2021高中数学(人教A版)选修2-2课时作业24

课时作业(二十四)一、选择题1．用数学归纳法证明：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*且n>1)第一步验证n＝2时，左边计算所得项为()A．1 B．1＋eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)答案D解析当n＝2时，左边最终一项为eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3).2．设f(n)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)，则f(k＋1)－f(k)等于()A.eq\f(1,2k＋1－1)B.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1－1)C.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1－1)D.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)答案D解析n＝k时，f(k)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1).n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1).∴f(k＋1)－f(k)＝eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1).3．假如命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是()A．P(n)对全部正整数n都成立B．P(n)对全部正偶数n都成立C．P(n)对全部正奇数n都成立D．P(n)对全部自然数n都成立答案B4．用数学归纳法证明恒等式1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).由n＝k到n＝k＋1时，两边应同时加上()A.eq\f(1,2k＋1) B．－eq\f(1,2k＋1)C.eq\f(1,2k＋1) D.eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)答案D5．若凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2答案C二、填空题6．设S(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n2)，则S(n)有________项，S(2)＝________.答案n2－n＋1；eq\f(13,12)解析应用等差数列通项公式的变形公式：d＝eq\f(an－am,n－m)即得项数；S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(13,12).7．用数学归纳法证明3n>n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________．答案n＝3时是否成立解析n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．8．用数学归纳法证明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2).假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．答案eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)解析观看不等式中的分母变化知，eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3).三、解答题9．用数学归纳法证明(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(2,n＋2)(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，左边＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，右边＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3)，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,k＋2))＝eq\f(2,k＋2).当n＝k＋1时，(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,k＋2))(1－eq\f(1,k＋3))＝eq\f(2,k＋2)(1－eq\f(1,k＋3))＝eq\f(2k＋2,k＋2k＋3)＝eq\f(2,k＋3).所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．10．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋52－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．解析(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]．即当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*，等式成立．11．已知x>－1，且x≠0，n∈N*，且n≥2.求证：(1＋x)n>1＋nx.证明(1)当n＝2时，左边＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右边＝1＋2x.∵x2>0，∴原不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx.当n＝k＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0.于是左边＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2，右边＝1＋(k＋1)x.∵kx2>0，∴左边>右边，即(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x.这就是说，当n＝k＋1时原不等式也成立．依据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数都成立．12．已知Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n>1，n∈N*)．求证：S2n>1＋eq\f(n,2)(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，S2n＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(25,12)>1＋eq\f(2,2)，即n＝2时命题成立．(2)设n＝k时命题成立，即S2k＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)>1＋eq\f(k,2)，当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1)>1＋eq\f(k,2)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1)>1＋eq\f(k,2)＋eq\f(2k,2k＋2k)＝1＋eq\f(k,2)＋eq\f(1,2)＝1＋eq\f(k＋1,2)，故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对n∈N*，n≥2，S2n>1＋eq\f(n,2)等式都成立．►重点班·选做题13．若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(a,24)对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．分析这是一个探究性问题，先用归纳法探求a的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n，不等式都成立．解析当n＝1时，eq\f(1,1＋1)＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,3＋1)>eq\f(a,24)，即eq\f(26,24)>eq\f(a,24)，∴a<26，又a∈N，∴取a＝25，下面用数学归纳法证明：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(25,24).(1)当n＝1时，已证．(2)假设当n＝k时，eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)>eq\f(25,24)成立．当n＝k＋1时，有eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋1＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,3k＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)＋\f(1,3k＋4)－\f(1,k＋1)))>eq\f(25,24)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(2,3k＋1).∵eq\f(1,3k＋2)