2024-2025学年天津市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年天津市高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共9小题）1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的图象可能为（

）A． B．C． D．4．已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为（）A.23π B.33π C.7．已知函数给出下列结论：①的周期为；②时取最大值；③的最小值是；④在区间内单调递增；⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号题（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③8．在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（）A． B．C． D．9．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（

）A． B． C． D．2二、填空题（本大题共6小题）10．是虚数单位，复数.11．若的展开式中的系数为，则实数的值为.12．已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则13．袋中装有大小､形状完全相同的2个白球和4个红球，每次抽取1个球.若无放回的抽取，已知第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率是；若有放回的抽取，则在3次抽取中恰有2次抽到白球的概率是.14．已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是.15．已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为．三、解答题（本大题共5小题）16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.(1)求的值；(2)若，（i）求的值；（ⅱ）求的值.17．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；(2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.18．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点.(1)求证：平面平面PAD；(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；(3)求B点到平面EAC的距离.19．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A，B两点.①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以TA，TB为邻边的平行四边形为菱形?若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.20．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，讨论函数的单调性；(3)若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围.

答案1．【正确答案】C【详解】由题意，所以.故选：C.2．【正确答案】A【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.3．【正确答案】D【详解】函数定义域为，则函数为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C；又，排除选项AB；故选：D4．【正确答案】D【详解】对于A，若，，则或，则m，n相交、平行、异面都有可能，A错误；对于B，若，则与相交或平行，B错误；对于C，若，则，又，则或，C错误；对于D，由，得或，若，则存在过的平面与相交，令交线为，则，而，于是，；若，而，则，因此，D正确.故选：D5．【正确答案】C【详解】，，，则,故.故选：C.6．【正确答案】B设圆柱、圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为r2+(3)2=r7．【正确答案】B【详解】因为.①因为，所以①正确；②因为，所以②错误；③当，即时，取最小值，且最小值是，所以③正确；④当时，由知在区间内并不单调，故④错误；⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数，故⑤错误.故正确的是①③.故选：B.8．【正确答案】A【详解】

由题意可得：，，设，则,又三点共线，所以，解得，所以，故选：A9．【正确答案】A【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分，可得，且，所以圆柱的底面直径，设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得，所以，由勾股定理得，解得.故选：A.10．【正确答案】/【详解】已知所以.故11．【正确答案】【详解】法一：展开式第项时，，，，.故2.法二：展开式中，要想凑出，必须取三次方，也取三次方，于是算下系数就有，.故2.12．【正确答案】【详解】圆0，即，圆心，因为圆关于直线对称，所以，解得，所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离，所以．故答案为.13．【正确答案】【详解】设第一次抽到白球为事件，第二次抽到白球为事件，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为，因为，，所以.若有放回的抽取，设在3次抽取中抽到的白球个数为，则服从二项分布，即，所以.故答案为:;.14．【正确答案】【详解】因为上有且仅有2个零点，所以，所以.故15．【正确答案】【详解】根据题意，可得，由点是中点，可得，所以，向量在向量上的投影向量，因为，所以，所以向量在向量上的投影向量的模为：，当且仅当，即时取等号，所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为.故①；②.16．【正确答案】(1)(2)（i）；（ⅱ）【详解】（1）由，且C是三角形的内角，则，因为，由正弦定理得，所以.（2）（i）由余弦定理得，即，解得或.（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，所以，，所以.17．【正确答案】(1)(2)（i）；1；（ii）.【详解】（1）由图可知，，，所以，.将点代入得，.又，所以，所以.（2）（i）将的图象向左平移个单位长度，得，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，所以，所以；（ii）因为，所以，，所以，所以，所以，故在上的值域为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）由题可知，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示则所以所以即,所以即,又,平面PAD,所以平面PAD,又平面，所以平面平面PAD.（2）设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，由题意知，平面，平面ACD的法向量为,设平面EAC与平面ACD夹角的，则，所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为.（3）由（2）知，平面的法向量为，设B点到平面EAC的距离为，则，所以B点到平面EAC的距离为.19．【正确答案】(1)；(2)①；②.【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得：，因为，所以解得，再由椭圆的一个顶点为，可得，所以由，即椭圆C的标准方程为；（2）①直线过椭圆右焦点可得：，即，所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得：，设两交点，则有所以，又椭圆左焦点到直线的距离为，所以，解得：或（舍去），即；②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点，且，可知直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得：，由，且，解得，

设两交点，中点，则有所以，即，整理得，又因为，所以，则.20．【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)【详解】（1），，，当时，，切点坐标为，又，切线斜率为，曲线在处切线方程为：.（2），