北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线教学课件

1两条直线的位置关系北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2相交线与平行线对顶角补角和余角补角、余角的性质垂直的定义及垂线的画法垂线的性质知识点相交线与平行线知1－讲11.在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.2.相交线若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.如图2.1-1，直线AB与CD相交于点O.判断两直线相交的依据知1－讲3.平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.如图2.1-2，直线AB与直线CD平行.注意：平行线是指“两条直线”,而不是两条线段或射线.线段或射线平行是指它们所在的直线平行.无公共交点知1－讲特别解读1.平行线必须满足三个条件:(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)两条直线.要特别注意“在同一平面内”这一前提.2.判断两条线段、射线之间的位置关系就是判断它们所在直线的位置关系.知1－练例1下列说法中正确的是()A.不相交的两条直线是平行线B.在同一平面内,不相交的两条射线叫做平行线C.在同一平面内,两条直线不相交就重合D.在同一平面内,没有公共点的两条直线是平行线知1－练解题秘方：紧扣相交线与平行线的定义进行识别.解：不在同一平面内的两条不相交的直线不是平行线，故A不正确；平行线是直线，故B不正确；在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故C不正确.D正确.答案：D知1－练1-1.下列说法正确的是()A.两条直线不相交则平行B.两条射线不平行则相交C.若两条线段平行，则它们不相交D.若两条线段不相交，则它们平行C知2－讲知识点对顶角21.定义在图2.1-3中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个.知2－讲2.性质对顶角相等.特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等；(2)相等的两个角不一定是对顶角.知2－讲特别解读对顶角的位置关系和数量关系：1.位置关系：有公共顶点，两边互为反向延长线；2.数量关系：对顶角相等.知2－练如图2.1-4，直线AE与CD相交于点O，OC平分∠AOB.例2知2－练(1)请找出图中∠3的对顶角；解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角；解：∠3的对顶角是∠2.知2－练(2)若∠3＝25°，求∠1的度数.解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数.解：由对顶角相等，得∠2＝∠3＝25°.因为OC平分∠AOB，所以∠1＝∠2＝25°.知2－练2-1.[中考·苏州]如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2是()A.25°B.30°C.40°D.50°D知3－讲知识点补角和余角31.补角一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.数学语言：若∠1＋∠2＝180°，就说∠1是∠2的补角或∠1与∠2互为补角，如图2.1-5所示.知3－讲2.余角如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角

.数学语言：若∠3＋∠4＝90°，就说∠3是∠4的余角或∠3与∠4互为余角，如图2.1-6所示.知3－讲3.一个角的补角(或余角)可以有多个，但它们的度数是相等的.互补、互余是指具有一定数量关系的两个角，一个角或三个及三个以上的角之间不存在互补或互余的关系，如∠1＋∠2＋∠3＝90°，但不能说这三个角互余.知3－讲特别解读1.互补、互余是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2.互补、互余只与数量有关，而与位置无关，但若将平角分成两个角，则这两个角互补；若将直角分成两个角，则这两个角互余.知3－练已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数.例3解题秘方：紧扣补角和余角的定义结合数量关系列方程解答.知3－练解：设这个角为x，则这个角的补角为180°－x，余角为90°－x.由题意得(180°－x)－3(90°－x)＝10°，解得x＝50°.所以这个角为50°.知3－练3-1.若∠A＝40°，则∠A的余角是(

