【八年级下册数学湘教版】第一章 直角三角形（压轴题专练）

第一章直角三角形（压轴题专练）一、选择题1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为（

）A． B． C． D．2．（2023上·吉林白城·八年级统考期末）如图，已知和△ADE都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，等腰中，，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论有（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，点C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，下面的结论正确的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．45．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③ D．①②③⑤6．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（

）A． B． C． D．27．（2023上·湖南长沙·八年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④8．（2022上·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，三点在同一直线上，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，①；②平分；③；④；⑤，下列结论中正确的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．10．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（

）A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值C．当时，的周长最小 D．当时，11．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，为中点，交于点，则的长为（）A．56 B． C． D．12．（2023上·山东济南·七年级校考期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．113．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值是；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个14．（2023上·浙江湖州·八年级校联考期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③15．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）如图，在中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数有（）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个16．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中：①；②为等腰三角形；③；④，⑤的最小值是；正确的个数是（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个17．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校联考期中）如图，在中，，，的平分线交于点，交于，，连接、，交于点、下列结论：①若将沿折叠，则点一定落在上；②；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题18．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为_________．19．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点为中点，点为上的动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段的最小时，则________．20．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边，向外作等腰直角三角形．若、和的面积分别为4、9、5，则的面积为_____．

21．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，是边长为6的等边三角形，直线于，点是直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，则的最小值为________．22．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，连接，为的中点，则线段长的最小值是__________．23．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知直线，与之间的距离为6，点，在直线上，且，点，在直线上，，点为线段上一个动点，则的最小值为_______．24．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，中，，，以为边，在上方作等边分别为边上的两个动点，且．若，则的最小值为___________．25．（2023上·河南新乡·九年级统考期中）如图，在中，，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点．点为上一点，且满足的长等于的一半．连接．当时，的长为________．三、解答题26．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）（1）【阅读理解】如图1，在中，，是斜边上的中线，则与的数量关系为________；（2）【问题探究】如图2，等腰中，，延长到E，以为斜边，在的下方作等腰，，连接，点F是边的中点，连接，若，，①试判断的形状；②求的面积．（3）【拓展延伸】如图3，在等腰中，，点E在延长线上，点D在延长线上，以为斜边，在的上方作等腰，，点F是边的中点，连接，若，，试直接表示出的面积_（用含a、b的代数式表示）．27．（2024上·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，在轴上有两点、，在轴负半轴上有一点，，，以为顶点作等腰直角，点在第三象限，，.(1)填空：点的坐标为：___________；点的纵坐标为：___________；(2)如图2，连接，，求的度数；(3)如图3，过点作于点，交于点，点在上且，连接.①求证：；②直接写出线段、、之间的数量关系为：___________.28．（2023上·广东佛山·八年级统考期末）综合探究直观感知和操作确认是几何学习的重要方式，在中，，，.(1)尺规作图：如图1，在中，作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)操作探究：在（1）的条件下，将沿着过点的直线折叠，使点落在三边所在直线上（顶点除外），画出示意图；(3)迁移运用：①如图2，若为边的中点，为射线上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为，当时，求的长；②如图3，若点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，求的面积的最大值.29．（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，是等边三角形，，，，延长至E，使，连接．(1)求证：；(2)求的面积；(3)点M，N分别是线段，上的动点，连接，求的最小值．30．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出如下的问题：如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：．【探究合作】同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程：小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到；小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明；小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形；小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明．【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在．请同学们反思后解决下面的问题：（3）如图，，，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值．31．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图（1），四边形中，，平分．

(1)求证：．(2)如图（2）的垂直平分线交于，交于，过作，交延长线于．求证：．(3)如图（3），在（2）的条件下，连接，若，，求的面积．32．（2024上·江苏南京·八年级校联考期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点．【概念运用】（1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有_____个．（2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点．【拓展提升】（3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长．33．（2024上·辽宁锦州·八年级统考期末）【概念建构】在中，，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”．依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即．

