2023-2024学年北京四中学中考数学模拟试卷含解析

2023-2024学年北京四中学中考数学模拟精编试卷

注意事项:

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水

的最大深度h与时间，之间的关系的图象是（）

2.将抛物线二=-二二.+：向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）

A.二二一交口一厅B.二=-2（二+

C.二二7（二一加七D.1=一式二一.一.

3.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如

图线段04和折线BCD分别表示两车离甲地的距离），（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系.则下

列说法正确的是（）

B.轿车在行驶过程中进行了提速

C.货车出发3小时后，轿车追上货车

D.两车在前80千米的速度相等

4.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，ZABC=90°,CA±x

轴，点C在函数y上（x>0）的图象上，若AB=2,则k的值为（）

A.4B.2&C.2D.V2

5.函数y=kx+l与y=-K在同一坐标系中的大致图象是（）

x

6.已知二次函数y=ax?+bx+c（arl）的图象如图所示，则下列结论:

①a、b同号；

②当x=l和x=3时，函数值相等；

③4a+b=l；

④当y=-2时，x的值只能取1；

⑤当・1VXV5时，yVl.

其中，正确的有（）

A,2个3个C・4个D.5个

7.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动.如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱的

局BC=6cm,圆锥的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是（）

B.74ncm2C.84?rcm2D.IOOTTcm?

8.下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x-1=0D.ax2+bx+c=0

9.如图，在RtAABC中，/ACB=90°,AC=2百，以点C为圆心，CB的」长为半径画弧，与AB边交于点D,将60

绕点D旋转180。后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为（

B.2百.用D.

3

10.一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

一、填空题（本大题共6个小题，母小题3分，共JL8分）

11.已知短形ABCD,AD>AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,

则可以面出的不同的等腰三角形的个数为.

12.如图，。。的半径为1cm,正六边形ABCDEF内接于。O,则图中阴影部分面积为cm'.（结果保留

13.若二次函数了=一/-4丫+〃的最大值是9,则1<=

14.如果某数的一个平方根是-5,那么这个数是.

15.抛物线y=（x+1）2.2的顶点坐标是.

16.在直角坐标系中，坐标轴上到点P（・3,-4）的距离等于5的点的坐标是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小

说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.

类别频数（人数）频率

小说0.5

戏剧4

散文100.25

其他6

合计1

根据图表提供的信息，解答下列问题：八年级一班有多少名学生？请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类

所占的百分比；在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参

加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率.

18.（8分）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动.某中学就“学生

体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统

（1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有______人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为%,如果学校有800

名学生，估计全校学生中有人喜欢篮球项目.

⑵请将条形统计图补充完整.

⑶在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学.现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队,

请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率.

19.（8分）如图，△ABC内接于。O,ZB=60°,CD是。。的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC.

（1）求证：PA是。O的切线；

（2）若PD=£,求。O的直径.

20.（8分）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查.小丽调查了初二电脑爱好者中40名学

生每周上网的时间；小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生，调查了每周上网的时间.小丽与小杰整理各

自样本数据，如下表所示.

时间段（小时/周）小丽抽样（人数）小杰抽样（人数）

0-1622

1~21010

2-3166

3-482

（1）你认为哪位学生抽取的样本不合理?请说明理由.专家建议每周上网2小时以上（含2小时）的学生应适当减少

上网的时间，估计该校全体初二学生中有多少名学生应适当减少上网的时间.

21.（8分）某保健品厂每天生产A,B两种品牌的保健品共60Q瓶，A,B两种产品每瓶的成本和利润如表，设每天

生产A产品x瓶，生产这两种产品每天共获利y元.

（1）请求出y关于x的函数关系式；

（2）如果该厂每天至少投入成本26400元，那么每天至少获利多少元？

X

（3）该厂每天生产的A,B两种产品被某经销商全部订购，厂家对A产品进行让利，每瓶利润降低而元，厂家如

何生产可使每天获利最大？最大利润是多少？

成本（兀/瓶）5035

利润（元/瓶•）2015

2x<2+

22.（10分）解不等式组rcu一rG，请结合题意填空，完成本题的解答.

