2025年人教版八年级数学寒假预习 第12讲 菱形的性质与判定（2个知识点+6大考点举一反三+过关测试）

第12讲菱形的性质与判定模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解菱形的概念；

2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；

3.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。知识点1：菱形的概念与性质概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：

边：菱形的四条边都相等．

对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．知识点2：菱形的判定1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3.四条边相等的四边形是菱形（边）考点一：利用菱形的性质求角度例1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB垂足为E，若∠BCD=50°，则∠BOE的大小为（

）A．24度 B．25度 C．40度 D．65度【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在菱形ABCD中如图，∠ABC=80°，BA=BE，则∠BAE=（

）A．75° B．70° C．40° D．30°【变式1-2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=36°，则∠OBC的度数为（

）A．34° B．54° C．62° D．72°【变式1-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，已知∠A=132°，则∠BEC的大小为（）A．24° B．28° C．62° D．66°考点二：利用菱形的性质求线段长例2.（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=6，AC=9，则AE的长为（）A．14 B．725 C．15 D．【变式2-1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为（

）

A．14 B．16 C．15 D．17【变式2-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°, OC=2．则点BA．2, 1 B．1, 2 【变式2-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长是（

）A．4 B．5 C．125 D．考点三：利用菱形的性质求面积例3.（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（

）A．48 B．32 C．12 D．24【变式3-1】（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=BD=4．则菱形ABCD的面积（

）A．83 B．16 C．163 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB=3，OE=33，则菱形ABCD的面积为【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，M、N分别为AB、AC的中点，若MN=2，∠BCD=60°，则菱形ABCD的面积为．考点四：利用萎形的性质证明例4.如图：在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使EF=BC，连接DF．

(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若BF=18，DF=6，求CD的长．【变式4-1】如图，在荾形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，求证：DE=DF．【变式4-2】如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F．

(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若DF=4，CE=5，求CD的长．【变式4-3】如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF=OF，连接CE,DE．(1)求证：四边形DOCE是矩形；(2)若OE=2，∠BCD=60°，求菱形考点五：添一个条件使四边形是菱形例5.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（

）A．∠ABD=∠ADB B．OC．∠BAO=∠DCO D．∠ABO=∠CBO【变式5-1】在▱ABCD中，如果只添加一个条件即可证明▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（

）A．∠A=90∘ B．AC=BD C．∠B=60∘ 【变式5-2】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【变式5-3】如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD考点六：根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度例6.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC、BD交于点0，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形(2)若CE=43，∠ADC=120°，求四边形ABCD【变式6-1】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足AE∥(1)判断四边形AECD的形状，并证明；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，求四边形AECD的面积．【变式6-2】如图，在△ABC中，AB=AC,D,E,F分别是边AB，BC，AC的中点．(1)求证：四边形ADEF为菱形．(2)若∠ADE=130°，求∠AED的大小．【变式6-3】如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE、CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=6，求四边形AECF的面积．一、单选题1．下列性质中矩形具有面菱形不一定具有的是（

）A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，AC=8,BD=6，点E是CD上一点，连接OE，若OE=CE，则OE的长是（

）A．2 B．52 C．3 3．已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．84．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AD=3，则菱形AECF的面积为（

A．23 B．43 C．45．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD=45°，则重叠部分图形形状和面积分别是（

A．平行四边形，182cm2C．菱形，182cm26．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（A．9cm B．10cm C．11cm7．如果点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应具备的条件是（

）A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥CD于点E．若AC=6，BD=8，则OE的长为（）A．125 B．245 C．6二、填空题9．如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BAC=25°，则∠OED的度数是．10．如图，菱形ABCD的边长是2cm，DE⊥AB于点E．若∠A=60°，则菱形ABCD的面积为cm11．如图，菱形ABCD的AD边在x轴上，已知B6,4、D−2,0，则点C三、解答题12．（23-24.江苏.期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=5,BD=6，求OE的长．13．（23-24.广西.期中）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且AB=5(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)求平行四边形ABCD的面积．14．（23-24.江苏.期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥(1)求证：四边形AODE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，AE=2，求BE的长．

第12讲菱形的性质与判定模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解菱形的概念；

2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；

3.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。知识点1：菱形的概念与性质概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：

边：菱形的四条边都相等．

对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．知识点2：菱形的判定1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3.四条边相等的四边形是菱形（边）考点一：利用菱形的性质求角度例1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB垂足为E，若∠BCD=50°，则∠BOE的大小为（

