2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-考前知识点回放39-【知识点回放】

第五部分学问点回放——再看一眼①一、集合与常用规律用语1.元素与集合的关系xAx∁UA,x∁UAxA.2.集合的运算(略)3.(1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2;(2)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.留意:争辩的时候不要遗忘了A=的状况.4.四种命题的相互关系5.充要条件的推断(1)定义法——正、反方向推理;(2)利用集合间的包含关系,例如:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.6.真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假二、函数与导数1.函数定义域的求法:①使函数解析式有意义(如:分母不为零,偶次根式被开方数大于等于零,对数真数大于0、底数大于0且不等于1,零指数幂的底数不为零等);②实际问题有意义.2.函数值域的求法:①直接法;②配方法;③导数法;④利用函数单调性;⑤换元法;⑥利用均值不等式≤≤;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、确定值的意义等);⑧利用函数有界性(ax、sinx、cosx等);⑨判别式法.3.函数的奇偶性(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;(2)f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1;(3)f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1;(4)若奇函数f(x)在原点有定义,则f(0)=0.4.函数的单调性(1)单调性的定义:f(x)在区间M上是增(减)函数⇔∀x1,x2∈M,当x1<x2时,f(x1)-f(x2)<0(>0)⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔>0(<0);(2)单调性的判定方法:①定义法.留意:一般要将式子f(x1)-f(x2)化为几个因式作积或作商的形式,以利于推断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图象法.5.函数的周期性对定义域内的任意x,若有f(x+T)=f(x)(其中T为非零常数),则称函数f(x)为周期函数,T为它的一个周期.全部正周期中最小的称为函数的最小正周期.6.函数图象(1)图象作法:①描点法(留意三角函数的五点作图);②图象变换法;③导数法.(2)图象变换:①平移变换.(ⅰ)y=f(x)→y=f(x±a)(a>0)——左“+”右“-”;(ⅱ)y=f(x)→y=f(x)±k(k>0)——上“+”下“-”.②伸缩变换:(ⅰ)y=f(x)→y=f(ωx)(ω>0)——纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍;(ⅱ)y=f(x)→y=Af(x)(A>0)——横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍.③对称变换:(ⅰ)y=f(x)y=-f(-x);(ⅱ)y=f(x)y=-f(x);(ⅲ)y=f(x)y=f(-x);(ⅳ)y=f(x)y=f-1(x).④翻转变换:(ⅰ)y=f(x)→y=f(|x|)———右不动,右向左翻(删除f(x)在y轴左侧图象);(ⅱ)y=f(x)→y=|f(x)|———上不动,下向上翻(|f(x)|在x轴下面无图象).7.函数y=F(x)=f(x)-g(x)的零点问题(1)y=F(x)的零点(不是点而是数)⇔F(x)=0的根⇔y=F(x)与x轴的交点的横坐标⇔y=f(x),y=g(x)的交点问题.(2)留意争辩周期函数(特殊是三角函数)在某区间内零点个数问题.(3)零点存在定理:y=f(x)单调且区间端点值异号⇒∃x0∈(x1,x2)使f(x0)=0.8.导数(1)导数定义:f(x)在点x0处的导数记作y'=f'(x0)=.(2)常见函数的导数公式:①C'=0;②(xn)'=nxn-1;③(sinx)'=cosx;④(cosx)'=-sinx;⑤(ax)'=axlna;⑥(ex)'=ex;⑦(logax)'=;⑧(lnx)'=.(3)导数的四则运算法则:(u±v)'=u'±v';(uv)'=u'v+uv';'=.(4)导数的应用①利用导数求切线.留意:(ⅰ)所给点是切点吗?(ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线?②利用导数推断函数单调性.(ⅰ)f'(x)>0⇒f(x)是增函数;(ⅱ)f'(x)<0⇒f(x)为减函数;(ⅲ)f'(x)=0⇒f(x)为常数.③用导数求极值.(ⅰ)求导函数f'(x);(ⅱ)求方程f'(x)=0的根;(ⅲ)列表得极值.④用导数求最大值与最小值.(ⅰ)求极值;(ⅱ)求区间端点值(假如有);(ⅲ)比较,得最值.9.恒成立问题恒成立的判定方法:分别参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立⇒a≥[f(x)]max;a≤f(x)恒成立⇒a≤[f(x)]min.三、三角函数与解三角形1.三角函数定义设角α边上任意一点P(x,y),且OP=r,则sinα=,cosα=,tanα=.2.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦.3.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”.4.(1)y=Asin(ωx+φ)对称轴方程:x=;对称中心:(k∈Z).(2)y=Acos(ωx+φ)对称轴方程:x=;对称中心:(k∈Z).5.