高考数学难点突破专题训练五：立体几何

2023高考数学难点突破专题训练（5）

立体几何

★热身训练

1.（广东省深圳市高级中学（集团）2022・2023学年高三上学期期末测试数学试题）

如图，棱长为4的正方体A3C£>-，点A在平面a内，平面ASCD与平面a所成的

二面角为30°,则顶点G到平面。的距离的最大值是（）

A.2(2+扬B.2(73C.2(6+1)D.2(72+1)

【解答】解：如图所示，过G作CO_La,垂足为E,

则GE为所求，NAC花=30°，

由题意，设CO=x,则AO=4夜-x,

C,O=Vl6+x2,OE=-OA=2s/2--x,

2

:.ClE=yJ16+x+2x/2--x,

令y=V16+X2+2x/2~~x)

故选：B.

2.（江苏省常州高级中学2022.2023学年高三上学期1月月考数学试题）

（多选题）如图，点。是正四面体P43C底面A8C的中心，过点。且平行于平面的直

线分别交AC,5c于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱R4的延长线相交于点

Q,与棱M的延长线相交于点R,则（）

A.若MN〃平面则AB〃RQ

B.存在点S与直线MN,使PS（PQ+PR）=0

C.存在点S与直线MN,使PC_L平面SR。

1113

D，网+网+网-网

ACD

【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线MN平

行于直线A8,SC=g/>C时，通过线面垂直的判定定理可判断C,由共面向量定理可判断

D.

【解析】对于A,「MN〃平面PA8,平面SMN与棱始的延长线相交于点。，与棱尸8的

延长线相交于点R，

平面SMNc平面PAB=RQ,

又MNu平面SMN,MN”平面PAB,：.MN/，RQ,

.,点。在面4BC上，过点。的直段交4C,BC于点、M,N,，MVu平面ABC,

又MN〃平面PAB,平面ABCC平面以8=/3,MN〃A8,

:.ABHRQ,故A正确：

对于B,设正四面体P—ABC的棱长为。，.•.PS(PQ+PR)=PSPQ+PSPR

=Ips|-|Pc|cos600+1P5|-|P/?|cos600=a2>0,故B错误；

对于C,当直线MN平行于直线48,S为线段PC上靠近C的三等分点，即SC=；PC,此

时PC_L平面SRQ,

以下给出证明：在正四面体中，设各棱长为。，

•.^ABC,NBC,△RAC,△BW均为正三角形，

,,点。为-ABC的中心，MNHAB,

2

•••由正三角形中的性质，易得CN=CM=§a,

在sCNS中，'：CN=-a,SC=-a,ZSCN=-

333t

••・由余弦定理得，SN=J0+(为12.幺即cos&=旦,

VUJI3J3333

2222

/.SC+SN=^a=CNf则SN_LPC,

同理，SM_LPC,又SMrN=S,SMu平面SR。，SNu平面SRQ,

・•.PC_L平面SRQ,••・存在点S与直线MM使PC_L平面SRQ,故C正确;

对于D,设。为6C的中点，则

221

PO=PA+AO=PA+-AD=PA+-(PD-PA)=-(PA+PB+PC)f

PAPB

又",A,。三点共线,APA=PQ,VP,B,R三点共线，，PB=——PR,•:P,

~PQPR

S,C三点共线，・・・PC=——PS,设|阁="，|网=y,|PS|二z,则

PS

\PA附\pc\

PO=1~IpQ+J_IpR+l_IPS，

3x3y3z

•：0,Q,R,S四点共面，・・・画+网+匹1=1

又・・・卜4卜,8卜卜4,

3x3y3z

11111113

,1-----1=ir,-I---1—=1—j

,,3x3y3z网―ryz网，

1113

即同f网+网=网，故口正确•

故选：ACD.

【注意】关键点注意：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空间

向量数量积和共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化能力

与探究能力，属于难题.

3.（江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）2022・2023学年度高三年级第一次调研

测试数学试题）

如图，在四棱锥S—A8CD中，侧面SAD_L底面ABC。，SALAD,且四边形48co为

平行四边形，AB=\,3c=2,Z.ABC=1,SA=3.

（1）求二面角S-CD-A的大小；

⑵点P在线段SO上且满足天=后方，试确定2的值，使得直线期与面PCO所成角最大.

19.(1)连接力C,在△ABC,AB=1,BC=2,

ZABC-^,由余弦定理得ZC=#,所以NA4C-]..................................2分

因为侧面"OJ■底面48CD,illS^DD]^ABCD=AD,SA±AD,

所以-，面以CD,所以S4JLNC.....................................................................4分

法1：以/为原点建立如图所示空间直角坐标系.