3x-2<5x+2②

（1）解不等式①，得

（2）解不等式②，得

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:

:3~1~4~0123^

（4）原不等式的解集为

23.（12分）如图1,正方形ABCD的边长为4,把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角

板的两边分别交边AB、CD于点G、F.

(1)求证：△GBE^AGEF.

（2）设AG=x,GF=y,求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围.

（3）如图2,连接AC交GF于点Q,交EF于点P.当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长.

24.先化简，再求值:

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

首先看座可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢.

【详解】

根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢。

故选：C.

【点睛】

此题考查函数的图象，解题关键在于观察图形

2、C

【解析】

试题分析：•・,抛物线二二一.二二十.向右平移1个单位长度，，平移后解析式为：二三：二：；；•，工再向上平移

1个单位长度所得的抛物线解析式为：二二-二二-，；一二故选C.

考点：二次函数图象与几何变换.

3、B

【解析】

①根据函数的图象即可直接得出结论;②求得直线OA和DC的解析式,求得交点坐标即可；③由图象无法求得B的横

坐标;④分别进行运算即可得出结论.

【详解】

由题意和图可得，

轿车先到达乙地，故选项A错误，

轿车在行驶过程中进行了提速，故选项B正确，

货车的速度是：300+5=60千米/时，轿车在5C段对应的速度是：80+（2.5-1.2）=等千米/时，故选项D错误，

设货车对应的函数解析式为y=Ax,

5A=300,得==60,

即货车对应的函数解析式为y=60x,

设CD段轿车对应的函数解析式为），=g+儿

2.54+6=80f«=ll（）

,,得《»

[4.5a+b=300[Z?=-195

即C&段轿车对应的函数解析式为），=H0x-195,

令60x=110x-195,得x=3.9,

即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C错误，

故选：B.

【点睛】

此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式

4、A

【解析】

【分析】作BD_LAC于D,如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=0AB=2五，BD=AD=CD=V2，再利用

ACJ_x轴得到C（、历，20），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值.

【详解】作BD_LAC于D,如图，

:△ABC为等腰直角三角形，

，AC=V^AB=20,

ABD=AD=CD=V2，

■ACJLx轴,

：.C（0,272），

k

把C（夜，2&）代入y=一得k=&x2血=4,

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=&（k为常数,

x

k#0）的图象是双曲线，图象上的点（x,y）的横纵坐标的积是定值k,即'尸卜是解题的关键.

5、D.

【解析】

试题分析：根据一次函数和反比例函数的性质，分k>0和kVO两种情况讨论：

当kVO时，一次函数图象过二、四、三象限，反比例函数中，-k>0,图象分布在一、三象限；

当k>0时，一次函数过一、三、四象限，反比例函数中，一kVO,图象分布在二、四象限.

故选I）.

考点：一次函数和反比例函数的图象.

6、A

【解析】

根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立.

【详解】

由函数图象可得，

a>Lb<L即a、b异号，故①错误，

x=・l和x=5时，函数值相等，故②错误，

,:-：5=2,得4a+b=L故③正确，

由图象可得，当y=-2时，x=l或x=4,故④错误，

由图象可得，当“VxV5时，y<l,故⑤正确，

故选A.

【点睛】

考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

7、C

【解析】

试题分析：:底面圆的直径为8cm,高为3cm,・•.母线长为5cm,・,•其表面积=71x4x5+42元+866=84忒1«2,故选C.

考点：圆锥的计算；几何体的表面积.

8、B

【解析】

根据一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2进行分析即可.

【详解】

A.未知数的最高次数不是2,不是一元二次方程，故此选项错误；

B.是一元二次方程，故此选项正确；

C.未知数的最高次数是3,不是一元二次方程，故此选项错误；

D.a=O时，不是一元二次方程，故此选项错误；

故选B.

