【名师一号】2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练10(第二章)

双基限时练(十)1．双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)－eq\f(x2,4)＝1答案B2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相互垂直，那么该双曲线的离心率为()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)答案C3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形肯定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析由题意知eq\f(a2＋b2,a2)·eq\f(m2－b2,m2)＝1，化简得a2＋b2＝m2∴以a，b，m为边长的三角形为直角三角形．答案B4．若0<k<a2，则双曲线eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1与eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有()A．相同的实轴 B．相同的虚轴C．相同的焦点 D．相同的渐近线答案C5．双曲线与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1有相同的焦点，且离心率为eq\r(2)，则双曲线方程为()A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24答案D6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(4,3)x，则双曲线的离心率为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(5,4) D.eq\f(3,2)答案A7．以椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为________．答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝18．双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为________．解析由题意知a＝2，当焦点在x轴上时，有eq\f(b,a)＝2∴b＝4，双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1；当焦点在y轴上时，有eq\f(a,b)＝2∴b＝1，双曲线方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,4)－x2＝19．若双曲线eq\f(x2,k＋4)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率为2，则k的值为________．解析∵eq\f(x2,k＋4)＋eq\f(y2,9)＝1是双曲线，∴k＋4＜0，k＜－4.∴a2＝9，b2＝－(k＋4)．∴c2＝a2＋b2＝5－k.∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5－k),3)＝2.∴5－k＝36，k＝－31.答案－3110．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为eq\f(5,4)；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x.解(1)设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴标准方程为eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1，或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.(2)当焦点在x轴上时，由eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，且a＝3，∴b＝eq\f(9,2).∴所求双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(4y2,81)＝1；当焦点在y轴上时，由eq\f(a,b)＝eq\f(3,2)，且a＝3，∴b＝2.∴所求双曲线方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.11．已知双曲线的一条渐近线为x＋eq\r(3)y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．解椭圆方程可化为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1，可知椭圆的焦距2c＝8eq\r(3).①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(b,a)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝12.))∴双曲线方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1.②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(a,b)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝36.))∴双曲线方程为eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.由①②知，双曲线的标准方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.12．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，且△PF1F2的面积为2eq\r(3)，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程．解设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．在△PF1F2得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·coseq\f(π,3)＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF又∵S△PF1F2＝2eq\r(3)，