2024-2025学年宁夏回族自治区银川市宁夏高三上学期第二次月考测试（12月）数学检测试题（附解析）

2024-2025学年宁夏回族自治区银川市宁夏高三上学期第二次月考测试（12月）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．2．向量，与非零向量的夹角为，则在上的投影向量的模长为（）A． B． C．1 D．3．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的侧面积为（

）A．20 B．16 C．24 D．64．等比数列中，，则（

）A．4 B． C． D．5．已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（

）A． B．C． D．6．已知正方体的棱长为为的中点，则点到平面的距离等于（

）A． B． C． D．7．已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（）A． B．3 C．4 D．28．设的内角的对边分别为，，,已知，在边上，平分，且，则的最小值为（）A．9 B．18 C．24 D．36二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中，正确的有（）A．直线必过定点B．点关于直线对称的点是C．直线的斜率为D．点到的距离是10．已知数列满足，是前项和，则下列说法正确的是（）A．数列是公差为的等差数列；B．当取得最大值时，；C．数列的前项和是，D．数列也是首项为9，公差为等差数列11．设，函数，则（

）A．当时，函数为单调递增函数B．点为函数图象的对称中心C．函数有三个零点的充要条件是D．存在，，使得函数图象关于直线对称三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆经过三个点分别是，，，则圆的方程为．13．已知，则．14．在边长为4的正方形中，如图甲所示，，，分别为，的中点，分别沿，及所在直线把，和折，使，，三点重合于点，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，内角，，所对的边分别是，，.已知.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.16．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；(3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的大小；(3)求证：平面．18．已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求.19．给定正整数，设，，…，是1，2，…，中任取个互不相同的数构成的一个递增数列.对，如果是奇数，则是奇数，如果是偶数，则是偶数，就称，，…，为“数列”.(1)若，，写出所有“数列”；(2)对任意“数列”，，…，，，证明.（注：表示不超过的最大整数）；(3)确定“数列”的个数.