(1)【概念应用】①如图3，在中，，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，，求的长．小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N，构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程．②请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．如图5，在中，，，D是边上一点，，，交于点N，延长，交于点F，猜想，，之间的数量关系，并说明理由：(2)【学以致用】如图6，，和是等腰直角三角形，，，，求△ADE和的面积和．34．（2024上·辽宁本溪·八年级期末）如图，分别以的两边为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中．(1)如图1，连接．若∠ACB=45°，AC=3，，求的长；(2)如图2，M为的中点，连接，过点M作与的反向延长线交于点N，连接，试猜想之间有何等量关系，并证明你的结论．35．（2024上·广西柳州·九年级校联考期末）综合与实践：动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1，是等腰直角三角形，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．思考探索：（1）在图1中：的面积为________；拓展延伸：（2）如图2，若为任意直角三角形，．将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．猜想三条线段、、的数量关系，并证明．（3）如图3，在中，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接．若点D是的边的高线上的一动点，连接、，则的最小值是________．36．（2023上·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点是边所在直线上的一个动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．(1)如图1，当点在的延长线上时，求证：．(2)如图2，若点从点运动到点A．①的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．②如图3，过点作的垂线，与直线交于点，作点关于直线的对称点，直线交直线于点，若，求的长．37．（2023上·辽宁大连·九年级校考期中）综合与实践：数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1．独立思考：（1）如图1，求证：；实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．①求的度数；②线段与线段交于点F，求的值；③若，求的值．38．（2023上·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校联考期中）（1）如图1，四边形的对角线、交于点，．证明：．（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，连结、、．①，，求的值．②若分别取，的中点、，连接，，，判断的形状为__________．（3）如图3，对于任意，以和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，连结、、，分别取，的中点、，连接，，，则②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

第一章直角三角形（压轴题专练）答案全解全析一、选择题1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）如图，等边的边长为6，D是的中点，E是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作，交于点，于点，过点作于点，易证为等边三角形，进而证明，进而求出的长，利用求出的长，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：过点作，交于点，于点，过点作于点，∵等边的边长为6，D是的中点，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∵等边，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；故选A．2．（2023上·吉林白城·八年级统考期末）如图，已知和△ADE都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质证明，，即可判断结论①；作于点，于点，设交于点，证明，即可判断结论②；利用三角形面积公式证明，由角平分线的判定定理即可判断结论④；题目中条件无法证明结论③正确．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，故①正确；如图，作于点，于点，设交于点，在和中，∵，，∴，∴，故②正确；∵，，，∴，∴，∵，∴，∴平分，∴，故④正确．若③成立，则，∵∠AFE=∠AFB，∴，推出，由题意知，不一定等于，∴不一定平分，故③错误．综上所述，结论正确的有①②④，共计3个．故选：C．3．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，等腰中，，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论有（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本题根据等腰直角三角形性质和平分，得出，利用为的中点，得出，结合直角三角形两锐角互余，推出，证明，即可得出结论①，再证明，即可得出结论④，利用，、、、四点共圆，结合圆周角定理，即可得出结论③，最后利用三角形外角证明，即可得出结论②．【详解】解：，，，，，，，平分，，，，，为的中点，，，，在和中，，，①正确．在和中，，，．④正确．，、、、四点共圆，，，，平分，③正确．，，，②正确．综上所述，正确的有4个，故选：D．4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，点C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，下面的结论正确的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由等边三角形的性质，易证，得到，再由三角形内角和定理，即可判断①结论；证明，进而可证是等边三角形，得出，即可判断②结论；过点作与点，于点，由全等三角形的性质，得出，再根据角平分线的判定定理，即可判断③结论；在上取一点，使得，证明是等边三角形，进而可证，得到，即可判断④结论．【详解】解：和是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，，①结论正确；，，在和中，，，，又，是等边三角形，，，，②结论正确；如图，过点作与点，于点，，，，，又，，平分，③结论正确；如图，在上取一点，使得，，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，④结论正确，即结论正确的有①②③④，共4个，故选：D．5．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③ D．①②③⑤【答案】D【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．根据角平分线定义推出．利用证明，据此判断①；根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理判断③；根据全等三角形的性质、邻补角定义判断②；根据等腰三角形性质、三角形外角性质、全等三角形的性质及直角三角形的性质判断④；过作交于点，根据角平分线性质得出，利用证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．【详解】解：∵为的角平分线，在和中，，故①正确，符合题意；为的角平分线，，，故③正确，符合题意；故②正确，符合题意；是等腰三角形，故④错误，不符合题意；如图，过作交于点，是的角平分线上的点，且，（角平分线上的点到角的两边的距离相等），在和中，，，，在和中，，，，，故⑤正确，符合题意；故选：D．6．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据，平分，利用勾股定理求出，如图，过点P作交于点D，证明，得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可求出结果．【详解】解：，平分，，，，如图，过点P作交于点D，的角平分线相交于点P，，，，，，，，设，则，在中，，，解得：，，，故选：A．7．（2023上·湖南长沙·八年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点关于的对称点，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④．【详解】解：如图，连接，∵，点是的中点，∴，，，∴是的中垂线，∴，而，∴，∴，，∴，∴，故①正确；∵，∴，