）A．24度 B．25度 C．40度 D．65度【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键；先根据菱形的性质得∠BAD=∠BCD=50°，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=50°，∴AC平分∠DAB，∠AOB=90°，∠BAD=∠BCD=50°，∴∠BAO=1∵OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴∠AOE+∠BAO=90°，∵∠AOB=90°∴∠BOE+∠AOE=90°，∴∠BOE=∠BAO=25°，故选：B．【变式1-1】24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在菱形ABCD中如图，∠ABC=80°，BA=BE，则∠BAE=（

）A．75° B．70° C．40° D．30°【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质可得∠ABD=∠CBD=40°，由等边对等角可得∠BAE=∠BEA，由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠CBD=1∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，在△ABE中，∴∠BAE=∠BEA=1故选：B．【变式1-2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=36°，则∠OBC的度数为（

）A．34° B．54° C．62° D．72°【答案】B【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=BC，AD∥BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，∠BCA=∠DAC，在△AMO和△CNO中，∠MAO=∠NCOAM=CN∴△AMO≌△CNOASA∴AO=CO，又∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵BC∥AD，∴∠BCA=∠DAC=36°，∴∠OBC=90°−36°=54°．故选：B．【变式1-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，已知∠A=132°，则∠BEC的大小为（）A．24° B．28° C．62° D．66°【答案】D【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三角形两个锐角互余．根据菱形的性质得出AD∥BC，从而得出∠ABC=180°−∠A=48°，则∠CBE=1【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC=180°−∠A=48°，则∠CBE=1∵CE⊥BC，∴∠BEC=90°−∠CBE=66°，故选：D考点二：利用菱形的性质求线段长例2.（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB=6，AC=9，则AE的长为（）A．14 B．725 C．15 D．【答案】D【分析】由菱形的性质得出BD=12，得出菱形的面积54，勾股定理算出BC=B【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=12AC=92∴BD=2OB=12，∴S在Rt△BOC中，∵AE⊥BC∴∠AEC=90°，S∴AE=36故选：D．【变式2-1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为（

）

A．14 B．16 C．15 D．17【答案】B【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可．【详解】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=4，∴菱形的周长为4×4=16．故选：B．【变式2-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°, OC=2．则点BA．2, 1 B．1, 2 【答案】C【分析】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，根据菱形的性质，作CD⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．【详解】解：作CD⊥x轴于点D，∵四边形OABC是菱形，OC=2∴OA=OC=2又∵∠AOC=45°，∴∠AOC=∠OCD=45°，∴OD=CD，∵OC=2，O∴OD=CD=1，则点C的坐标为1,1，又∵BC=OA=2∴B的横坐标为OD+BC=1+2，纵坐标为CD=1则点B的坐标为2+1,1故选：C．【变式2-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长是（

）A．4 B．5 C．125 D．【答案】D【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出AB的长，等积法求出DH的长即可．【详解】解：设菱形的对角线CA,BD交于点O，则：AC⊥BD，OA=12∴AB=3∵DH⊥AB，∴12∴DH=故选D考点三：利用菱形的性质求面积例3.（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（

）A．48 B．32 C．12 D．24【答案】D【分析】本题考查菱形面积的计算．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：∵菱形的两条对角线长为6和8，∴菱形的面积为：12故选：D．【变式3-1】（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=BD=4．则菱形ABCD的面积（

）A．83 B．16 C．163 【答案】A【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质．根据菱形的性质可得△ABD是等边三角形，∠BAO=∠DAO=12∠BAD=12×60°=30°，在【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，即∠AOD=∠AOB=90°，∵AB=BD=4，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°，∴∠BAO=∠DAO=1在Rt△AOB中，AB=2OB∴OB=1∴OA=3∴AC=2OA=2×23∴S菱形故选：A．【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB=3，OE=33，则菱形ABCD的面积为【答案】18【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据菱形的性质得到BD=2OB=6，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到AC=2OE=63【详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴BD=2OB=6，AO=CO∵CE⊥AB∴∠AEC=90°∴AC=2OE=6∴菱形ABCD的面积=1故答案为：183【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，M、N分别为AB、AC的中点，若MN=2，∠BCD=60°，则菱形ABCD的面积为．【答案】8【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键．如图：连接BN，根据三角形中位线定理可得BC=2MN=4；再根据菱形的性质可得BN⊥AC，∠ACB=12∠BCD=30°，S菱形ABCD=2S△ABC，AN=2NC，最后根据S菱形【详解】解：如图：连接BN，∵M、N分别为AB、AC的中点，若MN=2，∴BC=2MN=4，∵在菱形ABCD中，N分别为AC的中点，∠BCD=60°，∴BN⊥AC，∠ACB=12∠BCD=30°，S∴BN=12BC=2∴AN=2NC=43∴S△ABC∴S菱形故答案为83考点四：利用萎形的性质证明例4.如图：在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使EF=BC，连接DF．