)A.50° B.60°C.140° D.160°A知3－练3-2.已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α的一半大15°，求∠β的余角.知3－练知4－讲知识点补角、余角的性质41.性质同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等.2.示例(1)如果∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3；(2)如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4.知4－讲特别解读1.“同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.2.补角、余角的性质是说明两个角相等的重要依据.知4－练如图2.1-7，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，且∠1＋∠2＝180°.请找出图中与∠2相等的角，并说明理由.例4解题秘方：先找出与∠1和∠2互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2相等的角.解：图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.理由如下：因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2.因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，所以∠4＝∠2.因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°，所以∠2＝∠6.所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.知4－练同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等知4－练4-1.如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝∠DOE＝90°.知4－练(1)图中互余的角有几对？各是哪些？解：因为点O为直线AB上一点，所以∠AOB＝180°.因为∠AOC＝∠DOE＝90°，所以∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∠3＋∠4＝∠AOB－∠AOC＝90°，∠1＋∠4＝∠AOB－∠DOE＝90°.所以图中互余的角有4对，分别是∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠1和∠4.知4－练(2)图中互补的角有几对？各是哪些？解：因为∠AOB＝180°，所以∠1＋∠BOD＝180°，∠4＋∠AOE＝180°.由(1)易知∠1＝∠3，∠2＝∠4，所以∠3＋∠BOD＝180°，∠2＋∠AOE＝180°.知4－练又因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＋∠DOE＝90°＋90°＝180°，∠DOE＋∠BOC＝∠2＋∠3＋∠3＋∠4＝90°＋90°＝180°，所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD、∠4和∠AOE、∠3和∠BOD、∠2和∠AOE、∠AOC和∠BOC、∠AOC和∠DOE、∠DOE和∠BOC.知4－练如图2.1-8，已知O是直线AB上的一点，OC是一条射线，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，OE平分∠BOC吗？为什么？解题秘方：紧扣角平分线的定义和余角的性质说明两个角相等.例5解：OE平分∠BOC.理由如下：因为∠DOE＝90°，所以∠DOC＋∠COE＝90°.又因为∠AOB＝180°，所以∠AOD＋∠BOE＝90°.因为OD平分∠AOC，所以∠AOD＝∠DOC.所以∠COE＝∠BOE.所以OE平分∠BOC.知4－练知4－练5-1.如图，A,O,B三点在同一条直线上，∠DOE＝90°.(1)图中∠AOD的补角是______，∠DOC的余角是______；∠BOD∠COE知4－练(2)若OE平分∠BOC，∠DOC＝36°，求∠AOE的度数.解：因为∠DOE＝90°，∠DOC＝36°，所以∠COE＝∠DOE－∠DOC＝54°.因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝∠COE＝54°.因为A，O，B三点在同一条直线上，所以∠AOE＝180°－∠BOE＝180°－54°＝126°.知5－讲知识点垂直的定义及垂线的画法51.定义两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角.知5－讲特别解读垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线.知5－讲2.表示符号通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”.知5－讲3.垂线的画法经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤如下表：知5－讲步骤内容示图一落让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合过点P作直线l的垂线二移沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点三画沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线知5－讲特别提醒画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.知5－练如图2.1-9，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE＝40°，求∠BOD的度数.例6解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质将要求的角向已知角转化.解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°.又因为∠AOE＝∠AOC＋∠COE，∠COE＝40°，所以∠AOC＝90°－40°＝50°.又因为∠AOC＝∠BOD，所以∠BOD＝∠AOC＝50°.知5－练知5－练6-1.如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF＝110°，则∠DOF＝_______.50°知5－练[母题教材P38随堂练习T1]在图2.1-10中，分别过点P作AB的垂线.解题秘方：利用三角尺根据画垂线的步骤进行操作.例7解：如图2.1-11所示.知5－练知5－练7-1.如图，分别过点P作线段MN的垂线.解：如图所示．知6－讲知识点垂线的性质61.垂线的性质(1)性质1：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.知6－讲2.点到直线的距离如图2.1-12，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离.垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度.知6－讲特别解读1.性质1中隐含两个关键条件：一是“同一平面内”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外.2.垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段，长度可度量.知6－练(1)如图2.1-13，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，则点A到直线BC的距离______m，点B到直线AC的距离为______cm，点C到直线AB的距离为______cm.例8解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.432.4知6－练