∵，∴，∴而，∴是等边三角形，故②正确；如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故③正确；过点A作，在上截取，

∵，∴是等边三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故④正确．所以其中正确的结论是①②③④．故选：A．8．（2022上·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图，三点在同一直线上，都是等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接，①；②平分；③；④；⑤，下列结论中正确的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】对于①可先证明△ACD△BCE，已有，，易得，其他的结论的证明需要通过①得到，等边三角形的定义与性质、角平分线的判定，分别进行证明即可得出答案．【详解】解：①和为等边三角形，，，∴△ACD△BCE，，故①正确；由（1）中的全等得，，，故⑤正确；∴，都是等边三角形，，则为等边三角形，，，，，，故④错误；，，，，，故③正确；作，，如图所示：，，平分，故②正确；综上所述，正确的有①②③⑤共4个，故选：C．9．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】D【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点作于点，交于点，由正方形的性质可知、的长，利用直角三角形面积公式可得的长，再勾股定理可得、的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键．【详解】解：过点作于点，交于点，正方形面积为5，正方形面积为1，，，，，是直角三角形，，，，即，，，，，以为边长的正方形面积为10．故选：．10．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的动点，且，，下列结论中正确的是（

）A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值C．当时，的周长最小 D．当时，【答案】C【分析】过点作于点，于点，于点，证明，得出，，求出，得出是一个定值；根据，得出，说明四边形的面积是一个定值；根据，得出当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，的周长最小；根据时，，得出，求出，求出一定与不垂直．【详解】解：A、过点作于点，于点，于点，如图所示：点是的平分线上的一点，，，，，，，，，，，，即是一个定值；当、关于对称时，，不固定，故错误；B、，，即，四边形的面积是一个定值，四边形的面积是一个定值，当、关于对称时，，不固定，四边形的面积不固定，故错误；C、如图，∵，，，，，，由勾股定理得，，，，当最小时，的周长最小，垂线段最短，当时，最小，的周长最小，故正确；D、时，，，一定与不垂直，故错误．故选：．11．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，为中点，交于点，则的长为（）A．56 B． C． D．【答案】B【分析】延长至，使，连接，过作，交的延长线于点，证，得，，再证，得，，然后由含角的直角三角形的性质得，则，，进而求出，再利用即可解决问题．【详解】解：延长至，使，连接，过作，交的延长线于点，如图所示：为的中点，，在和中，，，，，，，，，，，∴，，，，在和中，，，，，，，，∴EH=BC，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，故选：B．12．（2023上·山东济南·七年级校考期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则∠COM=∠BOM，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．【详解】解：，，即，在和中，，∴，，①正确；∴，由三角形的外角性质得：，，②正确；作于，于，如图2所示：则，在和中，，，，∴平分，④正确；∵，∴当时，才平分，假设，∵，∴∠COM=∠BOM，∵平分，∴，在△COM和中，，∴，∴，∵，∴，与矛盾，∴③错误；正确的①②④；故选：B．13．（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值是；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质推出其他选项，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴为等腰直角三角形，∵点是的中点，∴，平分，且，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确；∴，∵，∴,∵,∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，∵∴，又，∴，∴，但很明显是变化的，∴也是变化的，∴③不正确；当时，的值最小，∵，，∴，即的最小值为，故④正确，∵，∴，∴，∵，∴，，∴⑤正确，即正确的有个，故选：C．