(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若BF=18，DF=6，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)CD=10【分析】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的性质与判定是解本题的关键．（1）证明AD∥BC且AD=BC，AD＝EF，可得四边形AEDF是平行四边形，结合（2）设BC=CD=x，则CF=18−x，在Rt△DCF中，DC2【详解】（1）证明：∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC且∵BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥∴四边形AEDF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵菱形ABCD，∴BC=CD，设BC=CD=x，则CF=18−x，在Rt△DCF中，D∴x2∴x=10，∴CD=10．【变式4-1】如图，在荾形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，求证：DE=DF．【答案】见解析【分析】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．根据AAS证明△ABE≌△CBF得AE=CF，进而可证明DE=DF．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC,∠A=∠C,AD=CD，∵BE⊥AD,BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°，在△ABE与△CBF中∠BEA=∠BFC∠A=∠C∴△ABE≌△CBFAAS∴AE=CF，∴AD−AE=CD−CF，即DE=DF．【变式4-2】如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F．

(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若DF=4，CE=5，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)41【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理．（1）利用菱形的性质结合已知条件用AAS即可证明△BCE≌△DCF．（2）利用全等三角形的性质得出CE=CF=5，再利用勾股定理即可求出CD．【详解】（1）证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC=∠DFC=90°，又∵四边形ABCD是菱形，∴BC=DC，∠B=∠D，∴△BCE≌△DCF(AAS)（2）∵△BCE≌△DCF，∴CE=CF=5，∵∠BEC=90°，DF=4，∴CD=4【变式4-3】如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，点F是CD的中点，延长OF到点E，使EF=OF，连接CE,DE．(1)求证：四边形DOCE是矩形；(2)若OE=2，∠BCD=60°，求菱形【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理；（1）根据对角线互相平分可得四边形DOCE是平行四边形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，即可证明四边形DOCE是矩形；

（2）根据菱形的性质得出BD=2OB，AC=2OC，AC⊥BD，AB=BC=CD=2，根据含30度角的直角三角形的性质得出OB=12BC=1【详解】（1）证明：∵点F是CD的中点，∴DF=CF，

∵EF=OF，∴四边形DOCE是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，

∴四边形DOCE是矩形；（2）解：∵四边形DOCE是矩形，OE=2，∴CD=OE=2，∵四边形ABCD是菱形，

∴BD=2OB，AC=2OC，AC⊥BD，AB=BC=CD=2，∵∠BCD=60∴∠BCO=12∴OB=12BC=1∴AC=2OC=23，BD=2OB=2∴四边形ABCD的面积为12考点五：添一个条件使四边形是菱形例5.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（

）A．∠ABD=∠ADB B．OC．∠BAO=∠DCO D．∠ABO=∠CBO【答案】C【分析】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键．根据∠ABD=∠ADB得出AB=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定A选项不符合同意；根据勾股定理得出∠AOB=90°，得出AC⊥BD，即可判断B不符合同意；根据∠BAO=∠DCO无法判断四边形ABCD为菱形，即可判断C符合题意；根据∠ABO=∠CBO，证明∠ABO=∠ADB，得出AB=AD，即可判断D不符合同意．【详解】解：A．由∠ABD=∠ADB得出AB=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；B．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∵OA∴OA∴△AOB为直角三角形，∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；C．由∠BAO=∠DCO不能证明▱ABCD是菱形，故该选项符合题意；D．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥∴∠ADB=∠CBD，∵∠ABO=∠CBO，∴∠ABO=∠ADB，∴AB=AD，∴四边形ABCD为平行四边形．故该选项不符合题意．故选：C．【变式5-1】在▱ABCD中，如果只添加一个条件即可证明▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（

