2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（

）A．15° B． C． D．4．已知单位向量满足，则（

）A． B． C． D．5．由，可求得的值为（

）A． B． C． D．6．已知函数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（

）A．5:6 B．3:4 C．1:2 D．5:78．在半径为2的圆上任取三个不同的点且，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．B．C．当时，取得最小值D．记，则数列的前项和为10．已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为311．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（

）

A．动点轨迹的长度为B．三棱锥体积的最小值为C．与不可能垂直D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为三、填空题（本大题共3小题）12．已知平面截半径为R的球所得的截面圆的周长等于大圆周长的一半，则球心到平面的距离为.13．已知圆，过点的直线与圆交于B，C两点，且，则.14．已知函数是R上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列是等比数列，是常数列，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．17．在锐角三角形ABC中，角的对边分别为若，且.(1)求；(2)求的最大值.18．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，,,.(1)证明：平面；(2)已知平面与平面的夹角的余弦值为，求.19．已知函数.(1)求函数图象上点到直线的最短距离；(2)若恒成立，求的取值范围；(3)若函数与的图象存在公切线，求正实数的最小值.

答案1．【正确答案】D【详解】由，得，则，而，所以.故选：D2．【正确答案】B【详解】由，得，即，整理得，所以.故选：B3．【正确答案】C【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，由题意可得：，解得，设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.故选：C.4．【正确答案】A【详解】单位向量满足，则，，，所以.故选：A5．【正确答案】B【详解】因为又因为，所以因为，所以所以解得故选：B.6．【正确答案】A【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，由，得，则，反之，取，满足，而，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A7．【正确答案】D【详解】由题：设面积为，和的面积为，三棱柱高为；；；总体积为：计算体积：①②③由题意可知，④根据①②③④解方程可得：，；则.故选：D．8．【正确答案】D【详解】在中，由正弦定理，得，即，所以，又，所以或.当时，设，则，由，得，所以，由，得，所以，即；当时，.综上所述，的最大值为.故选：D.9．【正确答案】BCD【详解】由题意可设公差为，则有由有：，故A错误；故B正确；，由二次函数的性质可知：当时，取得最小值，故C正确；因为，所以所以为等差数列，公差为4，首项为，所以的前项和为：故D正确.故选：BCD.10．【正确答案】BCD【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，，若，则，去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；

对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.

故选：BCD11．【正确答案】ABD【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可.【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，又正方体中，为棱的中点，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段.由棱长为2的正方体得线段的长度为，故A正确；对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，此时,所以体积最小值为，故B正确；对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,，而，,故C错误；对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，,,,所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,由,,可得外接球半径，外接球的表面积为，故D正确.故选ABD.

12．【正确答案】/【详解】依题意，平面截半径为R的球所得的截面圆的周长为，则该截面圆半径，所以球心到平面的距离.故13．【正确答案】/【详解】设点，而点，且，则是中点，，依题意，，解得，所以.故14．【正确答案】【详解】因为函数是R上奇函数，所以，所以，，两式相加得：，即.故15．【正确答案】(1)；(2)【详解】（1）由是常数列，设，由数列是等比数列，得，而，则，解得，因此，等比数列的公比，，所以.（2）由（1）知，，所以.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）不妨设正方形边长为2，则，由，得，再由，，平面，得平面，因为平面，所以平面平面．（2）取中点，连结，则，由（1）可知，平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的法向量为，则取，记与平面所成角为，则．17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，所以，即.所以.因为为锐角三角形，所以.（2）因为，所以，当且仅当时取等号.所以，解得，即.所以，当且仅当时取等号.即的最大值为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）设，因为四边形为菱形，则为、的中点，且，因为，,，则是边长为的等边三角形，则，，因为，所以，即，因为，、平面，所以平面.（2）因为平面，以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则、、，设，则，且，，，设平面的法向量为，所以，令，则，由（1）可知，平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，化简得，所以，，解得，，所以，所以，，即.19．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设与平行且与相切的直线，与的切点为，由题设，，则到直线的距离最短，所以（2）由，从