则8(1,0,0),C(0,G,0),S(0,0,3),0(TG,0),CD=(-1,0,0),SC=.

设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),

n»CD=0,\x=Q__

叫〃阮二。，得，可取〃=(。㈤)・

易知蔡=(0,0,1)为而48。的法向量................6分

j,C11

所以8，。=丽=布=5・

因为二面角S-CO-/1为锐角，

所以。•即二面角S—CD—力的大小为3............................

法2：因为弘J.血力8c。，所以S4_LCD.

因为四边形力88为平行四边形，所以4cd.cD,

又&ic4C=4,所以8_L面”C,所以CD_LSC.

又面/COc面SC。=CO，所以乙4cs为二面角S-CD-A的平面角..........6分

因为ianN/CS=^=6二面角S-C0-4为锐角，所以g.

即二面角S-C。-/的大小为j.....................................................................8分

(2)设P区,乂,马)，SP=ASDt得区,凹,马-3)=/1(-1,6,-3),

玉=-4,凶=&,4=3-34,所以尸(一2,九3-3/1),所以而=(-4-1,⑨,3-3/1).

...............................................10分

由(1)知平面PCO的法向量为7=(0,0,1).

丽・〃32+3-313

因为cosa=—■—=—/=-

18P|〃|2yJ.+1)2+(8>+(3-3A)22J13万一164+10'

QQ

所以当丸噬时，cosa值最大，即当;I噬时，8尸与平面PCO所成角最大.

................................................12分

4.（江苏省常州高级中学20222023学年高三上学期1月月考数学试题）

如图，空间几何体AOE-8c/中，四边形A8CO是梯形，ABHCD,四边形C力四是矩形,

且平面ABCD1平面CDEF,AD1DC,AB=AD=DE=ZEF=4,M是线段AE上的动点.

（1）试确定点M的位置，使AC，/平面ME万，并说明理由；（7分）

（2）在（1）的条件下,平面户将几何体ADE-BCF分成两部分，求空间几何体M-DEF

与空间儿何体ADM-8C”的体积的比值.（7分）

（1）当M是线段AE的中点时，AC〃平面M/邛，理由见解析：（2）

【分析】（1）由线面平行的性质定理确定M是线段AE的中点，然后根据线面平行的判定定

理证明.

（2）将几何体APE-BC产补成三棱柱，由三棱柱和三棱锥体积得几何体AB-CDb的体积,

再求得三棱锥尸-。历E的体积后可得所求比值.

【解析】（1）当M是线段AE的中点时，AC〃平面凡

证明如下：连接CE交D尸于点N,连接MN,如图，由于M、N分别是AE、CE的中点，

所以MN//4C,又在平面MDF内，且AC不在平面MDF内，所以467/平面MDP.

（2）:四边形CD£尸是矩形，・・・。。_1。区又。。_14。，且4）cZ）£=。，

・・・CDJ_平面ADE.

平面ABC。1平面COE/"平面A8C£>c平面。£>律=。0，AZ）u平面A8CO,AD1CD,

所以ADJL平面又OEu平面8£尸，所以AO_LOE,

将几何体ADE-4（不补成三棱柱3'C/,

三棱柱尸的体积丫=SmEC£>=3x2x2x4=8，

则几何体ADE-8b的体积匕=V-VB.^CF=8-1xf|x2x2Jx（4-2）=y,

又三棱锥产一OEM的体积匕=（x（；x2x2x；［x4=；.

D\乙乙）D

44、1

:.空间几何体M-DEF与空间几何体ADM-BCF的体积的比为不［1-§J=［

★高考引领

【试题出处】2022年高考数学全国甲卷文科第19题

【试题】

小明同学参加综合实践活动，设计了一个

封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面4BCD

是边长为8（单位：cm）的正方形，AEAB,

△FBC,AGCD,△HOA均为正三角形，且它

们所在的平面都与平面ABCI）垂直.

（1）证明：EF〃平面4BCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的

厚度）.

【试题分析】

考查目标试题的情境源于生活中的求喜糖包装盒容积的问题，依

据课程标准要求，将其设计为求“不规则”几何体的体积计算问题.试

题考查棱锥、直四棱柱等空间几何体的基本概念,考查不规则几何体的

割补方法，考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

等基础知识和基本方法.试题重点考查考生的空间想象能力、逻辑推理

能力和运算求解能力，以及应用所学知识分析问题和解决问题的能力.

