多元复合函数的微分法

多元复合函数的微分法一、多元复合函数的求导法则复合函数的中间变量均为同一自变量的一元函数的情形1.设函数z=f(u,v)，其中u=[φ（t）,v=ψ（t）]，即构成复合函数z=f[φ（t）,ψ（t）]，其变量相互依赖关系如图8-11所示.图8-11一、多元复合函数的求导法则

如果函数u=φ(t)及v=ψ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点u,v具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]在点t可导,且有定理1一、多元复合函数的求导法则因为当，又因即当所以令Δt→0,两边取极限,得从定理1中可看到函数最终只依赖于一个变量t，所以对其导数应用d的符号，并称上述

为全导数.一、多元复合函数的求导法则当t取得增量Δt时,u，v及z相应地也取得增量Δu,Δv及Δz.由于z=f(u,v)在点u,v具有连续偏导数，于是函数z=f(u,v)在点u,v可微分，即其中

因此，有证明一、多元复合函数的求导法则定理1可以推广到更多中间变量的情况.设z=f(u,v,w)，其中u=φt,v=ψt,w=ωt，即构成复合函数z=fφt,ψt,ωt，其变量相互依赖关系如图8-12所示，有图8-12一、多元复合函数的求导法则设

，求全导数

解

【例1】一、多元复合函数的求导法则设有一圆柱体，它的底半径以0.1cm/s的速率增大，而高度以0.2cm/s的速率在减少，试求当底半径为100cm，高为120cm时．求圆柱体体积的变化率.

解设圆柱体的底半径为R,高为h，则体积为V=πR2h，其体积变化率为将【例2】代入上式，得一、多元复合函数的求导法则复合函数的中间变量均为多元函数的情形2.定理1还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形.设函数z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，即构成复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］,其变量相互依赖关系如图8-13所示.图8-13一、多元复合函数的求导法则如果函数u=φ(x,y)及v=ψ(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］在点(x,y)的两个偏导数存在,且有

本定理的证明方法与定理1类似，如对x求偏导时，只要注意变量y是固定的，实质上就是定理1的情形，只是相应地把导数符号换成偏导数符号.定理2一、多元复合函数的求导法则已知

解【例3】一、多元复合函数的求导法则

类似地，设u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)及w=ω(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)］（变量相互依赖关系见图8-14）在点(x,y)的两个偏导数都存在，且一、多元复合函数的求导法则

图8-14一、多元复合函数的求导法则复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形3.如果函数u=φ(x,y)在点x,y具有对x及对y的偏导数,函数v=ψ(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点u,v具有连续偏导数,则复合函数z=fφx,y,ψy（变量相互依赖关系见图8-15）在点x,y的两个偏导数存在,且有实际上该情形是第2种情形的特例.定理3一、多元复合函数的求导法则图8-15设z=uarctan(uv)，u=xey，v=y2，求z关于x，y的偏导数．

解【例4】一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则设u=φ(x,y)在点x,y具有偏导数，z=f(u,x)在相应点u,x处有连续偏导数，则复合函数z=f［φ(x,y),x］在点x,y处有偏导数，且实际上可看作第3种情形中当v=x的特殊情况.一、多元复合函数的求导法则这里

是表示在复合函数z=f［φ(x,y),x］中把y看作常量求得的z对x的偏导数，

是表示在z=f(u,x)中把u看作常量求得的z对x的偏导数．所以

与

的意义不同.注意一、多元复合函数的求导法则设z=f(u,x)=arcsinx+u，其中u=sin(xy)，求

解【例5】二、多元复合函数的高阶偏导数计算多元复合函数的高阶偏导数，只要重复运用前面的求导法则即可.为表达简便起见，引入记号f′1,f′2,f″12等，这里下标“1”表示对第一个变量u求偏导数，下标“2”表示对第二个变量v求偏导数，即同理可规定f″11，f″22等.二、多元复合函数的高阶偏导数设

，其中f具有二阶连续偏导数，求

解令u=xy,，则z=f(u,v).根据复合函数的求导法则，有【例6】二、多元复合函数的高阶偏导数因为f′1及f′2仍是复合函数，故由复合函数求导法则，有因此二、多元复合函数的高阶偏导数

三、多元复合函数全微分设z=f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分若z=f(u,v)中的u,v为中间变量，即u=φx,y,v=ψx,y，而且它们也具有连续偏导数，则复合函数z=f［u(x,y),v(x,y)］的全微分为三、多元复合函数全微分由定理2可知其中的偏导数

，于是可化为由此可见,无论z是自变量u,v的函数还是中间变量