14．（2023上·浙江湖州·八年级校联考期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误．【详解】解：∵E、F分别是上的任意点，∴与不一定相等，故①错误；∵于点于点D，∴，∵，∴的另一个条件是，∵与不一定相等，∴与不一定全等，故②错误；延长到点G，使，连接，则，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴∴，∴平分，故③⑤正确；若平分，而，∴，与题干信息矛盾，故④错误；故选C15．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）如图，在中，三条角平分线交于点O，交于点H，两个外角角平分线交于点M，延长线交反向延长线于点N．则下列结论中：①平分；②当时，；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数有（）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】假设是的平分线，用反证法即可证明①不正确；当时，在上截取，连接，证明，可得，即得，从而证明，有，可得，判断②正确；由，，进而可判断③正确；由平分∠ABC，平分，可得，故；同理，即得，即，得，判断④正确；因O到，的距离都等于，故，判断⑤正确；过O作于K，于T，由，而，，，可得，判断⑥正确．【详解】解：若是的平分线，则，∵是的平分线，∴.∵，，∴,∵分别是的角平分线，∴,∴，这与与不一定相等矛盾，∴不一定是的平分线，故①不正确；当时，在上截取，连接，如图：

∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，

∴，∴，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故②正确；如图：

∵于H，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵平分，平分，∴，∴；同理可得，∴，∴，而，∴，∴，故④正确；∵三条角平分线交于点O，，∴O到的距离都等于，∴，故⑤正确；过O作于K，于T，如图：∵，∴，∴，由角的对称性可知，，∴，∴，故⑥正确；∴正确的有：②③④⑤⑥，共5个；故选：C．16．（2023上·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中：①；②为等腰三角形；③；④，⑤的最小值是；正确的个数是（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】利用的性质证明，可得①符合题意；证明，可得，，再证明，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；由，可得，可判断④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，可得，则当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，再求解的长度可判断⑤，从而可得答案.【详解】解：∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，故①符合题意；∵，∴，∴，∵，平分，∴，，而，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，故②符合题意；∵，，∴，故③符合题意；∵，，，∴，故④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，∴，∴当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，

∵，，∴，，，∴，∴，∴的最小值为1；故⑤不符合题意；故选C17．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校联考期中）如图，在中，，，的平分线交于点，交于，，连接、，交于点、下列结论：①若将沿折叠，则点一定落在上；②；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由，得，由，得，先证明，得，则垂直平分，再证明，得，若将沿折叠，则点E一定落在上，可判断①②正确；连接，则，得，可推导出，再证明，则，可判断③正确；作于点L，则，由，得，则，再证明，则，于是求得，则，可判断④错误，于是得到问题的答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴点A、点E都在的垂直平分线上，∴垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴若将沿折叠，则点E一定落在上，故①②正确；连接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故③正确；作于点L，则，

∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，故④错误；综上分析可知，正确的有3个，故选：C．二、填空题18．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为_________．【答案】【分析】延长至点H使，连接，构造可得，即可得的最小值为，通过勾股定理即可求解．【详解】解：延长至点H使，连接如图：，，，，，，，，，，的最小值为，的最小值为，在中，．19．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点为中点，点为上的动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段的最小时，则________．【答案】【分析】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用，过作于，易证，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为3，求出此时，又勾股定理即可求出此时．【详解】解：如图所示，过作于，则，由旋转可得，，，，在和中，，，，点的运动轨迹是平行的直线，当点与点重合，的值最小，的最小值为3，此时，∴，故答案为：．20．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边，向外作等腰直角三角形．若、和的面积分别为4、9、5，则的面积为_____．

【答案】8【分析】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个等腰直角三角形的面积之间的关系．连接，根据等腰直角三角形的面积公式可求，根据勾股定理可求再根据等腰直角三角形的面积公式即可求解．【详解】解：如图，连接，、和是等腰直角三角形，，、和的面积分别为、、，，，，在中，，在中，，，则的面积为．故答案为∶8．21．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，是边长为6的等边三角形，直线于，点是直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，则的最小值为________．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形．根据题意确定点的运动轨迹是解题的关键．如图，连接，证明，则，可知点在与夹角为的直线上运动，如图，直线即为点的运动轨迹，作于，即为的最小值，由，可得，计算求解即可．【详解】解：如图，连接，∵，是等边三角形，，∴，，，∴，即，∵，∴，∴，∴点在与夹角为的直线上运动，如图，直线即为点的运动轨迹，作于，即为的最小值，∵，∴，∴的最小值为，故答案为：．22．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，为上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任一点，连接，为的中点，则线段长的最小值是__．【答案】9【分析】本题考查含角的直角三角形和等边三角形的性质，利用已知得出点的轨迹是解本题的突破口，利用垂线段最短求出的最小值是解本题的关键．首先连接根据线段中垂线性质定理逆定理得出为线段的中垂线，然后得出，而后证明即为定值，得出G的运动轨迹，再根据垂线段最短即可得出的最小值．【详解】解：连接交于，如图：为中点，为等边三角形，是的中垂线，，点在过点，与所交角的直线动，过点作于点，则为所求∴，，故答案为：9．23．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知直线，与之间的距离为6，点，在直线上，且，点，在直线上，，点为线段上一个动点，则的最小值为_______．【答案】【分析】如图所示，过点C作于W，根据平行线的性质得到，则，据此求出，则点B与点W重合；如图所示，以点B为一个顶点，以长为边，向上作等边，点M在直线上，取中点H，以为边作等边，连接，延长交直线于T，连接，证明，得到，则，取中点K，连接，则是的中位线，由平行线的唯一性可知此时直线和直线重合，即点G与点K重合，则点G为的中点，证明，，得到，则，则当最小时，最小；设直线交直线于N，则证明，得到当T、E、P三点共线，且时，最小，即最小，如图所示，过点M作交直线于Q，在中，，则，，求出，，得到，即可得到的最小值为．【详解】解：如图所示，过点C作于W，∵，，∴，∵与之间的距离为6，∴，∵，∴，∵，∴，∴点B与点W重合，如图所示，作点D关于直线的对称点P，连接，∴，∴，∴点P在直线上运动，如图所示，以点B为一个顶点，以长为边，向上作等边，点M在直线上，取中点H，以为边作等边，连接，延长交直线于T，连接，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，取中点K，连接，则是的中位线，∴，由平行线的唯一性可知此时直线和直线重合，即点G与点K重合，∴点G为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴当最小时，最小，设直线交直线于N，则，∵，∴，∴，∴当T、E、P三点共线，且时，最小，即最小，如图所示，过点M作交直线于Q，在中，，∴，，∴，，∴，∴的最小值为9，∴的最小值为，故答案为：．24．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，中，，，以为边，在上方作等边分别为边上的两个动点，且．若，则的最小值为___________．