解题思路求解不规则几何体的体积时，如果几何体是组合体，_

股将其分解为若干个“球、柱、锥、台”的体积的和或差，从而将不规

则几何体转化为常见的简单几何体的形式，再运用常见几何体的体积公

式就能求出结果.

(1)设48,8C的中点分别为£，，尸，可得平面48C。，

平面48CD,且££=F尸，从而££'尸产为矩形，所以£/〃£，尸，因此

£F〃平面ABCD.

(2)思路1点E.£G,，到平面48co的距离都为46，且平面

EFGH〃平面ABCD.故该包装盒可由底面边长为8,高为4右的正四棱柱

ABCD-A.B^D,截去四个体积相等的三棱锥B-B、EF,

C-GFC,得到.且£,F.c.〃分别为正四棱柱上底面各棱的

中点.

思路2设48,BC,CD,"的中点分别为9，C,点

E,F,C,，到平面4BC。的距离都为4旺，且平面)6〃〃平面48CD.

故该包装盒可由底面边长为4&,高为48的正四棱柱，£/G-/TE'尸G'

和四个体积相等的四棱锥4-HEE夕，B-EFFE,C-FGG下,D-

CHH'C'组合得到.

试题亮点试题落实立德树人根本任务，从引导学生德智体美劳全

面发展的角度，以劳动实践中的实际问题出发，以考生熟悉的正四棱柱

和棱锥的组合体为载体，设计了空间直线与平面的位置关系和平面与平

面的位置关系的证明问题及计算问题.考生对试题中的空间图形会有似

曾相识的感觉，贴近广大考生的学习实际.试题给出的信息量是多样的，

给不同基础的考生提供了想象的空间和多维度的思维平台，同时为考生

分析问题和解决问题提供了发挥能力水平的空间.试题在全面考查考生

对立体几何基础知识理解与掌握的同时，着重考查了考生的化归与转化

思想.试题重基础、重应用、重能力，体现出较好的区分度和选拔功能，

对中学数学教学有积极的引导作用和很好的指导意义.

【参考答案】

（1）设A8,8C'的中点分别为F,连结印,”,由题

设可知EE'J.平面A8CD,尸尸平面48C0,且££'=尸尸=4吁，故

EE'FF为矩形,所以EF〃E'F',因此"'〃平面48co.

（2）解法1由题设和（1）可知，点&尸，

G,H到平面4BCD的距离都为4万，且平面

EFC"〃平面4BCD故该包装盒可由底面边长

为8,高为4#的正四棱柱ABCD-4&G，截

去四个体积相等的三棱锥4-4”/,

C-C.FG,0-，GH得到，且E,凡C,H分

别为正四棱柱上底面各楼的中点，如图所示.

正四校柱的体积Vo=8x8x473=256/3.

三棱锥A-AtEH的体积匕=Jx；x4x4x4G=差3.

因此该包装盒的容积为匕-4匕二等目（cm、）.

解法2设4兄BC,C。，%的中点分别

为守，尸,G,F,由题设和（1）可知，点

E,F,G,，到平面48C。的距离都为46,且

平面EFGH〃平面故该包装盒可由底

面边长为4&,高为4邛的正四棱柱H£FC-

和四个体积相等的四棱锥A-HEEH,

R-EFFE,C-FGG'F'、。一C〃H'C'组合得到.

正四棱柱，EFG-H£FC的体积%=4&x4含x44=128。.

四棱锥A-〃££'，'的体积匕=：X47JX4〃X2&=¥.

因此该包装盒的容积为匕+4匕=竺等（cm'）.

【试题出处】2022年高考数学全国甲卷理科第18题

【试题】

在四棱锥中底面CD//AB、AD=DC=CB=l

4B=2,DP=73.

（1）证明：BD1PA；

（2）求PD与平面P4B所成的角的正弦值.

【试题分析】

考查目标试题以底面为等腰梯形的四棱锥为载体，通过确定两真

线的位置关系和计算荏线与平面所成角的正弦值.号行菅生的空间想象

能力、花辑推理能力、运算求解能力，以及综合应用知识分析问题解决

问题的能力,试题第（1）问难度不大,考生具备一定的空间想象能力和

逻辑推理能力即可得证.证明的美健是发现是在角三角形试题

第（2）向设计为求宜线与平面所成角的正弦值该问题的求解方法基础

且多样，既可以通过向量法求解，也可以通过综合法求解，为不同思维

水平的考生提供了充分展示的空间•

解题思路（1）根据已知条件可得80,尸"注意到四边形48CD是

等腰梯形，容易得到乙。48二60。.利用余弦定理和勾股定理'发现

△480是直角三角形，从而得到由此可得80,平面P40,于

是BDLPA.

