毕奥- 萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律1820年10月30日，在奥斯特电流磁效应发表不到三个月之后，两位法国物理学家毕奥和萨伐尔在法国科学院发表文章，揭示电流与磁效应之间的关系.他们用实验的方法逐点测量长直线电流所激发的磁场和圆电流圆心处的磁场各场点的磁感应强度.实验表明磁场中每点的磁感应强度都与产生磁场的电流成正比，而与该点离电流的距离成反比.后经拉普拉斯、安培等人从数学上证明，从理论上抽象，得出毕奥-萨伐尔定律，这个定律以严格的数学形式表述电流元激发磁场的规律.电流元一、在静电场中为了求任意带电体周围某点的电场强度E，曾将带电体先分成无限多个电荷元dq，计算出每个电荷元在该点的电场强度dE，再根据场的叠加原理将所有电荷元在该点的dE叠加，即得到带电体在该点的电场强度E.实验表明，磁场也服从叠加原理，因此对于载流导线来说，可以仿此思路，把载流导线分成无限多个小段，每个小段Idl为电流元.这样，载流导线在磁场中某点所激发的磁感应强度B，就是该导线的所有电流元在该点的dB的叠加.图9-10所示为电流强度为I的线电流，它的线元为dl，其方向与电流I在该处的方向一致，并称Idl为电流元，它是矢量，其单位为安·米（A·m）.电流元可作为计算电流磁场的基本单元.图9-10电流元毕奥-萨伐尔定律的内容二、根据毕奥和萨伐尔的试验结果，可假设电流元Idl在距离为r的空间场点P引起的磁感应强度dB的大小，与电流元Idl的大小成正比，与电流元Idl到P点的距离r的平方成反比.拉普拉斯的研究结果证实了这个想法，从而得到了电流元Idl在场点P产生的磁感应强度的表达式，称为毕奥-萨伐尔定律，简称毕-萨定律，具体表述为(1)稳恒电流在空间激发的磁场是不随时间变化的，即为静磁场或稳恒磁场，各点的磁感应强度B只是空间坐标的函数，而与时间无关.(2)如前所述，由于电流元不能孤立存在，该定律不能由实验直接加以证明，但由此定律出发计算出的一些特殊形式的[HTH]载流回路[HT]所产生的磁场与实验结论吻合，间接证明了该定律的正确性.如图9-11所示，试求电流元Idl周围空间的磁感应强度.解：计算电流元Idl周围空间的磁感应强度dB.根据毕-萨定律先计算dB的大小，即【例9-1】与静电场中从点电荷场强公式和电场叠加原理出发求带电体的电场分布的基本思想类似，如果我们将电流视为许多电流元的集合，由毕-萨定律得出各电流元在空间产生的磁场，就可以由磁场叠加原理求出整个电流激发磁场的分布.下面按照这个思路来计算几种典型电流的磁场分布.图9-11例9-1图典型电流的磁场计算——毕-萨定律的应用三、电流磁场的计算类似于带电体电场分布的计算，用毕奥-萨伐尔定律计算磁场中各点磁感应强度的具体步骤如下：首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元Idl，并标出Idl到场点P的位矢r，确定两者的夹角θ（Idl，r）.其次，根据毕奥-萨伐尔定律，求出电流元Idl在场点P所激发的磁感应强度dB的大小，并由右手螺旋法则决定dB的方向.再次，建立坐标系，将dB在坐标系中分解，并用磁场叠加原理进行对称性分析，以简化计算步骤.最后，就整个载流导线对dB的各个分量分别积分.一般在直角坐标系中有对积分结果进行矢量合成，求出磁感应强度B，即B=Bxi+Byj+Bzk

下面具体计算两种典型电流的磁场.直线电流的磁场1.设直线电流强度为I，试计算到直线电流距离为a的任意一场点P的磁感应强度.如图9-12所示，在直线电流上到O点的距离为l处任取一电流元Idl，它到P点的位矢为r，由Idl转到r的角度为θ.根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Idl在P点的磁感应强度大小为根据右手螺旋法则,可知所有电流元在P点产生的磁场dB的方向均垂直于纸面向内，直线电流在P点的磁感应强度B的方向也应垂直纸面向内.如图9-12所示.因此，总磁感应强度B的矢量积分可化为标量积分图9-12直线电流的磁场（1）若直线电流为无限长，即θ1=0,θ2=π，则(9-13)与实验结果一致.无限长直线电流是一个理想模型，在实际问题中，若直线电流的长度远大于到场点P的距离a，此时直线电流就可视为无限长.直线外到带电直线距离相等的各点磁感应强度B，其大小都相等，方向沿每点的切向，人们称无限长直线电流在场点激发的磁场具有轴对称性.（2）若直线电流为半无限长，即θ1=0，θ2=π/2（或θ1=π/2，θ2=π），则P点的B的大小为（3）P点在延长线上，θ=0或θ2=π，dB=0,B=0.圆电流在其轴线上的磁场2.设圆电流（载流线圈）半径为R,通有电流I，试计算它在其轴线上任一点P的磁感应强度.如图9-13所示，建立坐标系.任取电流元Idl，由毕-萨定律计算出dB的大小为图9-13圆电流轴线上的磁场圆电流上任意电流元Idl在P点激发磁场的大小因距离r相同而相等，但不同电流元的dB的方向不同.如图9-13所示.其方向沿x轴正方向，与电流成右手螺旋关系.在轴线另一侧，B的方向也是相同的.（1）圆心处的磁场，x=0处为

（9-15）

圆电流圆心处的磁感应强度不为零，而均匀带电细圆环圆心处的电场强度却为零，说明磁场与电场的性质不同.（2）圆心角为θ的圆弧电流在圆心O激发的磁感应强度为

(3)当x>R，即P点远离圆电流时，该点的磁感应强度为圆电流的磁矩3.当圆电流的半径很小或讨论远离圆电流处的磁场分布时，圆电流激发的磁场类似于电偶极子激发的电场，因此可仿照电场中的电偶极子，把圆电流称为磁偶极子，其激发的磁场称为磁偶极子磁场.用电偶极矩描述电偶极子的特征，同样描述磁偶极子可引入特征量磁偶极矩（简称磁矩），即Pm=ISen

（9-16）式中，en为圆电流法线方向的单位矢量，I为圆电流中的电流强度，S为圆电流平面包围的面积，Pm的方向沿圆电流的法向如图9-14所示.若电流回路为N匝线圈，则载流线圈的总磁矩为Pm=NISen.引入磁偶极矩的概念后，磁