2024-2025学年天津市和平区高二上学期第三次学情调研数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年天津市和平区高二上学期第三次学情调研数学检测试卷一、选择题（每小题5分，共50分，每题均只有一个正确答案.）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】转化为斜截式方程，根据斜率的定义可求倾斜角.【详解】依题意有，则，解得倾斜角，故选：C.2.设，，，则的中点M到点C的距离（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由空间两点间距离公式计算．【详解】由已知中点为，.故选：C．3.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆的右焦点坐标为，∴抛物线的焦点坐标为，∴抛物线的准线方程为，故选：D.4.在空间四边形中，若向量，，点E，F分别为线段，的中点，则的坐标为（）A B. C. D.【正确答案】B【分析】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解.【详解】如图，取中点M，连接，，如图，则，，而.故选：B.5.已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A.2 B.3 C.6 D.9【正确答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.6.已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】由双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可.【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，解得，，，则左焦点，由双曲线的定义得，因为，即当，，三点共线时最大，所以，最大值为.故选：D.7.若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（）A B. C. D.【正确答案】A【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围.【详解】作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线，圆的圆心为原点，原点到直线的距离为，两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为，又圆上有4个点到直线的距离为1，两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交由此可得圆的半径，即，实数r的取值范围是.故选：A.8.已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（）A. B. C.2 D.【正确答案】D【分析】由，根据双曲线的定义可得、，结合勾股定理和离心率的定义计算即可求解.【详解】如图，，，由，得，所以，得，故，又，即，得，由，得，即双曲线的离心率为.故选：D.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，则点A到平面的距离.故选：C10.在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（）①四面体外接球的表面积为②点与点之间的距离为③四面体的体积为④异面直线与所成的角为A. B. C. D.【正确答案】B【分析】分析可知线段的中点为四面体外接球球心，结合球体表面积公式可判断①；过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断②③④的正误.【详解】对于①，取的中点，连接、，则，因为，所以，，所以，为四面体的外接球球心，球的表面积为，①对；对于②③④，过点在平面内作，垂足为点，过点作交于点，则二面角的平面角为，在中，，，，则，，，则，，，，，，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的垂线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，则、、、，，②错，，，③对，，，，故异面直线与所成角为，④错.故选：B.方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，请将正确的答案填写到答题纸上.）11.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_________．【正确答案】10【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解.【详解】由题意，正四棱柱如下图：不妨设正四棱柱底面边长为，，由已知条件可得，，又因为底面，所以对角线与底面所成角为，因为对角线与底面所成角的余弦值为，，所以，解得，从而，故该正四棱柱的表面积.故10.12.圆关于直线对称的圆的标准方程为______．【正确答案】【分析】由题意，整理圆的一般方程为标准方程，明确圆心与半径，根据点关于直线对称，可得答案.【详解】由，则，即，半径为，设关于直线的对称点，可得，解得，即，故圆的标准方程为.故13.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为______.【正确答案】##【分析】利用点差法即可得解.【详解】由于，所以点在椭圆内部，设，，由已知，，由题意，，两式相减得，.故答案为.14.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是______.【正确答案】##【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与对应的方向向量，结合向量夹角的余弦的坐标公式即可得解.【详解】建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角.直三棱柱，且，以C为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A2,0,0，，，，，，设直线与成的角为，则，直线与所成角的余弦值为.故答案为.15.若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______．【正确答案】【分析】由两圆公共弦方程，将两圆方程相减得到，结合已知列方程组求、，即可得答案.【详解】由题设，两圆方程相减可得：，即为公共弦，∴，可得，∴故答案为.16.已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为____________．【正确答案】3【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据有.即可求出，进而求出三角形的面积.【详解】由已知可得，，，所以，.因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，，所以.又，所以为直角三角形，则，所以，所以.故3.17.已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为______.【正确答案】7【分析】根据双曲线的定义，直角三角形面积公式，勾股定理列方程，结合离心率的值，即可得解.【详解】如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上，设，，则，，，即，所以，又，所以，又，，解得，所以，即.故7.18.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是______.【正确答案】13【分析】由离心率为，得到a，b，c之间的关系，作出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值.【详解】椭圆的离心率为，，，椭圆的方程为，即，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，，，，，为正三角形，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式Δ=，，得，为线段的垂直平分线，根据对称性，，，的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故13.三、解答题：（本题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.如图.在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面ACE；（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）连连接BD与AC交于点O，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判定定理可得.（2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】如图所示：，连接BD与AC交于点O，因为O，E为中点，所以,又平面，平面，所以平面；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系令，所以设平面的一个法向量为所以，令所以，所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值20.如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，证出，且，根据线面垂直的判定定理即可证明.（2）假设存在，利用线面垂直的定义证出即可.【详解】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则，，因为是的中点，所以，所以，所以，且.所以，，且.所以⊥平面.（2）假设在线段上存在点，使得//平面.设，则.因为//平面，⊥平面，所以.所以.所以，在线段上存在点，使得//平面.其中.本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直的判定定理，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.21.已知椭圆.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）将椭圆的方程化为标准方程，得出、与的等量关系，可得出椭圆的离心率的值；（2）设直线的方程为，设点、，将的值代入得出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立，消去，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件可求出，利用点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，；（2）设斜率为的直线的方程为，且、，，椭圆的方程为，由，.消去得，又有.，解得：满足，直线的方程为.故到直线的距离，.本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.22.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足.（1）若点P的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线，的斜率之积为，求实数m的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据条件以及可得A点的坐标，再根据离心率的条件以及a，b，c的关系可求得a，b，c的值，从而求出椭圆的方程；（2）直线与椭圆位置关系，一般有两个思路，一是利用韦达定理，二是利用点坐标变换，本题选用后一种思路：设，则由的斜率之积，得，由，解出代入椭圆方程化简得，从而求出实数的值．【小问1详解】因为，而，所以，代入椭圆方程，得，①又椭圆的离心率为，所以.②