”.利用“夹逼法”也可确定一个数的平方根的取值范围。考点01：求一个数的算术平方根例题1.若，则的算术平方根是．【答案】【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由开平方和平方是互逆运算，用平方的方法求这个数的平方根，由，利用算术平方根的定义可以得，求出x的值，即可得出x的算术平方根．【解析】解：，，，的算术平方根是，故答案为：．【变式1-1】的算术平方根为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了算术平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，其中非负的平方根叫做这个数的算术平方根．根据算术平方根的定义解答即可．【解析】解：的算术平方根是，故选：A．【变式1-2】已知，则的算术平方根是．【答案】3【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先求解，再利用算术平方根的含义可得答案．【解析】解：∵，∴的算术平方根是，故答案为：【变式1-3】的算术平方根是，的算术平方根是．【答案】2【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．【解析】解：∵，而的算术平方根是，∴的算术平方根是2，∵，而的算术平方根是，∴的算术平方根是，故答案为：2；．考点02：估计算术平方根的范围例题2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则．【答案】【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可．【解析】解：∵，∴，故答案为：．【变式2-1】估算值是在（

）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】D【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可．【解析】解：∵，∴，∴，∴值是在6和7之间，故选：D【变式2-2】（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】D【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系．根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案．【解析】解：由，得，即，故选：D．【变式2-3】（23-24七年级下·湖北·期中）已知，那么下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可．【解析】解：∵，∴，，这两个式子都不成立，故选：A．考点03：求一个数的平方根例题3．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）已知a的平方根为，的算术平方根为2．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】此题主要考查了算术平方根以及平方根；（1）直接利用平方根的定义以及算术平方根的定义分析得出答案；（2）直接利用平方根的定义分析得出答案．【解析】（1）∵a的平方根为，∴，∵的算术平方根为2∴，∴；（2）∵，，∴，∴的平方根为．【变式3-1】若，则的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到，则，再根据若两个实数a、b满足，那么a就叫做b的平方根进行求解即可．【解析】解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴的平方根为，故选：B．【变式3-2】的平方根是．【答案】【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键．【解析】解：的平方根是，故答案为：．【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，求的平方根．【答案】【分析】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性得到方程组是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性得到方程组，解方程组后即可得到答案．【解析】解：∵，∴，解得：，∴，∴的平方根为．考点04：求代数式的平方根例题4．一个正数b的平方根是与，(1)求a和b的值．(2)求平方根．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查平方根：（1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值；（2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可．【解析】（1）解：∵正数b的平方根是与，∴，∴．∴，，∵9的个平方根是，∴；（2）解：∵，，∴，∴，即平方根是．【变式4-1】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为．【答案】【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．【解析】解：∵与互为相反数，∴，∴，，解得：，，则，故的平方根为：．故答案为：．【变式4-2】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．(1)求和的值．(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键．（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；（2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案．【解析】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，∴，解得，∴；（2）解：将代入中，得，∵的平方根为，∴的平方根为．【变式4-3】已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数．【答案】的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是【分析】根据平方根的定义进行计算即可．【解析】解：当如果与相等时，那么，解得，此时，则，所以这个正数为；当如果与互为相反数时，那么解得，此时，，则，所以这个正数为，答：的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是．考点05：已知一个数的平方根求这个数例题5．如果和是正数A的平方根，则A为（

）A．1或9 B．1或 C．1 D．【答案】A【分析】此题主要考查了平方根．首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可．【解析】解：当两数互为相反数时，，解得：，∴，，则这个正数为1；当两数相等时，，∴，∴，这个正数是9．故这个正数为1或9，故选：A．【变式5-1】若一个数的平方根为和，则这个数是．【答案】【分析】本题考查了平方根的概念，根据平方根的概念分得和互为相反数，据此即可列出方程求得的值，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．【解析】解：∵一个数的平方根为和，∴和互为相反数，即，解得，则这个数是；故答案为：．【变式5-2】一个正数x的两个不同的平方根是和，则a的值为．【答案】4【分析】本题考查了平方根的概念，根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列出式子，计算即可得出答案．【解析】解：依题意，得：，解得，故答案为：．【变式5-3】（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值．【答案】a的值为4，x的值为25【分析】本题考查平方根，根据一个正数的2个平方根互为相反数，得到，求出的值，进而求出x的值即可．【解析】解：依题意得，解得，当，，∴故a的值为4，x的值为25．考点06：利用平方根解方程例题6．求下列各式中x的值．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)或．【分析】本题考查了平方根的定义，正确理解平方根的定义是解题的关键．（1）利用平方根的定义解方程即可；（2）利用平方根的定义解方程即可；【解析】（1）移项，得，开平方，得；（2）开平方，得，解得：或．【变式6-1】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）满足方程中的x的值为．【答案】【分析】本题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可．【解析】解：，∴，故答案为：．【变式6-2】解方程：【答案】【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，整理方程，利用平方根的定义求解即可．【解析】解：，．【变式6-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，求未知数x的值【答案】或【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方解方程即可．【解析】解：∵，∴，∴或，解得或．考点07：平方根的应用例题7．如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．(1)求出这个魔方的棱长．(2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．【答案】(1)3．(2)正方形的面积是5，边长为．【分析】本题考查了立方根和平方根的意义，熟练掌握立方根和平方根的意义是解答本题的关键．（1）直接根据立方根的意义求解即可；（2）先求出阴影部分的面积，再根据平方根的意义求解即可．【解析】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得，解得．故魔方的棱长为3．（2）∵魔方的棱长为3，∴阴影面积为：，设正方形的边长为y，则，解得，（舍去），故正方形的面积是5，边长为．【变式7-1】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（

