【优化方案】2020-2021学年高一下学期数学(必修3)第二章2.3课时作业

[学业水平训练]1．(2022·张掖高一检测)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成果；③某人每日吸烟量和其身体健康状况；④立方体的棱长和体积；⑤汽车的重量和行驶100千米的耗油量．其中两个变量成正相关的是()A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤解析：选C.①是负相关；②是正相关；③是负相关；④是函数关系，不是相关关系；⑤是正相关．2．(2022·滨州质检)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若全部样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1 B．0C.eq\f(1,2) D．1解析：选D.由于全部的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，回归系数eq\o(b,\s\up6(^))()A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：选C.当eq\o(b,\s\up6(^))＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但eq\o(b,\s\up6(^))能大于0，也能小于0.4．(2021·高考湖北卷) 四名同学依据各自的样本数据争辩变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：()①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中确定不正确的结论的序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.由正负相关性的定义知①④确定不正确．5．设某高校的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，依据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若该高校某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该高校某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析：选D.当x＝170时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估量值为58.79kg，故D不正确．6．已知一个回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，则y＝________．解析：由于x＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x，y)，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.57．(2022·烟台调研)某单位为了制定节能的目标，先调查了用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机抽取了4天的用电量与当地气温，并制作了对比表：x181310－1y24343864由表中数据，得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，当气温为－5℃时，猜想用电量为________度．解析：由表中数据计算可得eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝40，∵回归方程确定过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴代入回归方程，得eq\o(a,\s\up6(^))＝60，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60.当x＝－5时，代入回归方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝70.答案：708．对某台机器购置后的运营年限x(x＝1，2，3，…)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10.47－1.3x，估量该台机器使用________年最合算．解析：只要估量利润不为负数，使用该机器就算合算，即eq\o(y,\s\up6(^))≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：89．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；(2)估量在今后的销售中，销量与单价照旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－eq\f(33,4))2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．(2021·高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.,(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)推断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，猜想该家庭的月储蓄.,附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)),，其中eq\o(x,\s\up6(－)),，eq\o(y,\s\up6(－))为样本平均值，线性回归方程也可写为eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x=eq\o(a,\s\up6(^)).解：（1）由题意知n＝10，x－,,n,＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，y－,＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又lxx＝eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)＝neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，lxy＝eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝y－,－bx－,＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以猜想该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．[高考水平训练]1．回归直线方程的系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是最小二乘法估量中使函数Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))取得最小函数值时所满足的条件，其中Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))的表达式是()A.(yi-eq\o(a,\s\up6(^))-eq\o(b,\s\up6(^))xi)2 B.|yi-eq\o(a,\s\up6(^))-eq\o(b,\s\up6(^))xi|2C.(yi-eq\o(a,\s\up6(^))-eq\o(b,\s\up6(^))xi)2 D.|yi-eq\o(a,\s\up6(^))-eq\o(b,\s\up6(^))xi|2解析：选A.用最小二乘法确定两变量之间的线性回归方程的思想，即求a，b使n个样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）与直线y＝a＋bx的“距离”的平方和最小，即使得Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))＝(y1-eq\o(a,\s\up6(^))-eq\o(b,\s\up6(^))x1)2＋(y2-eq\o(a,\s\up6(^))-eq\o(b,\s\up6(^))x2)2＋……(yn-eq\o(a,\s\up6(^))-eq\o(b,\s\up6(^))xn)＝(yi-eq\o(a,\s\up6(^))-eq\o(b,\s\up6(^))xi)2达到最小，故选A.2．(2022·江西重点中学盟校其次次联考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发觉表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．解析：由已知可计算求出eq\o(x,\s\up6(－))＝30，而回归直线方程必过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，则eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则eq\f(a＋62＋75＋81＋89,5)＝75，计算得a＝68.答案：683．近年来，我国高等训练事业有了快速进展，为了解某省从2000年到2022年18岁到24岁的青年人每年考入高校的人数，我们把农村、县镇和城市分别标记为一组、二组、三组分开统计．为了便于计算，把2000年编号为0，2001年编号为1，…，2022年编号为15，假如把年份从0到15作为自变量进行回归分析，可得三个回归方程：农村：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.42x＋1.80；县镇：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72；城市：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.84x＋9.50(y的单位是万)．则下列说法中正确的是________．(把你认为正确说法的序号填上)①三个组的两个变量都是正相关关系；②对于县镇组而言，每年考入高校的人数约是上一年的2.32倍；③在这一阶段，城市组的高校入学人数增长最快；④0.42表示农村青年考入高校的人数以每年约4200人递增．解析：①由于三个组的线性回归方程中x的系数均为正数，故三个组的两个变量都是正相关关系，故①正确；②中县镇组的线性回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72的意义是县镇考入高校的人数每年大约比上一年增加23200人，故②不正确，由此可推知④正确；由于三个组的线性回归方程中，城市所对应的方程的x的系数最大，表示城市入学人数增加得最快，故③正确．答案：①③④4．2021年11月29日，据国家统计局公布：今年全国粮食总产量为60193.5万吨，比去年增长2.1%，实现10年连续增产．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20092010201120222021需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)利用(1)中所求出的直线方程猜想该地2022年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量y与年份x之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：年份－2011－2－1012需求量－257－21－1101929由预处理后的数据，简洁算得eq\o(x,\s\up6(－))＝0，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.2，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(（－2）×（－21）＋（－1）×（－11）＋1×19＋2×29,（－2）2＋（－1）2＋12＋22)＝eq\f(130,10)＝13