）A．∠A=90∘ B．AC=BD C．∠B=60∘ 【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．根据菱形的判定方法逐一判断即可．【详解】解：由题意可作出图形：当∠BAD=90∘时，则当AC=BD时，则▱ABCD为矩形，故B错误；当∠ABC=60∘时，不能判定出当BD平分∠ABC时，则∠ABD=∠CBD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴▱ABCD为菱形，故D正确；故选：D．【变式5-2】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】C【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形ABCD的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等．【详解】解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，故选：C．【变式5-3】如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD【答案】D【分析】本题主要考查了菱形的判定，先说明四边形EFGH为平行四边形，再结合四个答案依次判断即可.【详解】连结AC、BD，如图所示，∵E、F、C、H分别为四边形ABCD各边中点，∴EF∥AC,EF=1∴EF∥HG,EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形．当AB∥DC或AB=DC时，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；当AC⊥BD时，能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；当AC=BD时，能判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．故选：D.考点六：根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度例6.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC、BD交于点0，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形(2)若CE=43，∠ADC=120°，求四边形ABCD【答案】(1)见解析(2)32【分析】(1)先证CD=AD=AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD=AB，即可得出结论；(2)由菱形的性质可得AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∠DAB=60°,∠CAB=【详解】（1）证明：∵AB∥CD,∴∠∵AC平分∠BAD∴∠∴AD=CD,∵AB=AD,∴AB=CD,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∠∴AC=2CE=83,AB=2BO∴AO=CO=43∵AB∴4BO∴BO=4(负值舍去),∴BD=8,∴菱形ABCD的面积=1【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的面积公式是解决此题的关键．【变式6-1】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足AE∥(1)判断四边形AECD的形状，并证明；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，求四边形AECD的面积．【答案】(1)平行四边形，证明见解析(2)24【分析】本题主要考查平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键．（1）根据平行的性质可得∠EAO=∠DCO，运用角边角可证△AOE≌△COD，可得OD=OE，结合平行四边形的判定方法“对角线相互平分的四边形是平行四边形”即可求解；（2）根据题意可得四边形AECD是菱形，运用勾股定理可得OD=3，由此菱形的面积计算方法即可求解．【详解】（1）解：四边形AECD为平行四边形．证明如下：∵AE∥CD，∴∠在△AOE和△COD中，∠EAO=∠DCOAO=CO∴△AOE≌△COD(ASA∴OD=OE，又∵AO=CO，∴四边形AECD是平行四边形．（2）解：∵AB=BC，AO=CO，∴OB⊥AC，∴四边形AECD是菱形，∵AC=8，∴CO=1在Rt△COD中，由勾股定理得OD=C∴DE=2OD=6，∴S【变式6-2】如图，在△ABC中，AB=AC,D,E,F分别是边AB，BC，AC的中点．(1)求证：四边形ADEF为菱形．(2)若∠ADE=130°，求∠AED的大小．【答案】(1)见解析(2)25°【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是：（1）由三角形中位线的性质可得DE∥AC，EF∥AB，即可得四边形ADEF为平行四边形，又由中点定义可得（2）先根据平行线的性质求出∠DEF的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可．【详解】（1）证明：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE∥AC，EF∥AB，AD=1∴四边形ADEF为平行四边形，∵AB=AC，∴AD=AF，∴四边形ADEF是菱形；（2）解：∵EF∥AB，∠ADE=130°∴∠DEF=180°−∠ADE=50°，∵四边形ADEF是菱形，∴∠AED=1【变式6-3】如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，AC与EF交于点O，且EF垂直平分AC，连接AE、CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=6，求四边形AECF的面积．【答案】(1)证明见解析(2)18【分析】（1）利用平行四边形和线段垂直平分线的性质可证△OAF≌△OCEAAS，即得AF=CE，即可得四边形AECF（2）由AC⊥AB，∠B=30°可得∠ACB=60°，进而可得△AEC为等边三角形，得到AE=CE=AC=6，再根据菱形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质求出对角线EF的长即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥CE，∴∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AF=CF，∴△OAF≌△OCEAAS∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF=CF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，∴∠ACB=60°，∵四边形AECF是菱形，∴AE=CE，EF=2OE，∴△AEC为等边三角形，∴AE=CE=AC=6∵EF垂直平分AC，∴OC=12AC=3∴OE=C∴EF=2OE=63∴S四边形【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．一、单选题1．下列性质中矩形具有面菱形不一定具有的是（