（2）思路］用向量法求解.由题设及第（1）问得直线08,0P

两两垂直，因此自然以。为坐标原点，以笳的方向为“轴正方向，建

立空间直角坐标系0—qz,于是加=（0,0,73）,运用向量法求与

平面PAB所成角的正弦值，只需要求出平面PAB的一个法向量即可•

思路2用综合法求解.求P0与平面P4B所成角的正弦值，关键是

求出0到平面PAB的距离.由题设及第（1）问可得三棱锥P-ABD的体

积为:，利用等体积法，问题转化为求△PHB的面积•

思路3用综合法求解.求PD与平面以8所成的角的正弦值，只需

找出过。点且与平面山8垂直的直线即可・作。垂足为心连

接PE,作。尸，4E,垂足为F,得到。平面P48,则40P尸即为P。

与平面R4B所成的角.

试题亮点试题以底面为等腰梯形的四棱锥为载体，通过四棱锥的

各顶点设计空间两条直线之间位置关系的证明问题和直线与平面所成角

的计算问题.试题简洁清晰，解题思路多样，给不同基础的考生提供了

广阔的想象空间和分析问题解决问题的多维度平台.试题在全面考查立

体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化思想方法的理解

与掌握•试题准确把握教材要求，将向量运算以及直线与平面所成角的

构建等知识进行了很好的融合，使考生的空间想象能力、逻辑推理能力

得到了有效考查.试题重基础、重能力，符合广大考生的学习实际.

【参考答案)

(1)由题设得4以8=60。.在△.48°中，由余弦定理得8°=丫3，又

因为43=2,31,从而44=4。+3。,故BDL4D.

因为底面48co.所以BD上PD,故BD工

平面PA0.因为P4U平面。肛所以8。1尸4人

(2)解法1由题设及第(1)问得。I,见DP

两两垂宜.以。为坐标原点•面的方向为x轴正/;

方向,建立如图所示的空间宜角坐标系。-4产.则/：\\

〃(0,0,0),A(1,0,0).B(0,G,0).

P(0,0,&)./M=(1,0,一门),诃=(0.73.-万)，而=(0.0.

73).

设平面PAH的法向fit"=(x,y.z),则

tn・"4=0,[x-^3z=Q,

一即可取

In-PB=0.lV3y-y3z=O.

n=(V3.1.1).

因为co«〈/i,而〉="嵋=£所以

Ini­\DP\5

PD与平面PAB所成角的正弦值为号.

解法2由题设及第(1)问得三棱锥尸-48。的体积为V=jxyxlx

yjxyj=—.

又48=2,PA=5/D45+DPr=2,PB=jDB、DP^=R,所以

AB2^PA2-PB2

cosZ.PAB-sinLPAB=

2XABXPA4

设点D到平面PAB的距离为乙则Y=；x；x2x2x孚xd=

,V15.1.7f5

由丁d=7，得m＜/=二--

oZJ

因此PO与平面P.48所成角的正弦值为葛:g.

解法3如图所示,作D£_M8,垂足为&连接尸£因为POJ■底

面48CO,所以POL4B.故.4B_L平面

作DF_LPE.垂足为广.因为,481.平面尸。£,DFU平面PDE,所以

DF1AB.

因为ABnPE=£,所以。尸J.平面PA8.因此

乙DPF即为PD与平面PAB所成的角.

因为;x.48xOE=；x〃Ax/)B,所以。£=g.

故PE=JD£+〃尸=半.

因此P〃与平面加所成角的正弦值为春与

【试题出处】2022年高考数学全国乙卷文科第12题

【试题】

已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为°，底面的四个顶点均在球。

的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为

【试题分析】

考查目标球与四棱锥是学生比较熟悉的几何体，试题巧妙地将两

者结合在一起，考查球和四棱锥的基本概念、四棱锥体积的计算等基础

知识.试题的解决,首先要求考生具有较强的空间想象能力，在此基础

上.将四棱锥的体积表示为高的函数.解题的关键在于，考生能想到四

棱锥的体积最大时的棱锥一定是正四棱锥,这就对考生的化归与转化、

逻辑推理等方面的能力提出了较高的要求.试题有效地考查考生的理性

思维、数学探索等数学学科索养，考查考生的空间想象、运算求解、逻

辑思维等方面的关键能力.考生在得到了正四棱锥体积的表达式后，可

利用导数得到结果.