【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是添加合适的辅助线，构造全等三角形求解．连接，过点B作，取，连接，证明，可求出，然后证明，得出，则，故当D、F、G三点共线时，取最小值，最小值为，过D作于H，先在中求出，，然后在中求解即可．【详解】解：连接，过点B作，取，连接，∵，，∴，，又，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，又，∴，∴，，∴，又，∴，又，，∴，∴，∴，当D、F、G三点共线时，取最小值，最小值为，过D作于H，∴，∴，∴，∴，∴，即最小值为．故答案为：．25．（2023上·河南新乡·九年级统考期中）如图，在中，，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点．点为上一点，且满足的长等于的一半．连接．当时，的长为________．

【答案】或【分析】首先利用含的直角三角形性质及勾股定理求出，进而由题中条件得到三点共线，再由将绕点在平面内旋转，分两种情况：①在之间；②在延长线上，分类讨论，利用勾股定理即可求解．【详解】解：在中，，设，则，由勾股定理可得，解得，，，，又的长等于的一半，，过作，如图所示：

在中，利用等面积法，解得，，，与重合，连接，如图所示：

三点共线，，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，分两种情况：①在之间；②在延长线上（可取为），则，当点在线段之间时，，在中，，当点在线段的延长线上时，，在中，，综上所述，的长为或，故答案为：或．三、解答题26．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）（1）【阅读理解】如图1，在中，，是斜边上的中线，则与的数量关系为_；（2）【问题探究】如图2，等腰中，，延长到E，以为斜边，在的下方作等腰，，连接，点F是边的中点，连接，若，，①试判断的形状；②求的面积．（3）【拓展延伸】如图3，在等腰中，，点E在延长线上，点D在延长线上，以为斜边，在的上方作等腰，，点F是边的中点，连接，若，，试直接表示出的面积_（用含a、b的代数式表示）．【答案】（1）（2）等腰直角三角形，（3）【分析】（1）延长至点使，证明，进而证明，即可得出结论；（2）①延长至点，使，证明，进一步证明，进而得到，即可；②勾股定理求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，求出的长，再用三角形的面积公式进行求解即可；（3）先证明为等腰直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出的长，再用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】解：（1）延长至点使，连接，∵是斜边上的中线，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；故答案为：；（2）由（1）可知：，延长至点使，连接，同（1）法可得：，∴，∴，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵为等腰直角三角形，∴，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，又，∴为等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴，∴的面积为；（3）∵，均为等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴；∵，为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴的面积为．27．（2024上·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，在轴上有两点、，在轴负半轴上有一点，，，以为顶点作等腰直角，点在第三象限，，.(1)填空：点的坐标为：___________；点的纵坐标为：___________；(2)如图2，连接，，求的度数；(3)如图3，过点作于点，交于点，点在上且，连接.①求证：；②直接写出线段、、之间的数量关系为：___________.【答案】(1)，(2)(3)①证明见解析；②【分析】（1）本题根据，得出，推出，得到，，即可得到点的坐标，再作轴于点D，证明，利用全等的性质即可解题．（2）本题根据题干得到为等腰直角三角形，得出，再利用等腰三角形性质和三角形的外角等于与之不相邻的两个内角和，算出，最后根据，即可解题．（3）①由题干的条件证明是等边三角形，得出，根据等腰三角形性质和角度的计算推出，最后结合，即可证明三角形全等．②连接，证明，根据全等的性质，推出为等边三角形，得到，再结合线段的和差，即可解题．【详解】（1）解：作轴于点D，如图所示：，∴∠BAO=∠ABO=90°，，，，，，，，，，，，，，，点的纵坐标为．故答案为：，．（2）解：，，，，，又，，，，，，．（3）解：①证明：，，是等边三角形，，，，∵，，，，，，，在和中，．②，理由如下：连接，如图所示：∵，，，，，，，，，，，，，为等边三角形，，，，．故答案为：．28．（2023上·广东佛山·八年级统考期末）综合探究直观感知和操作确认是几何学习的重要方式，在中，，，.