）A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米【答案】C【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，依题意得：，即∴解得：，（不符合题意，舍去），∴需要延长边长4米．故选：C【变式7-2】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断．【答案】能，理由见解析【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果．【解析】解：能，理由如下：∵正方形贺卡的面积为，∴正方形的边长为，设长方形的信封的长为，宽为，依题得：，即，∴，∴或（舍去），∴，∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．【变式7-3】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值．【答案】【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解．【解析】解：∵空白部分面积之和为，∴∴则∵∴考点08：平方根、立方根的概念理解例题8．有下列说法：①的平方根是4；②表示6的算术平方根的相反数；③的立方根是；④是的平方根.其中，正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可．【解析】解：①，的平方根是，故①错误；②表示6的算术平方根的相反数，故②正确；③的立方根是，故③正确；④，是的平方根，故④正确；故选：C【变式8-1】判断下列说法正确的是（

）．A．的平方根是； B．是64的立方根；C．是的立方根； D．的平方根是．【答案】C【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可．【解析】解∶A．是负数，没有平方根，故原说法错误，不符合题意；B．4是64的立方根，故原说法错误，不符合题意；C．是的立方根，故原说法正确，符合题意；D．的平方根是，故原说法错误，不符合题意；故选∶C．【变式8-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是【答案】【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可．【解析】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身，∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是．故答案为：．【变式8-3】绝对值是它本身的数是，平方和平方根都是它本身的数是，倒数是它本身的数是，相反数是它本身的数是．【答案】正数和000【分析】本题考查了绝对值，倒数，相反数和平方根的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．【解析】解：绝对值是它本身的数是正数和0，平方和平方根都是它本身的数是0，倒数是它本身的数是，相反数是它本身的数是0．故答案为：正数和0，0，，0．考点09：求一个数的立方根例题9．求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查的是解方程，灵活运用立方根解方程是关键．（1）利用立方根解方程即可；（2）整理后，利用立方根解方程即可；（3）利用立方根解方程即可．【解析】（1）解：，方程可化为，；（2）解：，方程可化为，；（3）解：，方程可化为，，．【变式9-1】的立方根是．【答案】2【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键；先求出的值，再求出其立方根即可．【解析】解：，的立方根是2，故答案为：2．【变式9-2】的平方根是，算术平方根是，的立方根是【答案】【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．【解析】解：的平方根是，算术平方根是，的立方根是，故答案为：；．【变式9-3】若，则．【答案】或【分析】本题考查利用算术平方根定义解方程，涉及算术平方根、平方根及立方根定义与求法，利用平方根、算术平方根及立方根的解法求解即可得到答案，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键．【解析】解：，，解得或，故答案为或．考点10：已知一个数的立方根求这个数例题10．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4．(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．（1）根据算术平方根和立方根的定义列方程组求解即可；（2）将（1）中的结果代入中求出值，再求平方根即可．【解析】（1）由的立方根是3，的算术平方根是4，可得：，解得：．（2）由（1）可知，∵，∵的平方根是，∴的平方根为．【变式10-1】已知的两个平方根分别是和的立方根是的值为．【答案】185【分析】本题考查了平方根，立方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出方程，求出，即可求出x、y,代入求出即可．【解析】解：∵的两个平方根分别是和，∴，解得，，∴，∵的立方根是，∴，∴．【变式10-2】知一个正数的平方根是和，的立方根为－3．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．（1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值；（2）根据平方根的定义求值．【解析】（1）解：（1）由题意得，，，解得：，；（2）解：∵，∴的平方根是．【变式10-3】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）若既是的一个平方根，又是的立方根，求的立方根．【答案】1【分析】本题主要考查了立方根，平方根的定义，先根据立方根，平方根的定义，求出a，b的值，然后代入求出，然后再根据立方根的定义求解即可．【解析】解：既是的一个平方根，又是的立方根，∴，，∴，，∴，∴的立方根还是1．考点11：算术平方根与立方根的综合应用例题11．若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根；【答案】的立方根是1．【分析】本题考查了算术平方根以及立方根的定义．根据算术平方根以及立方根的定义，A和B的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a，b的方程组求得a，b的值，进而得到A、B的值，从而求解．【解析】解：根据题意得：，解得：，则，，则，∴的立方根是1．【变式11-1】（23-24七年级下·山东德州·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是．【答案】2【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根．【解析】解：∵的算术平方根是5，∴，∴，∴，∴的立方根是2．故答案为：2【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根．【答案】【分析】本题主要考查平方根，立方根的知识，根据题意求出，再求出，再进行计算即可．【解析】解：由题意得，解得，∴∴∴【变式11-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知的算术平方根是3，，求的立方根．【答案】【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，根据的算术平方根是3，，先求出，，然后再代入求值即可．【解析】解：∵，，∴，，∴，，∴．一、单选题1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查的是算术平方根的概念以及正方形的面积的计算，掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据算术平方根的概念以及正方形的面积公式计算即可