解题思路

思路1四棱锥底面与球面所截得的小圆的圆心记为其半径记

为，，球心0到四棱锥底面的距离记为人则

八*=1.

由于四棱锥底面是圆a内接四边形，因此若给定。，的半径为小则

底面为正方形时其面积最大，最大值为2，，此时四棱锥的体积为

1o

92r2•A=—(1-A2)A.

，3

由于H(6)q(l-3〃)，当0"<与时，r(A)>0；鳄“<1时,

r(/»)<o,所以当/»=g时,『(/，)取得最大值，故当该四棱锥的体积达

到最大时，其高为亨，即正确选项为c

也可以利用均值不等式得到结论：

22253

,.,222/1-//+I—/l+2//\/2\

2(1-/T)咪•=(”/)(1-/J)・2〃w(-------------------)=(1),

当且仅当好=!时，等号成立，故人=,时，了(力)取得最大值•

思路2在给定小留外的半径「时.当四棱锥的底面为正方形时，

其面积达到最大，最大值为2」.此时四棱锥的体积为

V(h)=y-2r2«h=-r271-r2=y/r4-r6.

令/(「)=/-/,则广⑺=2r“2-3J),易得「二半时，/")取得最大

值,此时A=故当此四棱锥的体积达到最大时，其高为g.即正确

选项为C.

试题亮点试题考杳的是球和四棱锥方面的基础知识，题目设计简

洁.可以有效考查考生诸多方面的学科素养和关键能力，具行定的创

新性.

(1)试题设计的情境是考生熟悉的，问题设计自然、合理.是在实

际应用中考生常遇到的问题.这一方面体现「数学之美,具有较好的美

育价值；另一方面体现r数学之用，仃效地号行了多生的数学学科素养

和关谊能力.试题对高号在:加强教号衔接、体现德狎体美劳全血发展等

方面进行了有益的之试.

(2)试题探究的问题是四棱锥的体枳何时达到最大.求几何体的体

积及讨论体积的最大值是数学教学中常见的问题.但试题要求考生先要

将求四棱锥体积的最大值问题转化为求正四棱锥体积的最大值问题，这

就要求考生能分析、提炼及转化问题，并善于寻找合理的解题思路.上

述解题过程对考生的逻辑推理能力提出了较高要求,试题具有一定的创

新性和开放性，达到了通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才的目的•

(3)试题的解决需要用到导数或不等式等多方面的知识，但问题解

决过程中所用知识和方法又很基础，充分体现了基础性、综合性、应用

性、创新性的考查要求.试题是严谨的，解决方法是灵活的，既体现了

高考的选拔功能,又能够很好地引导高中数学的教学改革，真正实现了

高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能•

【试题出处】2022年高考数学全国乙卷文科第18题

【试题】如图，四面体ABCD中，4D1

CD,AD=CD,4ADB=乙BDC、E为4C的

中点.

(1)证明：平面平面4C0；

(2)设48=80=2,乙ACB=60。，点F在

月。上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥产-ABC的体积.

【试题分析】

考查目标试题以考生熟悉的四面体为载体，考查空间平面与平面

的位置关系、三棱锥的体积等立体几何的基本知识和基本思想方法.试

题重点考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力以及综

合运用所学知识分析问题解决问题的能力.

解题思路(1)证明两个平面垂直的关键是证明一个平面中的一条

直线垂直于另一个平面.观察试题所给的图形发现，可以尝试证明心

平面成。或证明平面4CO.由4O=C0和£为AC的中点可得DE±

AC,从而可以尝试证明4C_L平面月初Z由此发现，仅需继续证明〃七工

4C,其等价于8c=84此时利用已知条件容易得到结论

（2）第（2）问的解题难点在于确定动点尸的位置,使得△4FC的面

积最小.在中，只有边4C是固定的，所以可以考虑AC边上高的

最小值.由两个途径可以得到4。边上的高为尸及一是由4408=

乙BDC.AD=CD,DF=DF,得AFDA^AFDC,因此样二尸C.于是尸£

1AC；二是由（1）知4cl平面班:。.故FE14C.即所为△4FC的高.

当£尸18。时，△MC的面积最小.此时尸的位置确定，接下来只需在

静态的图形中计算AAFC的面积.要求三棱锥尸-A8C的体积,需要找

到一个底面以及相应的商，有以下两种思路.

思路1由（1）知4CJ•平面"£〃，所以乂EF工BD,故

8DJ.平面4FC,从而打“平面6C.故可以把求三校推F-4BC的体积

转化为求△从尸C的面积和BF.

