对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分一、有向曲面假设某一曲面Σ是光滑的，在Σ上任取一点P，过此点作一法线，该法线存在两个方向，选定其中一个方向，则当该点在曲面上连续变动时，相应的法向量也随着连续变动，如果此点在曲面上连续变动后（不超过曲面的边界）回到原来的位置时，相应的法向量的方向与原方向相同，就称Σ是一个双侧曲面；反之，则称Σ是一个单侧曲面.一、有向曲面通常遇到的曲面有上下、左右、前后两侧之分，如果是闭合曲面，还有内、外侧之分.这主要通过曲面上某一点处法向量的指向来定出曲面的侧.例如，对于z=z(x,y)曲面，如果取它的法向量n的指向朝上，就认为取定曲面的上侧；对于y=y(x,z)曲面，如果取它的法向量n的指向朝右，就认为取定曲面的右侧；对于x=x(y,z)曲面，如果取它的法向量n的指向朝前，就认为取定曲面的前侧；对于闭曲面，如果取定它的法向量n的指向朝外，就认为取定曲面的外侧.这种通过取定曲面上的一个法向量来规定曲面的侧的曲面称为有向曲面.一、有向曲面下面介绍有向曲面在坐标平面上的投影.设Σ是有向曲面.在Σ上取一小块曲面ΔS,将ΔS分别投影到yOz,zOx,xOy面上得一投影区域，记此投影区域的面积分别为

设ΔS上各点处的法向量与x轴、y轴、z轴的夹角分别为α,β,γ,这些角的余弦cos

α,cos

β,cos

γ分别在每一点处有相同的符号(即cos

α,cos

β,cos

γ分别都是正的或都是负的)，则规定ΔS在yOz,zOx,xOy面上的投影分别为一、有向曲面二、第二类曲面积分的概念与性质引例引例设流体(假定密度为1)在空间Ω内流动，它的流速是v，这里假定速度v是定常的，即它与时间无关,设Σ是空间Ω内的光滑有向曲面，函数都在Σ上连续，求单位时间内流体流向曲面Σ指定侧的流量二、第二类曲面积分的概念与性质分析如果Σ为一个平面闭区域，其面积为A，且流体在这闭区域上各点处的流速v是常向量，又设n为该平面的单位法向量，那么在单位时间内流过该闭区域的流体构成一个底面积为A，高为|v|的斜柱体，这个斜柱体的体积等于以Σ为底、以v在n上的投影为高的正柱体的体积，即其中θ为v与n的夹角.如果Σ不是平面而是一片曲面，且流速v也不是常向量时，所求流量就不能按照上述公式计算.下面采用以下几个步骤来解决这个问题.二、第二类曲面积分的概念与性质

(1)分割在Σ上任意分成n小块ΔSi（ΔSi同时也代表第i个小块的面积），取其中一小块ΔSi来考虑.设通过ΔSi流向指定侧的流量为ΔΦi，则通过整个曲面Σ的流量为(2)近似在Σ是光滑和v是连续的前提下，当这小块ΔSi的直径很短时，其上任一点处的流速可代替ΔSi上其他各点处的流速，曲面Σ在点处的单位法向量可代替ΔSi上其他各点处的法向量，于是，通过ΔSi流向指定侧的流量ΔΦi可近似表示为二、第二类曲面积分的概念与性质(3)求和于是通过整个曲面Σ的流量为(4)取极限如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时，该和式的极限存在，则此极限值就是通过整个曲面Σ的流量这样的极限在其他问题中还会遇到，因此可得出第二类曲面积分的概念.二、第二类曲面积分的概念与性质定义设Σ为光滑的有向曲面，函数P（

x,y,z

），Q（

x,y,z

），R（

x,y,z

），在Σ上有界.把Σ任意分成n块小曲面ΔSi（ΔSi同时又表示第i块小曲面的面积），ΔSi在三个坐标面上的投影分别为在ΔSi上任取一点如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时，二、第二类曲面积分的概念与性质总存在，则称此极限为函数在有向曲面Σ上的第二类曲面积分或对坐标的曲面积分，记为或其中

称为被积函数，Σ称为积分曲面.二、第二类曲面积分的概念与性质称为函数Px,y,z在有向曲面Σ上对坐标y,z的曲面积分；称为函数Q（

x,y,z

）在有向曲面Σ上对坐标z,x的曲面积分；称为函数Rx,y,z在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分.二、第二类曲面积分的概念与性质根据上述定义，某流体以速度在单位时间内流过有向曲面Σ指定侧的流量

第二类曲面积分具有第二类曲线积分相类似的一些性质.例如：（1）设曲面Σ可分成两片光滑曲面Σ1及Σ2,则二、第二类曲面积分的概念与性质

（2）设Σ是有向曲面，Σ-表示与Σ取相反侧的有向曲面，则三、第二类曲面积分的计算定理设光滑曲面Σ是由方程z=z（

x,y

）所给出的曲面上侧，Σ在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z=z（

x,y

）在Dxy上具有一阶连续偏导数，R（

x,y,z

）是Σ上的连续函数，则

（10-13）定理三、第二类曲面积分的计算证明由第二类曲面积分的定义，有因为Σ取上侧，所以所以又因为是Σ上的一点，故所以三、第二类曲面积分的计算公式(10-13)的曲面积分是取在曲面Σ上侧的；如果曲面积分取在Σ的下侧，则有注意三、第二类曲面积分的计算其中d是各投影区域的直径的最大值.由于R（

x,y,z

）在Σ上连续，z（

x,y

）在Dxy上连续，根据复合函数的连续性，也在Dxy上连续.由二重积分的定义因此三、第二类曲面积分的计算类似地，当P（

x,y,z

）在光滑曲面上连续时，有这里取积分曲面Σ的前侧.当Q（

x,y,z

）在光滑曲面上连续时，有这里取积分曲面Σ的右侧.三、第二类曲面积分的计算求其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外侧，f(x,y,z)分别为

解

(1)把有向曲面Σ分成Σ1和Σ2两部分,Σ1的方程为曲面Σ1取上侧；Σ2的方程为曲面Σ2取下侧，则【例1】三、第二类曲面积分的计算(2)把有向曲面Σ分成Σ1和Σ2两部分，Σ1的方程为曲面Σ1取上侧；Σ2的方程为曲面Σ2取下侧，则三、第二类曲面积分的计算

三、第二类曲面积分的计算求其中Σ是曲面x2+y2=R2及两平面z=R,z=－R(R>0)所围成立体表面的外侧.

解设Σ1,Σ2,Σ3分别是Σ的上、下底和圆柱面部分，则

【例2】三、第二类曲面积分的计算易得设Σ1,Σ2在xOy面的投影区域为Dxy,则从而I1+I2=0三、第二类曲面积分的计算记Σ3在yOz面上的投影区域为Dyz,则

又，故，因此四、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两类曲面积分的联系.设光滑曲面Σ由方程z=z（

x,y

）给出，Σ在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z=z（

x,y

）在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在Σ上连续.当Σ取上侧时，有又有向曲面Σ的对应法向量为(－zx,－zy,1)，故其方向余弦为四、两类曲面积分的联系于是因此

（10-14）当Σ取下侧时，有三、第二类曲面积分的计算此时有向曲面Σ的对应法向量为(zx,zy,－1)，故其方向余弦为于是因此式（10-14）仍成立.类似地可得三、第二类曲面积分的计算一般地,有其中cos

α,cos

β,cos

γ是有向曲面Σ在点x,y,z处的法向量的方向余弦.两类曲面积分之间的联