隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数函数y=fx表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系有不同的表达方式.例如，y=sinx,y=1+x等，其特点是因变量y和含有自变量x的式子分别位于等号的两边，称此类函数为显函数.而有些函数，因变量y与自变量x之间的关系以方程F(x,y)=0的形式出现，这样的函数称为隐函数，如ex+y－xy=0，2x－y+1=0等.

有些隐函数容易化为显函数,如3x2+2y－5=0可化为y=－12(3x2－5);有些隐函数则很难化为显函数,如由方程ex+y=xy所确定的函数.因此有必要找出直接由方程F(x,y)=0求出它所确定的隐函数导数的方法.

一、隐函数的导数设y=fx是由方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则F［x,f(x)］≡0.由于此式左端是将y=fx代入F(x,y)所得到的复合函数，因此，根据复合函数求导法则将等式两边同时对自变量x求导(函数y看成是x的函数,y的函数看成以y为中间变量的复合函数),得到一个关于

的方程,然后从中解出

即可.

一、隐函数的导数【例36】求由方程x2+xy+y2=4所确定的隐函数的导数y′.解这里要注意的是：y是x的函数，则xy或y2就是x的复合函数，只不过中间变量为y.将方程两边分别对x求导，得

2x+y+xy′+2yy′=0，解方程求出y′，得一、隐函数的导数【例37】求由方程2x2y2+xcosy=12所确定的隐函数的导数.解方程两边同时对x求导，有一、隐函数的导数【例38】求抛物线y2=4x(见图3-4)在点(1,2)处的切线方程.图3-4一、隐函数的导数解先求切线的斜率.在方程两边对x求导得

2y·y′=4，从而

在点(1,2)处的切线的斜率

于是所求的切线方程为y－2=x－1，即y=x+1.

一、隐函数的导数【例40】求函数y=2xx的导数.一、隐函数的导数【例41】一、隐函数的导数本例如果直接用复合函数求导法则求这个函数的导数是很复杂的，而使用对数求导法可使运算级别降低，从而比较方便.对数求导法适宜于多个函数的乘积、乘方、开方及幂指函数的求导.注二、由参数方程确定的函数的导数一般地，如果参数方程

(3-1)

确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程(3-1)确定的函数.

在实际问题中，有时我们需要计算由参数方程(3-1)所确定的函数的导数，然而从参数方程(3-1)中消去参数t有时会有一定的困难.因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数来.下面就来讨论由参数方程(3-1)所确定的函数的求导方法.二、由参数方程确定的函数的导数在参数方程(3-1)中，若函数x=φ(t)具有单调连续反函数t=φ－1(x)，且此反函数能与函数y=ψ(t)构成复合函数，那么由参数方程(3-1)所确定的函数可以看成是由函数y=ψ(t)，t=φ－1(x)复合而成的函数y=ψ［φ－1(x)］.现在，要计算这个复合函数的导数.为此再假定函数x=φ(t)，y=ψ(t)都可导，而且φ′(t)≠0.于是根据复合函数求导法则，则

二、由参数方程确定的函数的导数(3-2)二、由参数方程确定的函数的导数【例42】二、由参数方程确定的函数的导数【例43】二、由参数方程确定的函数的导数【例44】三、相关变化率设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,如果变量x与y之间存在某种关系,则它们的变化率

与

之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率.

相关变化率问题就是研究两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.注三、相关变化率【