2024-2025学年重庆市高三上学期第四次月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年重庆市高三上学期第四次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则复平面内表示的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设等比数列的前项和为，若，且，则等于（

）A．3 B．303 C． D．3．已知向量，满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（

）A． B． C． D．5．已知直线，圆，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则（

）A．2 B．4 C． D．86．已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．7．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（

）个人.A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（

）A．，为对立事件 B．C． D．10．下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（

）A．B．将图象向右平移后得到函数的图象C．在区间上单调递增D．若，则11．双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，若P是右支上一点（与B不重合）如图，过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（

）

A．P到两条渐近线的距离之积为B．当直线l运动时，始终有C．在中，D．内切圆半径取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．中内角，，所对的边分别为，，，且，，，则．13．已知直线和互相垂直，且，则的最小值为．14．已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.16．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．17．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败.(1)当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望；(2)当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.18．已知函数．(1)若，求极值；(2)若函数有两个极值点，求的范围；(3)在（2）的条件下，求证：．19．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.(1)求的方程;(2)若是四边形的等线，求四边形的面积;(3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线

答案1．【正确答案】D【详解】，则．其对应的点在第四象限．故选：D.2．【正确答案】A【详解】设等比数列的公比为，由，可得，故．故选：A.3．【正确答案】B【详解】因为，所以，所以，从而在上的投影向量为．故选：B.4．【正确答案】D【详解】原式.故选：D.5．【正确答案】C【详解】圆心，则点C到直线的距离，又因为圆C上恰有三个点到直线的距离为，所以圆心到直线的距离，即.故选：C．6．【正确答案】B【详解】在中，，，则的外接圆的半径，因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为，则，则三棱锥的外接球的表面积为．故选：B．7．【正确答案】D【详解】由题意函数与的图象有两个交点，令，则，∴当时，ℎ′x>0，当时，ℎ′x<0，又恒过点1,0，当时，ℎx>0，在同一坐标系中作出函数、的图象，如图，由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则，当直线为函数图象的切线时，由，可得，∴且，即.故选：D．8．【正确答案】C【详解】已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况，若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即，由于，即随n随n的增大而减小，，，故至少要选个人，故选：C.9．【正确答案】AB【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，所以，故D错误；，故C错误.故选AB.10．【正确答案】AC【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，由，得，，而，则，，所以，故A正确；对于B，将图象向右平移后得到函数，故B错误；对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此在区间上单调递增，故C正确．对于D，因为，取，满足条件，此时，故D错误．故选：AC.11．【正确答案】ABC【详解】由题可知双曲线的标准方程为，故两个渐近线方程分别为与，设点，由题可知所以点到两个渐近线的距离分别为故由题可知，故，故选项A正确；设点显然直线的斜率存在,设直线联立方程，，得所以直线分别与渐近线与联立得得所以有即由题可知，所以，故选项B正确；不妨设，由题可知，所以有由题可知，故所以整理得，故选项C正确；由三角形内切圆的半径求法可知其内切圆半径易知得因为得,所以，因为，所以，所以，，故选项D错误.故选：ABC12．【正确答案】【详解】在中由正弦定理可知，所以，解得，由，又，，所以，所以.故答案为.13．【正确答案】/【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故．14．【正确答案】【详解】当时，设，则，所以在区间上单调递减，从而，此时；当时，设，在区间上单调递减，所以当时，，即；当时，，即；当时，，即.可知，设，注意到曲线与曲线恰好交于点，显然，,作出的大致图象如图，

由，得，即g(x)=ax+1.设直线与曲线切于点，，直线过定点，则，解得，从而.由图象可知，若关于x的方程有3个实数解，则直线与曲线有3个交点，则，即所求实数a的取值范围是，故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，所以，当时，，两式作差得，所以，则数列为常数数列，且，所以；（2），所以，①②①-②得所以16．【正确答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【详解】（1）证明：设的中点为，连接，因为P为的中点，Q为的中点，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）在直三棱柱中，平面，，故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，则，，又，则，所以，若平面，则，则，解得，所以线段上存在点P，使得平面，此时.17．【正确答案】(1)分布列见解析，(2)【详解】（1）当时，第一轮答题后累计得分所有取值为4，3，2，根据题意可知：，，，所以第一轮答题后累计得分的分布列为：432所以.（2）当时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以.18．【正确答案】(1)极大值为，极小值为(2)(3)证明见解析【详解】（1）当时，，函数定义域为0,+∞，，当，f′x>0，在上单调递增，或，f′x<0，在0,1和上单调递减，∴的极大值为，的极小值为．（2）由，得．令，则，，当，即时，恒成立，则，所以在0,+∞上是减函数．当，即或．（i）当时，在0,+∞上单调递增，恒成立，从而f′x<0，所以在（ii）当时，函数有两个零点：，，列表如下：f-0+0-减函数极小值增函数极大值减函数综上当，有两个极值点．（3）由（2）知，当时，有两个极值点，，，则，是方程gx=0的两个根，从而，，由韦达定理，得，．所以，．令，，，则，当时，，则在上是增函数，从而，故．19．【正确答案】(1)(2)12(3)证明见解析【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可.（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.（3）利用给定条件和新定义证明即可.【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方，因为直线为的等线，所以，解得，所以的方程为（2）设Px0,y0故，该式可以看作关于的一元二次方程，所以，即方程为当的斜率不存在时，也成立渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，故，所以是