2025高考数学一轮复习-第1章-第3节 不等式及其性质【课件】VIP

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第3节不等式及其性质1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.两个实数比较大小的方法>=<>=<2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c____b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c____b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac____bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac____bd；(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an____bn(n∈N，n≥1)；＞＞＞＞＞＞常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×××√解析(1)由不等式的性质，ac3＞bc3⇒/

a＞b；反之,c≤0时，a＞b

⇒/

ac3＞bc3.(2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc⇒/

a＝b.2.(多选)(必修一P43习题2.1T8改编)下列命题为真命题的是(

)ABD解析C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误.3.(必修一P42习题2.1T3(4)改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________.M＞N解析M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N.

4.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是_____________.(－7，12)解析∵－3＜b＜5，∴－6＜2b＜10，又－1＜a＜2，∴－7＜a＋2b＜12.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一比较数(式)的大小A所以2c>2b，即c>b；又因为(2b)4－(2a)4＝16e2－e3＝e2(16－e)>0，所以(2b)4>(2a)4，又a，b均为正数，所以2b>2a，即b>a，所以a<b<c.(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为_____________.eπ·πe＜ee·ππ感悟提升比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.C所以P－Q≥0，即P≥Q.B解析法一易知a，b，c都是正数，由f′(x)>0，得0<x<e；由f′(x)<0，得x>e.∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.考点二不等式的基本性质例2(1)(2024·北京朝阳区模拟)若a>0>b，则(

)A解析∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；BC对于B，∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，a－b>0，∴b＋c＝－a<0，∴a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确；对于C，∵a－b>0，a＋b＝－c>0,∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2,C正确；对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D错误.感悟提升解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；(2)利用特殊值排除法；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.A解析对于A，由不等式的性质知，a<b⇒a＋c<b＋c，正确；对于C，由不等式的性质知，c>0，a<b⇒ac<bc，错误；对于D，a<b⇒b－a>0，又c>0，所以无法判断b－a与c的大小，错误.ACB中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lnb2>lna2，故D错误.考点三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.(－4，2)

(1，18)解析因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－3<3x<12，4<2y<6，得1<3x＋2y<18.解析∵－3<a<－2，迁移

在本例(1)中，把条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，求3x＋2y的取值范围.解设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，感悟提升利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.解析由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIANBDA解析因为－3＜a＜－2，所以4<a2<9，4.(2024·安阳调考)若a>b>0>c，则(

)B解析对于A，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则(a－b)c＝－1<0，故A错误；对于C，当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；5.若a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是(

) A.n＞m＞p B.m＞p＞n C.m＞n＞p D.p＞m＞nB解析由a＞1知，a2＋1－2a＝(a－1)2＞0，2a－(a＋1)＝a－1＞0，∴a2＋1＞2a＞a＋1，而y＝logax在定义域上单调递增，∴m＞p＞n.B解析若m＝－1，n＝1，故p是q的必要不充分条件，故选B.7.(2024·惠州调研)已知实数a>b>0>c，则下列结论一定正确的是(

)A对于D，若a＝1，c＝－2，满足a>0>c，但a2<c2，故D错误.8.已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N(填“＞”“＜”或“＝”).＞解析M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0，故M＞N.9.若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________.(2，10)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.10.实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.那么a，b，c，d的大小关系是_____________.b＞d＞c＞a解析由题意知d＞c；②＋③得2a＋b＋d＜2c＋b＋d，化简得a＜c；由②式a＋b＝c＋d及a＜c可得到b＞d，故b＞d＞c＞a.证明∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0.13.(多选)(2024·宁波质检)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(

)BD解析对于A，ac2－bc2＝c2(a－b)，因为b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，则bc2≤ac2，故A错误；14.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|