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明白：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

9、B

【解析】

阴影部分的面积二三角形的面积一扇形的面积，根据面积公式计算即可.

【详解】

解：由旋转可知AD=BD,

VZACB=90",AC=2V3,

.*.CD=BD,

VCB=CD,

/.△BCD是等边三角形，

AZBCD=ZCBD=60°,

ABC=—AC=2,

3

・•・阴影部分的面积=2&x2+2-虹£=26-V.

3603

故选：B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与扇形面积的计算.

10、C

【解析】

由题意得，180。5・2）二120的,

解得〃=6.故选C.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、8

【解析】

根据题意作出图形即可得出答案，

【详解】

如图，AD>AB,△CDEi,△ABE2,AABEj,△BCE4,△CDE5,AABE6,△ADE7,ACDE8,为等腰三角形，故

有8个满足题意得点.

【点睛】

此题主要考查矩形的对称性，解题的关键是根据题意作出图形.

192

6

【解析】

试题分析：根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即

可.

试题解析：如图所示：连接BO,CO,

•・•正六边形ABCDEF内接于OO,

AAB=BC=CO=1,ZABC=110°,△OBC是等边三角形,

/.CO/7AB,

在ACOW和4ABW中

ZBWA=ZOWC

{ABAW=ZOCWf

AB=CO

/.△COW^AABW(AAS),

・••图中阴影部分面积为：S原形OBC=6°〃X[=£.

3606

考点：正多边形和圆.

13、5

【解析］y=_(x-2)2+4+k,

;二次函数y=-x2-4x+k的最大值是9,

/.4+k=9,解得：k=5,

故答案为：5.

14、25

【解析】

利用平方根定义即可求出这个数.

【详解】

设这个数是x(x>0),所以x=(-5)2=25.

【点睛】

本题解题的关键是掌握平方根的定义.

15、(-1.-2)

【解析】

试题分析：因为y=(x+1)2・2是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(・1,-2),

故答案为(-1,-2).

考点：二次函数的性质.

16、(0,0)或(0,-8)或(-6,0)

【解析】

由P(-3,・4)可知，P到原点距离为5,而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点分别与x轴、y轴交于另外

一点，共有三个.

【详解】

解：・・・P(・3,・4)到原点距离为5,

而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点且分别交x轴、y轴于另外两点(如图所示)，

，故坐标轴上到P点距离等于5的点有三个：(0,0)或(0,-8)或(-6,0).

故答案是：(0,0)或(0,-8)或(0).

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）41（2）15%（3）-

6

【解析】

（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数：

（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；

（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率.

【详解】

（1）,・•喜欢散文的有U人，频率为L25,

Am=ll-71.25=41；

（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为xlll%=15%,

故答案为15%；

（3）画树状图，如图所示：

/1\/N/1\/4\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，

21

・・・P（丙和乙）

126

3

18、（1）5,20,80；（2）图见解析；（3）

5

【解析】

【分析】（1）根据喜欢跳绳的人数以及所占的比例求得总人数，然后用总人数减去喜欢跳绳、乒乓球、其它的人数即

可得；

（2）用乒乓球的人数除以总人数即可得；

（3）用800乘以喜欢篮球人数所占的比例即可得；

（4）根据（1）中求得的喜欢篮球的人数即可补全条形图;

（5）画树状图可得所有可能的情况，根据树状图求得2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果，根据概率公式

进行计算即可.

【详解】（D调查的总人数为20・40%=50（人）,

喜欢篮球项目的同学的人数=5（）-20-10-15=5（人）；

（2）“乒乓球”的百分比=Wx100%=20%；

50

5

（3）800x一=80,

50

所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目；

（4）如图所示,

（5）画树状图为:

男男男女女

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12,所以所抽取的2

名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率=畀=3.