同角三角函数的基本关系:sin2x+cos2x=1,=tanx.6.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;②cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;③tan(α±β)=.④asinα+bcosα=sin(α+φ).7.二倍角公式:①sin2α=2sinαcosα;②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;③tan2α=.8.正、余弦定理.(1)正弦定理:===2R(2R是△ABC外接圆直径).留意:①a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;②a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;③===.(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC.9.三角变换(1)角的“配”与“凑”:把握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后,还应留意一些配凑变形技巧,例如:2α=α+α,α=2×;α+β=2·等.(2)“降幂”与“升幂”(次的变化):利用二倍角公式cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α和二倍角公式的等价变形sin2α=,cos2α=,可以进行“升”与“降”的变换,即“二次”与“一次”的互化.(3)切化弦(名的变化):利用同角三角函数的基本关系,将不同名的三角函数化成同名的三角函数,以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.(4)引入挂念角:asinα+bcosα==sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=,tanφ=.特殊地,sinA+cosA=sin,sinx+cosx=2sin,sinx+cosx=2sin等.10.已知a,b和A时,判定三角形解的个数.其中h=bsinA,(1)A为锐角时:①a<h时,无解;②a=h时,一解(直角);③h<a<b时,两解(一锐角,一钝角);④a≥b时,一解(一锐角).(2)A为直角或钝角时:①a≤b时,无解;②a>b时,一解(锐角).提示:本专题C级要求包括:两角和(差)的正弦、余弦及正切.四、平面对量1.平面对量基本定理假如e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底.留意:P,A,B三点共线⇔=x+y,且x+y=1.2.a与b的数量积(或内积):a·b=|a||b|cosθ.3.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.4.向量的平行与垂直设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0.a⊥b(a≠0)⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.5.平面对量的坐标运算(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2);(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2);(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2-x1,y2-y1);(4)设a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy);(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.6.两向量的夹角公式cosθ=(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).提示:本专题C级要求包括:平面对量的数量积.五、立体几何1.常用定理:①线面平行:⇒a∥α;⇒a∥α;⇒a∥α.②线线平行:⇒a∥b;⇒a∥b;⇒a∥b;⇒c∥b.③面面平行:⇒α∥β;⇒α∥β;⇒α∥γ.④线线垂直:⇒a⊥b;所成角为90°;⇒a⊥PA.⑤线面垂直:⇒l⊥α;⇒a⊥β.⑥面面垂直:二面角的平面角为90°;⇒α⊥β;⇒α⊥β.2.位置关系的证明(主要方法):立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即:3.表面积与体积公式:(1)柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②体积:V=S底h.(2)锥体:①表面积:S=S侧+S底;②体积:V=S底h.(3)台体:①表面积:S=S侧+S上底+S下底;②体积:V=(S++S')h.(4)球体:①表面积:S=4πR2;②体积:V=πR3.六、直线与圆1.直线方程(1)点斜式:y-y0=k(x-x0);(2)斜截式:y=kx+b;(3)截距式:+=1;(4)两点式:=;(5)一般式:Ax+By+C=0(A,B不全为0).2.求解线性规划问题的步骤:(1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解.3.两条直线的位置关系:直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2k1=k2,b1≠b2k1·k2=-1l1,l2有斜率l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0A1B2=A2B1,且B1C2≠B2C1(验证)A1A2+B1B2=0不行写成分式4.