）A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等【答案】D【分析】此题考查了菱形的性质与矩形的性质此题难度不大，注意熟练掌握菱形与矩形的性质定理．根据菱形的性质与矩形的性质，可求得答案．【详解】两组对边分别相等：是矩形和菱形共同的性质；两组对角分别相等：是矩形和菱形共同的性质；两条对角线互相垂直：是菱形的性质，矩形不一定有；两条对角线相等：是矩形的性质，菱形不一定有．故选：D．2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，AC=8,BD=6，点E是CD上一点，连接OE，若OE=CE，则OE的长是（

）A．2 B．52 C．3 【答案】B【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，结合勾股定理求出CD的长，等边对等角结合等角的余角相等，得到OE=DE，进而得到OE=DE=CE=1【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,OC=1∴CD=32+42∵OE=CE，∴∠OCD=∠EOC，∴∠ODE=∠EOD，∴OE=DE，∴OE=DE=CE=1故选B．3．已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知AB，BO，根据勾股定理即可求得AO的值．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=OD,AO=OC，AB=BC=CD=DA，∵菱形周长为20，BD=8，∴AB=5，BO=4，∴AO=A∴AC=2AO=6，故选：C．4．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AD=3，则菱形AECF的面积为（

A．23 B．43 C．4【答案】A【分析】本题考查折叠性质、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质是解答的关键．根据矩形和折叠性质得到，AD=3，AC=23，进而利用勾股定理求解CD=3，根据菱形的性质得到，CF=AF，DF=3−CF，然后利用勾股定理求得【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=3∴∠D=90°，AD=BC=3由折叠性质得OA=AD=BC=OC=3，则AC=2∴CD=A∵四边形AECF是菱形，∴CF=AF，则DF=DC−CF=3−CF，在Rt△ADF中，由AD2解得CF=2，∴菱形AECF的面积为CF⋅AD=2×3故选：A．5．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD=45°，则重叠部分图形形状和面积分别是（

A．平行四边形，182cm2C．菱形，182cm2【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形ABCD是平行四边形，则∠DAB=∠BCD=45°，如图，作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，利用面积法证明AB=BC，得到四边形ABCD是菱形，再由勾股定理求得AD=62，然后根据重合部分四边形ABCD的面积为AB×DM【详解】解：由题意知，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD=45°，如图，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，连接BD，则DM=DN=6cm

∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD=S∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴∠DAM=45°=∠ADM，∴AM=DM=6，由勾股定理得，AD=A则AB=62∴重合部分四边形ABCD的面积为：AB×DM=62故选：D．6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（A．9cm B．10cm C．11cm【答案】B【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，连接AC、BD相交于点O，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由题意可得AB∥CD，AD∥BC，AM=AN，可得四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得【详解】解：连接AC、BD相交于点O，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，∵四边形ABCD由两张等宽的纸条重叠在一起形成的，∴AB∥CD，AD∥∴四边形ABCD是平行四边形，∵S四边形∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BDAO=12AC=6∴∠AOB=90°，∴AB=A故选：B．7．如果点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应具备的条件是（

）A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【答案】B【分析】据已知条件可以得出要使四边形EFGH为菱形，应使EH=EF=FG=HG，根据三角形中位线的性质可以求出四边形ABCD应具备的条件．此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，正确运用菱形的判定定理是解决问题的关键．【详解】解：连接AC，BD，

∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，∴EF=FG=GH=EH，∵FG=EH=12DB∴要使EH=EF=FG=HG，∴BD=AC，∴四边形ABCD应具备的条件是BD=AC，故选：B．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥CD于点E．若AC=6，BD=8，则OE的长为（）A．125 B．245 C．6【答案】A【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，首先根据菱形的性质得到OC=12AC=3，OD=12【详解】∵在菱形ABCD中，AC=6，BD=8∴OC=12AC=3，∴CD=∴S∴1∴OE=12故选：A．二、填空题9．如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BAC=25°，则∠OED的度数是．【答案】25°【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=OB=OD，根据菱形性质可得∠DBE=12∠ABC=65°，从而得到∠OEB【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=25°，∴∠ABC=180°−25°−25°=130°，O为BD中点，∠DBE=1∵DE⊥BC，在Rt△BDE中，OE=OB=OD∴∠OEB=∠OBE=65°．∴∠OED=90°−65°=25°．故答案为：25°．10．如图，菱形ABCD的边长是2cm，DE⊥AB于