(1)尺规作图：如图1，在中，作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；(2)操作探究：在（1）的条件下，将沿着过点的直线折叠，使点落在三边所在直线上（顶点除外），画出示意图；(3)迁移运用：①如图2，若为边的中点，为射线上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为，当时，求的长；②如图3，若点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，求的面积的最大值.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①；②【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧交、于、两点，再分别以、为圆心，大于为半径画弧交于一点，作射线交于点；（2）分两种情况：点落在边上；点落在边上；分别画出图形即可；（3）①由折叠的性质可得，，，结合得出点、、在一条直线上，由点是边的中点得出，由勾股定理得出，从而得到，设，则，由勾股定理得出，求解即可得出答案；②由勾股定理可得，由点是边的中点，可得，，由折叠的性质可得，，从而得出，设点到的距离为，则，当时，点到的距离最大，为，由此即可得出答案．【详解】（1）解：如图，即为所作，（2）解：如图，作于，，∵平分，，，，，不是的中点，点不能落在边上，当沿直线折叠时，此时点落在边上，得到的图形如图所示，；当点落在边上时，如图所示：；（3）解：①如图，，为射线上一点，，，将沿着翻折得到，点的对应点为，，，，，点、、在一条直线上，为边的中点，，，，，设，则，由勾股定理可得：，，解得：，；②在中，，，，，点是边的中点，，，将沿折叠至，，，，，设点到的距离为，则，，如图，当时，点到的距离最大，为，，的面积的最大值为：．29．（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，是等边三角形，，，，延长至E，使，连接．(1)求证：；(2)求的面积；(3)点M，N分别是线段，上的动点，连接，求的最小值．【答案】(1)见详解(2)(3)【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”可得，，根据，可得，即有，问题得证；（2）过D点作于点G，利用含角的直角三角形的性质可得，问题随之解得；（3）将沿向下翻转得到，再作N点关于的对称点H，连接、、，根据对称性有：，，，先证明、是等边三角形，即有，结合图形有：，当M点在上时，，此时有最小值，即可得，问题得解．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）过D点作于点G，如图，∵，，，∴在中，，∵在（1）中已求出，∴；（3）将沿向下翻转得到，再作N点关于的对称点H，连接、、，如图所示，根据翻折可知：、关于轴对称，∴N点关于的对称点H在上，根据对称性有：，，，∴，∴是等边三角形，∵N点关于的对称点是点H，∴垂直平分线段，∴，，∴是等边三角形，∴，结合图形有：，当M点在上时，，此时有最小值，∴，∵，，∴，∴，∴，即的最小值为．30．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出如下的问题：如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：．【探究合作】同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程：小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到；小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明；小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形；小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明．【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在．请同学们反思后解决下面的问题：（3）如图，，，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3【分析】（1）对称的性质得到，，，，，推出，设，等边对等角，三角形外角的性质，推出即可；（2）采用小明的方法：连接，易得是等边三角形，证明是等边三角形，推出，即可得出结论．（3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，取得最小值为的长，进一步求出结果即可．【详解】（1）∵A、E两点关于l对称∴，，，，，∵，∴，设，则∴∵，∴∵∴∴（2）连接．∵，，∴是等边三角形，∴，，又∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值；∵点E在的垂直平分线上∴．∴∵BD平分∴∴∴∴在中，∴∴当C、D、H三点共线时最短，此时在中，∴∴的最小值是3．31．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图（1），四边形中，，平分．