知6－练(2)点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线m的距离()A.等于4cm B.等于2cmC.小于2cm D.不大于2cm答案：D知6－练解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短的.从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定是所有连线中最短的，所以点P到直线m的距离应该不大于2cm.解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段.知6－练8-1.[期末·北大附中]如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是____________.垂线段最短两条直线的位置关系相交线与平行线相交线平行线对顶角垂线数量关系与位置关系画法与性质2探索直线平行的条件第二章相交线与平行线逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2同位角平行线的判定方法1平行线的基本事实及其推论内错角、同旁内角平行线的判定方法2，3过直线外一点作已知直线的平行线知识点同位角知1－讲11.定义两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角分别在被截的两条直线的同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.特别解读1.同位角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系.2.在“三线八角”中，有4对同位角.知1－讲2.位置特征角的名称位置特征基本图形图形的结构特征同位角在截线同侧，在两条被截直线同一方形如字母“F”(或倒置、反置、旋转)知1－练例1在图2.2-1所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是()知1－练解题秘方：根据同位角的位置特征进行识别.解：根据同位角的定义，找出“三线”之后再看是否为“F”形即可判断.A，C，D三个选项中的∠1，∠2均满足同位角的条件，故选B.分离图形法答案：B知1－练1-1.如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是(

)A.∠1与∠2B.∠1与∠3C.∠2与∠3D.∠3与∠4B知2－讲知识点平行线的判定方法121.方法1

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简述：同位角相等，两直线平行.两直线平行，用符号“∥”表示.例如，直线a与直线b

平行，记作a∥b.知2－讲2.表达方式如图2.2-2，因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(同位角相等，两直线平行).知2－讲特别提醒此判定方法是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.知2－练[母题教材P43随堂练习T2]如图2.2-3，已知直线AB，CD被直线EF所截，∠1＋∠2＝180°，AB与CD平行吗？请说明理由.例2解题秘方：找出一对同位角，如果能通过已知条件说明这对同位角相等，则这两条直线平行.知2－练解：AB∥CD.理由如下：因为∠1＋∠2＝180°(已知)，∠2＋∠3＝180°(平角的定义)，所以∠1＝∠3(同角的补角相等).所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行).知2－练2-1.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b

的是()A.∠1＝∠2B.∠1＝∠4C.∠3＋∠4＝180°D.∠2＝30°，∠4＝35°B知3－讲知识点平行线的基本事实及其推论31.借助三角尺画平行线过直线外一点画已知直线的平行线的步骤：一落：把三角尺的一边落在已知直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺之前落在已知直线上的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.知3－讲特别提醒1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动时要始终保持紧靠.知3－讲2.平行线的基本事实过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.注意：平行线的基本事实的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.特别解读“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性.知3－讲3.平行线的基本事实的推论平行于同一条直线的两条直线平行.即如果a∥c，b∥c，那么a∥b.平行线的传递性知3－练例3[母题教材P43随堂练习T3]如图2.2-4，已知a∥b，b∥c，d与a相交于点M.解题秘方：根据平行线的基本事实及其推论判定两条直线的位置关系.知3－练(1)试判断直线a，c的位置关系，并说明依据；(2)判断c与d的位置关系，并说明依据.解：a∥c.依据：平行于同一条直线的两条直线互相平行.d与c相交.依据：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.知3－练3-1.下列说法正确的是()A.一条直线的平行线有且只有一条B.如果直线a∥c

，b∥c

，那么a∥bC.如果a∥b，a∥c，那么b⊥cD.过一点一定存在一条直线与已知直线平行B知4－讲知识点内错角、同旁内角41.内错角两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角.知4－讲特别解读1.“内”可理解为夹在两直线之间，“错”可理解为交错，即位于截线的两侧.内错角的位置关系具有“同内、异侧”的特征.知4－讲2.同旁内角两条直线被第三条直线所截，得到的八个角(简称“三线八角”)中，两个角都在被截的两条直线之间，且它们都在截线的同一侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.知4－讲2.“同旁”即在截线的同侧，“内”表示夹在两直线之间.同旁内角的位置关系具有“同内、同侧”的特征.3.内错角和同旁内角都是成对出现的，并且是由三条直线组成的，一对边共线，另一对边不共线.知4－讲3.位置特征角的名称位置特征基本图形图形的结构特征内错角在截线两侧，在两条被截直线之间形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转)同旁内角在截线同侧，在两条被截直线之间形如字母“U”(或倒置、反置、旋转)知4－练[母题教材P46随堂练习T1]如图2.2-5，试找出图中与∠2是内错角、同旁内角的角.解题秘方：根据内错角及同旁内角的位置特征进行识别.解：∠2与∠8是内错角，∠2与∠7，∠9是同旁内角.例4知4－练4-1.如图，下列说法错误的是()A.∠1与∠4是同旁内角B.∠3与∠4是内错角C.∠5与∠6是同旁内角D.∠2与∠5是同位角C知5－讲知识点平行线的判定方法2，351.方法2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简述：内错角相等，两直线平行.表达方式如图2.2-6，因为∠1＝∠2(已知)，所以a∥b(内错角相等，两直线平行).知5－讲2.方法3

