2024-2025学年山东省菏泽市高二上学期第三次月考（12月）数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省菏泽市高二上学期第三次月考（12月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知是等差数列，且，则的值是（

）A．24 B．27 C．30 D．332．在数列中，，则等于（

）A．4 B． C．13 D．3．已知A，，三点不共线，点不在平面内，，若A，，，四点共面，则的最大值为（）A． B． C．1 D．24．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（）A． B． C． D．5．已知等差数列，则“单调递增”是“”的（

）条件A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点在基底下的坐标是，其中，则点在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．7．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（

）A．B．C．D．8．过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（）A． B．14 C．15 D．16二、多选题（本大题共3小题）9．（多选）等差数列，的前项和分别为，，，则下列说法正确的有（

）A．数列是递增数列 B．C． D．10．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（）

A．直线与所成的角不可能是B．当时，点到平面的距离为C．当时，D．若，则二面角的平面角的正弦值为11．已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则下列说法正确的是（）A．点P的轨迹方程为：B．P，A，B不共线时，面积的最大值为C．存在点P，使得D．为坐标原点，的最小值为4三、填空题（本大题共3小题）12．已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为.13．记等差数列的前项和分别为．若，则．14．已知数列中，，则．四、解答题（本大题共5小题）15．已知是等差数列的前n项和．（1）证明是等差数列；（2）设为数列的前n项和，若，，求．16．已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围．17．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且．(1)求证：；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值．18．在数列中，数列满足(1)证明数列是等差数列并求出通项公式.(2)数列的前n项和为，问是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.19．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.

(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；(3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长.

答案1．【正确答案】B【详解】因为是等差数列，所以也成等差数列，则，所以．故选：B.2．【正确答案】A【详解】依题意，在数列中，，即，所以．故选：A.3．【正确答案】B【详解】因为A，，，四点共面，所以，则，又，所以，当且仅当时取“＝”.故选：B.4．【正确答案】B【详解】由已知可得，与的夹角为，且，，不共面，以，，为空间向量基底，则，即，所以，故选：B.5．【正确答案】A【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果.【详解】已知等差数列的公差为，即，当单调递增时，，令得到，；反之，，为单调递增.故“单调递增”是“”的充要条件．故选：A.6．【正确答案】A【详解】在基底下的坐标为，在基底下的坐标为．故选：A．7．【正确答案】B【详解】对于A，同时与垂直，，且构成右手系，即成立，A正确；对于B，，则，B错误；对于C，，与共线，且方向相同，与共线，且方向相同，与共线，且方向相同，则与共线，且方向相同，因此，C正确；对于D,，，因此，D正确．故选：B8．【正确答案】D【详解】记抛物线的焦点为，则.记切点为，因为圆的圆心为，所以，，所以，由对称性，不妨设切点在第一象限，则直线AB的方程为.设Ax1,y1，B所以，所以.故选：D.9．【正确答案】AB【详解】A选项，，由于，所以是递增数列，A正确；B选项，，令得，所以，B正确；C选项，由B选项，令得，故，C错误；D选项，当时，，D错误．故选：AB10．【正确答案】ABC【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，对于A，，，设，故，，设直线与所成的角为，则，若直线与所成的角是，则，整理得到：，即，解得，故直线与所成的角不可能是，故A正确；对于B，当时，结合A中分析可得，故，故，而，设平面的法向量为，则，即，取，得，又，故到平面的距离为，故B正确；对于C，当时，又B的分析可得，故，故，故C正确；对于D，当时，结合B的分析可得，此时，故，而，设此时平面的法向量为，则，即，取，得，又，，设平面的法向量为，则，即，取，得，故，故二面角的平面角的正弦值为，故D错误.故选：ABC.

11．【正确答案】BD【详解】选项A，设，则，平方整理得，即为点轨迹方程，A错；选项B，由轨迹方程知点轨迹是椭圆，，由于，椭圆的焦点是，当点为椭圆短轴顶点时，面积最大，此时面积为，B正确；选项C，由于，因此以为直径的圆与椭圆没有交点，因此不存在，使得，C错；选项D，如图，作，为垂足，则，，当且仅当共线时，取得最小值4，即的最小值为4，D正确．故选：BD.12．【正确答案】（答案不唯一）由点，可得，又向量在上的投影向量为，则则，又向量与向量不共线，则不成立则可令，即，故（答案不唯一）13．【正确答案】【详解】设，则．故，则,且．故，则．故．14．【正确答案】8097【详解】由题设可得，又，所以，所以，，即，所以为等差数列，公差为4，首项为5，所以．故8097．15．【正确答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）写出，求出，化简，最终得出结论；（2）求出，，求出公差，进一步求出，根据求和公式得出.【详解】（1）∵∴∴∴是等差数列；（2），公差又∵∴∴∴.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设椭圆标准方程为：，由题意：，所以椭圆的标准方程为.（2）如图：若直线的斜率不存在，则可取，因为，可取，此时.若直线的斜率为0，同理可得.当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，由，得，则，用代替，得，则.所以.设，则.因为，所以，，所以，所以.综上，17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系，令且，所以，，，，则，，故，所以，即.（2）由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大，所以当时，故、为、上的中点，所以，，，故，，若为平面的法向量，则，令，故，又面的法向量为，所以，设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则，所以，所以，所以平面与平面的夹角正切值为.18．【正确答案】(1)证明见解析，(2)存在最大值，最大值为，此时或【分析】（1）证明出相邻两项的差为常数，即可得到结果；（2）根据数列的单调性以及最值可求得结果.【详解】（1）因为，所以，则，即，因为，所以，又，所以，，所以是以首项，公差的等差数列，所以；（2）根据等差数列的前项和公式可得，对于二次函数，其对称轴为，因为，当或时，取得最大值，当时，，当时，，所以存在最大值，最大值为，此时或.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）取的中点，连接、，因为，，则，

所以，所以，所以，又因为，所以，则，又因为，所以，又因为，，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，所以，，因为为棱上的点，设，其中，所以，，且，设平面的法向量