答案1．【正确答案】D【详解】特称命题的否定是全称命题，因此命题“”的否定是故选：D.2．【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用投影向量的模长公式计算即得.【详解】依题意，则，故在上的投影向量的模长为．故选：A.3．【正确答案】C【分析】利用正棱锥的性质，结合棱锥的侧面积公式计算即可.【详解】由正四棱锥底面边长为，可得底面对角线长为4，则棱锥的高，斜高为，侧面积为．故选：C.4．【正确答案】B【分析】根据等比数列通项公式求解即可.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以，所以.故选：B.5．【正确答案】B【分析】由图象确定A的值，根据周期求出，利用特殊值求出，即得答案.【详解】由函数图象可知，，即，由，得，故，由于，故，则，故选：B6．【正确答案】A【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案.【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图：则，，，，取，，，设平面的法向量为，则，可得，令，则，，所以平面的一个法向量，点到平面的距离.故选：A.7．【正确答案】C【分析】由奇函数性质求得，然后结合周期性求函数值．【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以的周期为6，故选：C．8．【正确答案】B【分析】由余弦定理可得，由，，可得，即，再结合基本不等式求解即可.【详解】因为，由余弦定理得：，整理得：，所以，又因为，则，因为平分，所以，根据题意有：，，所以，即，整理有：，即，所以，因为，，所以，，所以，即，当且仅当，即时，等号成立.故选：B9．【正确答案】ACD【分析】将直线方程变形，可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；利用点与点关于直线对称，求出点关于直线对称的点的坐标，可判断B选项；求出直线的斜率，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.【详解】对于A选项，直线方程可化为，由可得，所以，直线必过定点，A对；对于B选项，设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，所以，点关于直线对称的点的坐标为，B错；对于C选项，直线的斜率为，C对；对于D选项，点到的距离是，D对.故选：ACD.10．【正确答案】ABD【分析】根据等差数列的定义判断A、D；由等差数列的和结合二次函数的性质可判断B；利用赋值法判断C;【详解】由，则，所以数列是公差为的等差数列，故A对；因为数列是公差为的等差数列，所以，当时，当取得最大值时，故B对；取时，，而，故C错由，所以，所以，且，所以数列也是首项为9，公差为等差数列，故D对；故选：ABD11．【正确答案】BC【分析】求导可得，可判断A错误；利用对称中心定义可知满足，可知B正确；由三次函数性质利用导函数求得的单调性，再根据极值的符号即可判断C正确；利用轴对称函数的定义可判断D.【详解】，对于A，当时，可知恒成立，因此函数为单调递减函数，即A错误；对于B，由可得，即可得对于都满足，所以点为y=fx图象的对称中心，可得B正确；对于C，由A选项可知当时，恒成立，函数为单调递减函数，不合题意；所以，令，解得或，易知或时，f'x<0当时，f'x因此可得在和上单调递减，在上单调递增；即在和处分别取得极大值和极小值；若函数有三个零点，可得，解得，因此充分性成立；当时，可知在和上单调递减，在上单调递增；且极小值，极大值，由三次函数性质可知此时有三个零点，即必要性成立，所以函数有三个零点的充要条件是，即C正确；对于D，若函数y=fx图象关于直线对称，则满足，又，可得，整理，该方程无法对任意的恒成立，即D错误.故选：BC.关键点点睛：在求解三次函数零点个数时，关键是根据单调性限定出极值的符号，解不等式即可得出参数取值范围.12．【正确答案】【分析】设圆的方程为，根据条件建立方程组，联立方程求解出，即可求解.【详解】设圆的方程为，因为圆过点是，，三点，所以①，②，③，由①②得到④，由②③得到⑤，由④⑤解得，代入①，得，所以圆的方程为.故13．【正确答案】【分析】利用正弦二倍角公式，结合弦化切思想，求值即可.【详解】因为，所以，故答案为.14．【正确答案】【分析】三棱锥外接球等同于补形为长方体的外接球，结合所给长度即可求解.【详解】由题可得，,,所以,所以所以三棱锥外接球等同于以同顶点PA,PE,PF扩充为长方体的外接球，如下图，设外接球的直径为，则有,所以，则外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为,故答案为:.15．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理，边化角即可．（2）根据已知和余弦定理可求得的值，再由面积公式求解．【详解】（1）∵，由正弦定理，得，∵，∴，即，∵，∴．（2）根据题意，，①由余弦定理，得，②根据①②，可得，所以三角形的面积公式.16．【正确答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.（3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解.【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为，因为椭圆经过点0,1且长轴长为，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）由已知设直线l的方程为，设，.将直线代入，得，所以，，.（3）设，则中点是，于是，即，由于在椭圆上，故，两式相减得到，即，故，于是，故直线的方程是，整理得17．【正确答案】(1)证明见解析(2)．(3)证明见解析【分析】（1）建系，通过直线方向向量与平面法向量的关系即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角.（3）通过向量垂直说明线线垂直，即可求证；【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面，则，由底面是正方形，得，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，由题知，则A2,0,0，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，得，则，而平面，所以平面．（2）由（1）知，，且，，设平面的法向量为，则，取，得，，，而，则，，即，，则的一个法向量为，因此，而，则，所以平面与平面的夹角为．（3）由（1）知，，由，得，又，且，平面，所以平面．18．【正确答案】(1)极小值0，无极大值．(2)答案见解析(3)【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可；（2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可；（3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解.【详解】（1）函数，，当时，，，当时，f'x<0，当时，f'x>0，故有极小值，无极大值.（2）由（1）可知：当时，，在单调递减；当时，令，得，，所以，且为增函数，当时，f'x<0，在单调递减；当时，f'x>0，在单调递增；综上，当时，的单调递减区间为，无递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（3）当时，函数是“函数”，求导得，设曲线与直线切点，则，故，即，所以且，设，，易知，且是增函数，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以是方程的根，且唯一，所以．19．【正确答案】(1)；；；；(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据“数列”的定义直接写出；（2）首先分析得，再结合得到，即，则原命题证明；（3）定义数列，分析出是“数列”，再记表示中任取项构成的单调递增数列的全体，从而证明出是“数列”，最后利用组合公式即可.【详解】（1）“数列”如下：；；；.（2）因为