【高考解码】2021届高三数学二轮复习(新课标)-排列、组合与二项式定理

第16讲(理)排列、组合与二项式定理1．(2022·湖南高考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5的开放式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20【解析】依据二项开放式的通项公式求解．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5开放式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))5－r·(－2y)r＝Ceq\o\al(r,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5－r·(－2)r·x5－r·yr.当r＝3时，Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·(－2)3＝－20.【答案】A2．(2022·辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24【解析】3人中每两人之间恰有一个空座位，有Aeq\o\al(3,3)×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法．【答案】D3．(2021·江西高考)(x2－eq\f(2,x3))5开放式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40【解析】依据二项开放式的通项公式求解．设开放式的第r＋1项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(x2)5－r·(－eq\f(2,x3))r＝Ceq\o\al(r,5)·x10－2r·(－2)r·x－3r＝Ceq\o\al(r,5)·(－2)r·x10－5r.若第r＋1项为常数项，则10－5r＝0，得r＝2，即常数项T3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40.【答案】C4．(2022·全国大纲高考)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种【解析】从6名男医生任选2名有Ceq\o\al(2,6)种，从5名女医生任选1名有Ceq\o\al(1,5)种，∴共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,5)＝75.【答案】C5．(2022·全国新课标高考)(x＋a)10的开放式中，x7的余数为15，则a＝________.(用数字填写答案)【解析】利用二项开放式的通项公式．设通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系数为Ceq\o\al(3,10)a3＝15，∴a3＝eq\f(1,8)，∴a＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．利用分类加法和分步乘法计数原理计数①分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列、组合的基础．在解题的过程中，要正确使用这两个原理，一般是先分类，后分步，分类时要明确标准，不重不漏；分步要留意各步间的连续性．②从近两年的高考试题看，两个计数原理在高考中单独命题较少，一般与排列组合问题相结合，多为选择题、填空题．重点考查同学分析问题解决问题的力量及分类争辩思想的应用，属中档题．2．排列、组合问题①在高考题中可单独考查，也可与古典概型结合起来考查．常与两个计数原理交汇命题，是各省市高考的热点．②以选择、填空题的形式呈现，属中档题或较难题目．3．二项式定理①主要考查二项开放式的指定项，二项式系数与各项的系数，常与组合数、幂的运算等交汇命题．②均以小题形式消灭，属简洁题或中档题.利用分类加法和分步乘法计数原理计数【例1】(1)(2022·福建高考)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的全部取法可由(1＋a)(1＋b)的开放式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其开放式可用来表示从5个无区分的红球、5个无区分的蓝球、5个有区分的黑球中取出若干个球，且全部的蓝球都取出或都不取出的全部取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)(2)(2021·福建高考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10【解析】(1)本题可从题干最终一句入手，“1”表示全部蓝球都不取出，“b5”表示全部蓝球都取出，所以含有因式(1＋b5)，排解B，C，D选项，故选A.(2)对a进行争辩，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1,0,1,2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(－1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－1)，(2,0)，共9个．∴(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.【答案】(1)A(2)B【规律方法】1.“分类”与“分步”的区分：关键是看大事完成状况，假如每种方法都能将大事完成则是分类；假如必需要连续若干步才能将大事完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘．2．对于较简单的问题，一般要分类争辩，此时要留意分类争辩的对象和分类争辩的标准．[创新猜测]1．(1)(2022·河南新乡一模)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在全部这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条(2)(2022·吉林一条期末)如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必需涂不同颜色．若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．【解析】(1)利用计数原理结合分类争辩思想求解．当a＝1时，若c＝0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线；若c≠0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×4＝8(条)抛物线；当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线；当c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线．∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线．同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39(条)．由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条)．(2)按区域四步：第一步，A区域有5种颜色可选；其次步，B区域有4种颜色可选；第三步，C区域有3种颜色可选；第四步，D区域也有3种颜色可选．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方法．