205

19、（1）见解析（2）2后

【解析】

解：（D证明：连接OA,

VZB=60°,AZAOC=2ZB=1.

VOA=OC,AZOAC=ZOCA=2.

XVAP=AC,/.ZP=ZACP=2.

AZOAP=ZAOC-ZP=3.AOA1PA.

VOA是。。的半径，・・・PA是。O的切线.

A

B

(2)在R3OAP中，VZP=2,

.,.PO=2OA=OD+PD.

XVOA=OD,APD=OA.

VPD=V3,；・2OA=2PD=2G.

・・・G)O的直径为2G..

(1)连接OA,根据圆周角定理求出NAOC,再由OA=OC得出NACO=NOAC=2,再由AP=AC得出

ZP=2,兼而由NOAP=NAOC-NP,可得出OA_LPA,从而得出结论.

(2)利用含2的直角三角形的性质求出OP=2OA,可得出OP・PD=OD,再由PD=6,可得出OO的直径.

20、(1)小丽；(2)80

【解析】

解：(1)小丽；因为她没有从全校初二学生中随机进行抽查，不具有随机性与代表性.

Q

(2)400x—=80.

40

答：该校全体初二学生中有80名同学应适当减少上网的时间.

21、(1)j=5x+9000；(2)每天至少获利10800元；(3)每天生产4产品250件，〃产品350件获利最大，最大利润

为9625元.

【解析】

试题分析：(1)A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒(600・x)瓶；利润二4种品牌白酒瓶数xA种品牌白酒一瓶的利润

+B种品牌白酒瓶数xB种品牌白酒一瓶的利润，列出函数关系式；

(2)A种品牌白酒x瓶，则B种品牌白酒(600.x)瓶；成本=4种品牌白酒瓶数xA种品牌白酒一瓶的成本+B种品牌

白酒瓶数xB种品牌白酒一瓶的成本，列出不等式，求x的值，再代入(1)求利润.

(3)列出y与x的关系式，求y的最大值时，x的值.

试题解析：

(1)j=20x+15(600-x)=5x+9000,

••y关于x的函数关系式为j=5x+9000；

(2)根据题意，得50x+35(600-x)二26400,

解得x>360,

Vj=5x+9000,5>0,

・•・)，随x的增大而增大，

:.当x=360时，y有最小值为10800,

，每天至少获利10800元；

(3)y=(20一卷:+15(60()一九)=-*(X-2501+9625,

V一一—<0,・,•当x=250时，y有最大值9625,

100

，每天生产4产品250件，B产品350件获利最大，最大利润为9625元.

22、(1)x<l；(1)x>-1；(3)见解析；(4)-1<X<1.

【解析】

先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【详解】

解：(1)解不等式①，得烂1,

(1)解不等式②，得史・1,

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

---------:------J---------------------------->;

-5-4-3-2-1012345

(4)原不等式组的解集为-13金，

故答案为烂Lx>-1,-1<X<1.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.

42厂

23、(D见解析；(2)y=4-x+-------(0<x<3)；(3)当△AGQ与ACEP相似，线段AG的长为2或4・一J3.

4-X3

【解析】

(1)先判断出△BEF3ACEF,得出BF=CF,EF'=EF,进而得出/BGE;NEGF,即可得出结论；

4

(2)先判断出△BEGs^CFE进而得出CF=-------

4-X

,即可得出结论；

(3)分两种情况，①△AGQs/\CEP时，判断出NBGE=60。，即可求出BG；

②△AGQsZiCPE时，判断出EG〃AC,进而得出△BEGsaBCA即可得出BG,即可得出结论.

【详解】

(1)如图1,延长FE交AB的延长线于FT

•・•点E是BC的中点，

ABE=CE=2,

丁四边形ABCD是正方形,

，AB〃CD,

・・・NF=NCFE,

在^BEF^flACEF中，

=ZCFE

IZBEFZ=ZCEF，

IB