由题设及⑴得心BC32,DE=^AC=l,DE'BE'DB'所

UDE1BE,从而可得EF】.又BF=JBE*V，故三棱锥~

ABC的体积

思路2由题设及（1）得心8c=48=2,DE.AC=1.DE'+BE2=

DB\所以DEd.BE,从而发现。£_L平面48c.于是,平面。£8JL平面

ABC.过点尸作8E的垂线，垂足为K,则尸K是三棱锥尸-4雨的布

故可以把求三棱锥产-48C的体积转化为求△48C的面积和高PX.由

EF=y,8尸匚可得内二；31/8。£=?.故三棱锥〜

ABC的体积

试题亮点空间点、直线、平面之间的位置关系，直线与平面所成

的角、平面与平面所成的二面角等内容是立体儿何的重要内容，也是高

中数学的必备知识.试题以四面体为载体，利用棱的中点构造新的平面，

这些都是考生熟悉的情境，很容易上手，也有利于考生正常发挥・试题

的第（1）问“平易近人”，没有设置过多的思维障碍，基本功较好的考生

都能轻松解答.试题的第（2）问设计精巧又不落俗套，通过设置动点匕

让图形产生变化.条件“△?1产，的面积最小”设置新颖，让考生感觉既

熟悉又陌生，该问和理科卷要求不同，体现了文理科的差异性・解题时

考生可通过建立空间直角坐标系，运用空间向量的基本方法求得C尸与

平面48。所成角的正弦值.合理建立空间直角坐标系，以及正确运用空

间向量求二面角正弦值的思想方法是对第（2）问考查的基本要求•第（2）

问还给思维能力强的学生预留了快捷的解题通道，即完全可以不建立空

间直角坐标系,通过直接作垂线轻松解决.试题让不同水平的考生都能

在学有所得的同时，通过不同解法对其思维层次进行有效的区分.

试题贴近广大考生的学习实际，给不同基础的考生提供了想象的空间

和多维度的解题思路，同时考查了考生分析问题和解决问题的能力,试题

在全面考查考生立体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化

思想方法的理解与掌握，考查了思维的创新性.试题准确把握课程标准，

把直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科素养较好地融入试题的

第（1）问和第（2）问中•试题具有较好的选拔功能，突出对考生综合、灵活

运用知识来解决问题的能力的考查，对中学数学教学有积极的引导作用.

【参考答案】

（1）由题设知，乙ADB=CBDC,AD=CDtBD=BD,故=

△80C,因此R4=8C.于是BELAC.

又由题设知0£_L4C,故4C_L平面BE。，所以平面8E0J,平面4co.

（2）解法1由题设及（1）得4c=8C=4B=

2,DE=y4C=1.DE'BE2=DB2,所以DE

1BE.

连结£F.由（1）得4CJ_£F,故△力/C的

面积为gx4CxE/.当△4FC的面积最小时，EF1BD,此时初

由（1）得4CJLS。，所以8夕_1_平面4。尸.又BF=JBE-EP=',故

三棱锥尸-48C的体积

=

匕r-械%,oF"4G=-3X2—x2x—2X2-=—4.

所以当AAFC的面积最小时，三棱锥F-ABC的体积匕3.

解法2由题设及（1）得4c'=8C=A8=2,D£=j4C=1,DE、BE2;

DB2,所以DE18E.从而OE_L平面48c.于是平面OEB1,平面48c.

过点F作BE的垂线，垂足为&则FK是三棱锥尸-48c的高线.

由EF=g~,BF=JBEJEF2=2,可得FK=：sin乙BDE二义.故三棱

/224

锥尸-48C的体积

1/11-/T36

^-.w=jxjx2xy3x-=y

【试题出处】2022年高考数学全国乙卷理科第18题

【试题】

如图.四面体.48。。中,AD1CD,AD=CD,

乙ADB=乙BDC,£为4c的中点.

(1)证明：平面8E01平面4C。；

(2)设.43=80=2,乙4C8=60。，点〃在8。/

上.当△."C的面积最小时,求C尸与平面48。所成的角的正弦值.

【试题分析】

考查目标试题以考生熟悉的四面体为载体，考查与空间直线与平

面、平面与平面的位置关系有关的基础知识和基本方法・试题重点考查

考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，以及综合运用所

学知识分析问题解决问题的能力・

解题思路

(1)证明两个平面垂直的关键是证明一个平面中的一条直线垂直于

另一个平面.观察试题所给图形发现，可以尝试证明4c,平面或

证明8E_L平面4C0.由=和£为4C的中点，可得。口4C,从而

可以尝试证明4cl平面BED由此发现仅需继续证明其等价

于BC=BA.此时利用已知条件可以得到结论.