【答案】(1)B(2)180eq\a\vs4\al(排列、组合问题)【例2】(1)(2022·重庆高考)某次联欢会要支配3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出挨次，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券安排给4个人，每人2张，不同的获奖状况有________种(用数字作答)．【解析】(1)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.(2)不同的获奖分两类，一是有一人获两张奖卷，一人获一张共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36种，二是有三人各获一张奖卷，共有Aeq\o\al(3,4)＝24.因此不同的获奖状况有60种．【答案】(1)B(2)60【规律方法】解排列组合综合应用题的解题流程：[创新猜测]2．(1)(2022·北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．(2)(2021·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【解析】(1)①若A在1号位置则B在2号位置，有Aeq\o\al(3,3)种排法；又A在5号位置与1号位置相同，有Aeq\o\al(3,3)种排法；②若A在2号位置，则B在1号或3号，C在4号或5号，有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝8(种)，又A在4号与2号位置相同有8(种)；③若A在3号位置，则B在2号或4号，C在1号或5号，有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝8(种)，所以共有2×Aeq\o\al(3,3)＋3×8＝12＋24＝36种．(2)有限制条件的排列问题，用间接法求解．0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．【答案】(1)36(2)Beq\a\vs4\al(二项式定理)【例3】(1)(2022·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，(1＋eq\f(x,a))n的开放式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.(2)(2022·浙江考试院抽测)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,\r(3,x))))n的开放式中的常数项是80，则该开放式中的二项式系数之和等于________．【解析】(1)由题图知，a0＝1，a1＝3，a2＝4，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3＝C\o\al(1,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))1，,a2＝4＝C\o\al(2,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝n·\f(1,a)，,4＝\f(nn－1,2a2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝9，,a＝3，))∴a＝3.(2)对于Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3,x))))r＝Ceq\o\al(r,n)2rxeq\f(n－r,2)－eq\f(r,3)，当r＝eq\f(3,5)n时开放式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mCeq\o\al(3m,5m)＝8mCeq\o\al(3m,5m)＝80，因此m＝1，则该开放式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.【答案】(1)3(2)32【规律方法】解答关于二项式定理问题的“五种”方法：(1)待定项或其系数等常规问题通项分析法．(2)系数和差型赋值法．(3)近似问题截项法．(4)整除(或余数)问题开放法．(4)最值问题不等式法．[创新猜测]3．(1)(2022·辽宁五校联考)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n开放式中只有第6项的二项式系数最大，则开放式的常数项是()A．360B．180C．90D．45(2)(2022·郑州第一次质量猜测)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(\r(3),6)))6的开放式的其次项的系数为－eq\r(3)，则eq\i\in(－2,－a,)x2dx的值为()A．3B.eq\f(7,3)C．3或eq\f(7,3)D．3或－eq\f(10,3)【解析】(1)开放式中只有第6项的二项式系数最大，则开放式总共11项，所以n＝10，通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(eq\r(x))10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))r＝Ceq\o\al(r,10)2rx5－eq\f(5,2)r，所以r＝2时，常数项为180.(2)将二项开放式的其次项的系数为Ceq\o\al(1,6)eq\f(\r(3),6)a5，由Ceq\o\al(1,6)eq\f(\r(3),6)·a5＝－eq\r(3)，解得a＝－1，因此eq\i\in(,0,)－2x2dx＝eq\i\in(－2,－1,)x2dx＝eq\f(x3,3)eq\o\al(－1,－2)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(8,3)＝eq\f(7,3).【答案】(1)B(2)B[总结提升]失分盲点1．(1)分类标准不明确，有重复或遗漏．(2)混淆排列问题与组合问题的差异．(3)对于较简单的排列组合问题，不能分成若干个简洁的基本问题后用两种计数原理来解决．2．(1)混淆了开放式中某项的系数与某项的二项式系数的区分．(2)在求开放式的各项系数之和时，忽视了赋值法的应用．(3)在解决整除性问题和余数问题时不能合理地构造二项式．答题指导1．(1)看到排列组合问题，想到排列数和组合数公式及性质，想到解决排列组合问题的主要方法．(2)看到较简单的排列组合问题，想到分成若干个简洁问题后用两种计数原理来解决．2．(1)看到开放式中求二项式系数或项的系数，想到二项开放式的通项，运用方程思想进行求值．(2)看到求开放式的各项系数之和，想到用赋值法来解决．方法规律1．解决排列类问题的主要方法：(1)直接法．(2)特殊元素有限支配法．(3)捆绑法．(4)插空法．(5)分排问题直排处理法．(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．(7)定序问题除序处理法．2．求二项开放式中的项或项的系数的方法：(1)开放式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再依据上述特征进行分析．(2)求二项开放式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围.实际问题中数学模型的建立1．抽象概括力量是数学的思维力量，它是数学力量的核心力量之一，其主要特征是擅长在特殊中发觉一般规律、在一般中发觉差异，能够在不同的问题之间建立联系，找出问题的核心和本质，摆脱次