(1)求证：．(2)如图（2）的垂直平分线交于，交于，过作，交延长线于．求证：．(3)如图（3），在（2）的条件下，连接，若，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)9【分析】（1）过点B作于，作延长线于点，证明，得出即可；（2）根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，证明，得出，证明，即可证明结论；（3）延长交于点，证明，求出，证明，得出，证明是的中位线，得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，（舍），过点作于，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出结果即可．【详解】（1）解：过点B作于，作延长线于点，如图所示：∴∠AMB=∠N=90°，平分，，四边形的内角和为，且，，又，，在和中，，，；（2）解：垂直平分，，，∵，，，∴，，，，由（1）知，；（3）解：延长交于点，设，，，，∵BD平分，，，，，，，，，又，，，，，，，是的中位线，∴，，设，则，，在中，勾股得，，解得，∴，，在中，由勾股定理得：，在和中，，，，设，则，在中由勾股定理得：，在等腰中，由勾股定理得：，，，（舍），，，

过点作于，设，则，在和中，由勾股定理得：，，解得：，，．32．（2024上·江苏南京·八年级校联考期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点．【概念运用】（1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有_____个．（2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点．【拓展提升】（3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长．【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）2，，，8．【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案；（2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论；（3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案．【详解】（1）解：如图，，，，四点与，能构成四个直角三角形，图中，两点的勾股点的有4个，故答案为：4；（2）证明：．，在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：，．在中，，又，，由勾股定理逆定理得：是直角三角形，点是，两点的强勾股点；（3）解：若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图，为的中点，，，，，；若点是，两个顶点的强勾股点时，如图，，，；若点是，两个顶点的强勾股点时，如图，，，，设，，，，；若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图，为的中点，，．综上所述，的长为2，，，8．33．（2024上·辽宁锦州·八年级统考期末）【概念建构】在中，，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”．依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即．

(1)【概念应用】①如图3，在中，，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，，求的长．小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N，构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程．②请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．如图5，在中，，，D是边上一点，，，交于点N，延长，交于点F，猜想，，之间的数量关系，并说明理由：(2)【学以致用】如图6，，和是等腰直角三角形，，，，求△ADE和的面积和．【答案】(1)①，②(2)3【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．（1）①先证明可得，，再求解，求解，再利用勾股定理可得结论；②如图5，连接，过作交的延长线于，由“双外弦三角形”的含义同理可得：，再证明，可得，结合，可得结论；（2）如图6，过作交的延长线于，过作于，过作于，过作于，可得，，证明，，可得，，从而可得答案．【详解】（1）解：①过D作于点N，于点M，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；②如图5，连接，过作交的延长线于，∴，∵，，由“双外弦三角形”的含义同理可得：，∴，，

∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，而，∴；（2）如图6，过作交的延长线于，过作于，过作于，过作于，则∵，∴由平行线间的距离处处相等可得：，∵，∴，∵和是等腰直角三角形，，由（1）同理可得：，，∴，，∴△ADE和的面积和为：．34．（2024上·辽宁本溪·八年级期末）如图，分别以的两边为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中．(1)如图1，连接．若∠ACB=45°，AC=2，，求的长；(2)如图2，M为的中点，连接，过点M作与的反向延长线交于点N，连接，试猜想之间有何等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）由已知易得，则；在中由勾股定理即可求得，从而求得结果；（2）延长到G，使，分别连接；易证，则有∠BNM=∠CGM，可得；由（1）知，∠BEA=∠DCA，设交于点F，则可得，由平行可得，则由勾股定理及线段垂直平分线的性质可得之间等量关系．【详解】（1）解：∵和均是等腰直角三角形，，∴，∵，∴；在与中，，∴，∴；∵∠CAE=90°，∴，；∵，∴，在中，由勾股定理得；∴；（2）解：；证明如下：如图，延长到G，使，分别连接；∵M为的中点，∴；∵∠BNM=∠CMG，，∴，∴∠BNM=∠CGM，∴；由（1）知，∴∠BEA=∠DCA；设交于点F，∵=∠BEA+∠AEC+∠FCE=∠DCA+∠AEC