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简述：同旁内角互补，两直线平行.表达方式如图2.2-7，因为∠1＋∠2＝180°(已知)，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行).知5－讲特别解读在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立，则利用对顶角、补角等相关知识，可得到另两个结论也成立.知5－练如图2.2-8，直线AE，CD相交于点O，如果∠A＝110°，∠1＝70°，那么AB与CD平行吗？为什么？解题秘方：找出AB，CD被AE所截形成的内错角或同旁内角，利用角之间的数量关系来说明这两条直线平行.例5知5－练解：AB∥CD.理由如下：(方法一)因为∠1＋∠AOC＝180°，∠1＝70°，所以∠AOC＝110°.又因为∠A＝110°，所以∠A＝∠AOC.所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).知5－练方法二：因为∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°，所以∠AOD＝70°.又因为∠A＝110°，所以∠A＋∠AOD＝180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).知5－练5-1.如图所示.(1)由∠A＝∠1，可以判定____∥____，依据是_______________________.(2)由∠2＝∠E，可以判定____∥____，依据是________________________.(3)由∠C＋∠DBC＝180°，可以判定____∥____，依据是__________________________.ADBE同位角相等，两直线平行BDCE内错角相等，两直线平行BDCE同旁内角互补，两直线平行知6－讲知识点过直线外一点作已知直线的平行线6过直线AB外一点P作直线AB的平行线的作法与示范如下：作法示范1.在直线AB上任取一点O，过点O，P

作直线CD知6－讲续表作法示范2.以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN＝∠DOB.PN边所在的直线MN就是要作的直线知6－讲特别解读1.作图依据：平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行.2.作图思路：作一个角等于已知角.知6－练用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．如图2.2-9，一辆货车由点A出发沿山路送货，在点B和点C两次转弯后，保持与出发时相同的方向，且点C到终点D的距离与点B到点C的距离相等，请根据所给条件，确定点D的位置．例6知6－练解题秘方：过点C作AB的平行线，再截取CD＝BC即可.解：如图2.2-10，点D即为所求．知6－练6-1.尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.已知：如图，点D是三角形ABC边

AB上一点.求作：点E，使DE//BC，DE=DB．(找到满足条件的一个点E即可)知6－练解：如图，点E即为所求．(答案不唯一)探索直线平行的条件两条直线平行条件同位角相等互补内错角同旁内角两条直线被第三条直线所截平行线的基本事实及其推论画法借助三角尺尺规作图3平行线的性质第二章相交线与平行线逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2平行线的性质1平行线的性质2平行线的性质3知识点平行线的性质1知1－讲11.性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简述：两直线平行，同位角相等.2.表达方式：如图2.3-1，因为a∥b(已知)，所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).知1－讲特别警示1.两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等.2.书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆.知1－练例1如图2.3-2，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2为()A.60°B.50°C.40°D.30°知1－练解题秘方：根据直尺的对边平行，利用平行线的性质建立角之间的数量关系.解：因为∠1＋∠BAC＋∠DAB＝180°，∠BAC＝90°，∠1＝30°，所以∠DAB=180°－∠1－∠BAC＝60°.因为直尺的对边平行，即EF∥AD，所以∠2＝∠DAB＝60°.答案：A知1－练1-1.有一条直的等宽纸带，按如图所示方式折叠形成一个30°的角，则∠α等于()A.75°B.70°C.65°D.60°A知2－讲知识点平行线的性质221.性质2两