(2)解答第(2)问的难点在于确定动点/的位置.使得AMFC的面

积最小•中只有边4c是固定的，所以可以考虑边4C上高的最小

值・有两个途径可以得到边4C上的高为尸氏一是由乙408=

40=CD.DF=DF、得△FD4二△/、”：，因此£4=FC.于是有rEJ.4C

二是由(1)知4cl.平面8E0,故尸E14C,即PE为的高，从而当

£/上80时，△4FC的面积最小.此时尸的位置确定，接下来只需在静

态的图形中进行计算•要求C尸与平面43。所成的角的正弦值，有以下

两种思路.

思路1采用建立空间直角坐标系的方

法，求向量c户与平面48。的法向量的夹角.

而建立空间宜角坐标系的关键是找到垂宜关

系，由(1)知，平面所以可以联

想0E和8E是否垂直，利用题设中给出的条

件，很容易得到于是以E为原点，

成的方向为方轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-%广，则

A(1,0,0),8(0,",0),C(-1,0,0),。(0,0,1),

《。,》和丽=(仇-、行，1)，加=(1,0,-1),叫1,号,1).

可取"=(3,73,3)为平面48。的一个法向量，从而计算得CF与平面

ABD所成的角的正弦值为竽.

思路2不建立空间直角坐标系，找到一个过点C且和平面A8。垂

直的平面，从而过点C作该平面和平面48。交线的垂线，可得CP与平

面ABO所成的角,由(1)知ACJ.平面所以ACJ.8O,又EF工81)

故8O_L平面AFC,从而平面480,平面4FC过点C作/的垂线，垂

足为K,则乙CFK是C尸与平面480所成的角.

在MFC机时因名心=2,从而很容易计算得“与平面

ABD所成的角的正弦值为亍・

试题亮点直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成

的角.平面与平面所成的二面角等都是立体几何的重要学习内容・试题

以四面体为载体，利用中点构造新的平面，这些都是考生熟悉的情境，

有利于考生发挥自己的水平•

试期第（1）问没有设置过多的思维障碍,基本功较好的考生都能轻

松解答.试题第（2）间的设计精巧又不落俗套，通过设置动点,，让图形

产生变化.其中，条件“△4FC的面积最小”设置新颖，让考生产生既

熟悉又陌生的感觉.该问可通过建立空间直角坐标系，运用空间向盘的

方法求得CF与平面ABD所成的角的正弦值•合理建立空间直角坐标系，

以及正确运用空间向量求二面角正弦值的思想方法是对第（2）问考查的

基本要求.第（2）问还为思维能力强的考生预留了快捷的解题通道•考

生完全可以不建立空间直角坐标系，直接通过作垂线即可轻松求解・试

题在让不同水平的考生都能学有所得的同时，通过建立空间直角坐标和

不建立空间直角坐标系的解法对考生的思维层次进行了有效的区分•

试题贴近广大考生的学习实际，和中学教学有很好的衔接，给不同

基础的考生提供了想象的空间和多维度的思维平台.试题在全面考查立

体几何基础知识的同时，着重考查了考生对化归与转化思想的掌握，考

查了考生思维的创新性，以及综合、灵活运用知识来解决问题能力.试

题具有较好的选拔功能，对中学数学教学有积极的引导作用和很好的指

导意义.

【参考答案】

（1）由题设知乙480C,AD=CD,BD=BD,故色BDA用

△8DC,因此R4=8C.于是BEUC.

又由题设知。故AC_L平面BED.所以平面HEO,平面力c〃.

（2）解法1由题设及（1）得===4c=iDE2+

BE2=DB\所以DE上BE.

以£为坐标原点，£4的方向为*轴正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系£-三，贝0,0）,8（0,8,0）,C（-1,00）

。（0.0,1）,而=（o,-yj,1）,加=（］,0,-1）.

连结EF,由⑴得4人££故△/1尸C的面积为当的

面版4对,EF1BD,则斯喙电,巨,3173）

设〃二（4,九z）为平面ABD的法向

&.则

n・丽=0,

_>/Jy+z=0,

n・D4=0.x-z=O,

取〃二(3,3、3).

n­CF473

所以cos(n,CF)=

Ini-ICFI

4g

因此CF与平面ABD所成的角的正弦值为、一.

