2025高考数学一轮复习-第4章-第8节 第三课时 解三角形的综合应用【课件】

第四章三角函数、解三角形

第8节正弦定理和余弦定理及其应用第三课时解三角形的综合应用目

录CONTENTS考点聚焦突破01课时分层精练02考点聚焦突破1KAODIANJUJIAOTUPO考点一多边形中的解三角形问题(2)线段AC的长度.由余弦定理，得BC2＝BD2＝AD2＋AB2－2AD×AB×cosθ感悟提升平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.(2)△BCD的面积.考点二三角形中的最值(范围)[满分规则]❶得步骤分①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.❷得关键分②处消去角A是本题得解的关键所在.❸得计算分③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.解选①：由正弦定理及2a－b＝2ccosB，得2sinA－sinB＝2sinCcosB，又∵sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴2sinBcosC＝sinB.考点三三角形中的证明问题例3(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)若A＝2B，求C；将A＝2B代入sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinB＝sinBsin(C－A).因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinC＝sin(C－A).(2)证明：2a2＝b2＋c2.证明法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，结合正弦定理可得，accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*).2bccosA＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.感悟提升对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.训练3(2024·开封调研)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(B－C)·tanA＝sinBsinC.(1)若A＝B，求sin2A的值；∵0<A<π，∴sinA≠0，即sinBcosC－sinCcosB＝cosAsinC，∵A＝B，∴sinAcosC－sinCcosA＝cosAsinC，∴sinAcosC＝2cosAsinC.又∵C＝π－2A，∴sinAcos(π－2A)＝2cosAsin(π－2A)，即－sinAcos2A＝2cosAsin2A，即－sinA(1－2sin2A)＝4sinAcos2A，整理得2sin2A－1＝4－4sin2A，则sinAsinBcosC－sinAsinCcosB＝cosAsinBsinC，故sinAsinBcosC＝sinC(cosAsinB＋sinAcosB)，∴sinAsinBcosC＝sinCsin(A＋B)，∵A＋B＝π－C，∴sinAsinBcosC＝sin2C.课时分层精练2KESHIFENCENGJINGLIAN证明设BD＝x，则a＝BC＝2x.在△ABC中，由余弦定理，得b2＋c2－2bccosA＝4x2，即2b2＋2c2－bc＝8x2.①即b2＋4c2－bc＝4x2.②2×②－①，得6c2－bc＝0.又c≠0，所以b＝6c.3.(2024·西安调研)如图，在平面四边形ABCD中，AC⊥AD，AC＝AD＝7，AB=3. (1)若BD＝8，求△ABC的面积；解