重要公式(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G:;(2)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:d=;(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离:d=.5.圆的方程(1)标准方程:①(x-a)2+(y-b)2=r2;②x2+y2=r2.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).留意:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C≠0且B=0且D2+E2-4F>0.6.点、直线与圆的位置关系(主要把握几何法)(1)点与圆的位置关系点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种.若d=,则d>r⇔点P在圆外;d=r⇔点P在圆上;d<r⇔点P在圆内.(2)直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种:d>r⇔相离⇔Δ<0;d=r⇔相切⇔Δ=0;d<r⇔相交⇔Δ>0.其中d=.(3)两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2=d.d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线;d=r1+r2⇔外切⇔3条公切线;|r1-r2|<d<r1+r2⇔相交⇔2条公切线;d=|r1-r2|⇔内切⇔1条公切线;0<d<|r1-r2|⇔内含⇔无公切线.提示:本专题C级要求包括:直线方程、圆的方程.七、圆锥曲线1.定义(1)椭圆:MF1+MF2=2a(2a>F1F2);(2)双曲线:|MF1-MF2|=2a(2a<F1F2);(3)抛物线:略.2.直线与圆锥曲线问题解法(1)直接法:联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解.留意:①联立的是关于“x”还是关于“y”的一元二次方程?②直线斜率不存在时考虑了吗?③判别式验证了吗?(2)设而不求(代点相减法),处理弦中点问题.步骤如下:①设点A(x1,y1),B(x2,y2);②作差得kAB=;③解决问题.3.求轨迹的常用方法(1)定义法:利用圆锥曲线的定义;(2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);(4)待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法.八、数列1.定义(1)等差数列{an}⇔an+1-an=d(d为常数)⇔2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)⇔an=kn+b⇔Sn=An2+Bn.(2)等比数列{an}⇔=q(q≠0)⇔=an-1·an+1(n≥2,n∈N*)⇔an=cqn(c,q均为不为0的常数)⇔Sn=k-kqn(q≠0,q≠1,k≠0).2.等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1前n项和Sn==na1+d当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==性质①an=am+(n-m)d①an=amqn-m;②当m+n=p+q时,am+an=ap+aq②当m+n=p+q时,aman=apaq③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列④ak,ak+m,ak+2m,…成等差数列,d'=md④ak,ak+m,ak+2m,…成等比数列,q'=qm等差数列特有性质:①项数为2n时:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);S偶-S奇=nd;=.②项数为2n-1时:S2n-1=(2n-1)a中;S奇-S偶=a中;=.③若an=m,am=n(m≠n),则am+n=0;若Sn=m,Sm=n,则Sm+n=-(m+n);若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.3.数列通项的求法(1)归纳法;(2)定义法(利用等差、等比数列的定义);(3)公式法:an=(4)叠乘法;(5)构造法(an+1=kan+b型);(6)迭代法;(7)间接法(例如:an-1-an=4anan-1⇒-=4);(8)作商法(a1a2…an=cn型).留意:当遇到an+1-an-1=d或=q时,要分奇数项、偶数项争辩,结果是分段形式.4.前n项和的求法(1)拆、并、裂项法;(2)倒序相加法;(3)错位相减法.5.等差数列前n项和最值的求法(1)或(2)利用二次函数的图象与性质.提示:本专题C级要求包括:等差数列、等比数列.九、不等式1.比较大小的常用方法(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段推断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)查找中间量与“0”比,与“1”比或放缩法;(8)图象法.2.常用不等式(1)若a,b>0,则≥≥≥(当且仅当a=b时取等号);(2)若a,b,c∈R,则a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时取等号);(3)若a>b>0,m>0,则<(糖水的浓度问题).3.基本不等式的应用(1)一正二定三相等;(2)积定和最小,和定积最大.常用的方法为:拆、凑、平方.提示:本专题C级要求包括:一元二次不等式、基本不等式.十、复数1.概念(1)z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R)⇔z=⇔z2≥0;(2)z=