解法2由题设及（1）得4c=8C=48=2,DE=）

y4C=i,DE\BE'=DB2,mDELBE./'

连结££由（1）得4CJ_£尸，故△4FC的面积夕一

为;xACxEF.当△?!”的面积最小时，EF1BD,此时窗=当.

由（1）知4CJ.B。，又EFLBD,故8。上平面AFC,从而平面48。_L

平面4FC过点C作4尸的垂线，垂足为K,则4CFK是C尸与平面48。

所成的角.

在△?!/%：中，F4=FC=y,AC=2t可得sin乙CE4:竽.所以CF

与平面ABD所成的角的正弦值为4）J3一.

【试题出处】2022年高考数学全国I卷第8题

【试题】

已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面卜

若该球的体

积为36%且3BW3Q,则该正四梭锥体枳的取值范围是

A3]B咔4°

[18,27]

【试题分析】

考查目标试题以考生熟悉的四棱锥和球为背景，固定球的体积,

让球的内接正四棱锥的侧棱长在一定范围内变动，要求计算该正四棱锥

体积的取值范围.试题考查四棱锥的基础知识，考查考生的空间想象、

逻辑推理、运算求解等关键能力，考查考生理性思维、数学探索等数学

学科素养，符合基础性、综合性、创新性的考查要求•

解题思路设正四棱锥P-48C。的顶点在球。的球面上•由题意

可得球0的半径为3.顶点尸在底面48co上的投影是该正方形的中心，

设为E.在P,A,。所在的大圆中，有PA』E-2PO=6PEt故PE=

二从而

O

AE=JPQ-PW="3:二?

因此==处写二四棱锥夕-48。。的

372

体积

1,“r(36--)

V=—XAB2XPE=~—.

3182

令/(#)=/(36r),xe[9,27],则片华,/'")=3#(24r).

1O

当9<x<24时，/(G单调递增；当24<%<27时.

/(N)单调递减.故/(#)3=/(24)=24"12,/(x)^=min|/(9),

/(27)|=/(9)=92X27.于是\二^^二]，匕加=-^~=7・所以

177641

j.jj.故正确选项为C.

试题亮点棱锥和球是中学课程的必修内容•成题的正确运算必须

基于空间想象，同时还必须依靠严密的逻辑推理，才能发现空间几何体

中相关量之间的关系，进而完成对问题的求解,试题在考杳立体几何基

础知识、基本方法的同时，侧重考查考生的构图能力、空间想象能力、

逻辑推理能力和运算求解能力.考生必须通过观察、分析、想象、判断、

计算等思维过程才能求解,这充分体现了考生的数学学科素养.试题设

计面向全体考生，突出对考生综合、灵活运用知识来解决问题能力的考

查，具有较好的选拔功能,实现了“服务选才、引导教学”这一高考核

心功能.

本题题源是教材习题，改编自2016年江苏高考第17题c

教材习题求函数y=sin?6cos®的最大值。

试题修改对教材习题进行处理:，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理

方向：①处理成侧棱长为1,高线长未知的正四棱锥的体积；②处理成母线长为

1,高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为1”、

“母线长为1”均改为“长为

(1)按处理方向①处理，形成1稿.

1稿已知一正四棱锥P—AgCQ的高为PO1,侧棱长为a(a>0),记

幺股=6(0<。<,，求其体积V的最大值及此时股的长。

32

提示：V=—asin^cos^,P0x=acos0

2稿现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥

P-AB£DI，其侧棱长为a(a>0),其底面正方形的中心为01,下部分形状为正四

棱柱A8CO-A8cA，其底面正方形的中心为0,要求正四棱柱的高00是正四棱

锥的高POi的女(女>0)倍，求仓库容积丫最大时尸01的长.

2稿分析：记幺股则椅=1+22)八万26cos6;注意到

4/)„2/)1•，C•，八一2八/1/sin2夕+sin26+2cos,。-4

(sin夕cos夕)=sin^cos6=—sin-^sin~^-2cos-<—(---------------------)=—

22V3727

,当且仅当s/euZcOS2。，即cos。=立时，等号成立；

3

..V4桂彳+2幻/=等.（|+2幻/,pO|=acos6=ga.2016年江苏高考第17

题为2稿的特例（高考题为〃=6次=4的情况，=2石,V4416后）

（2）按处理方向②处理，形成问题变式.

变式现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为P,底面圆

圆心为Oi的圆锥，其母线长为。（a>0）,下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥

的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为O,要求圆柱的高OQ是圆锥的高

P。］的％（A>0）倍，求仓库容积V最大时尸。1的长.

注：该例为笔者文章“［2］例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考