【名师伴你行】2021届高考文科数学二轮复习提能专训5-集合与常用逻辑用语

提能专训(五)集合与常用规律用语A组一、选择题1．(2022·绵阳其次次诊断)已知集合S＝{1,2}，集合T＝{x|(x－1)(x－3)＝0}，那么S∪T＝()A．∅ B．{1}C．{1,2} D．{1,2,3}答案：D解析：依题意，得T＝{1,3}，S∪T＝{1,2,3}，故选D.2．(2022·北京西城期末)设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x||x|≤1}，则集合A∩B＝()A．(0,1) B．(0,1]C．(1,2) D．[1,2)答案：B解析：由|x|≤1，得－1≤x≤1，即B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}．3．(2022·温州十校联考)已知全集U＝R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x)≤0))))，则集合∁UA等于()A．{x|x＜－2或x＞0}B．{x|x≤－2或x＞0}C．{x|x＜－2或x≥0}D．{x|x≤－2或x≥0}答案：C解析：∵A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x)≤0))))＝{x|－2≤x＜0}，∴∁UA＝{x|x＜－2或x≥0}，故选C.4．(2022·衡水中学其次次调研)已知R是实数集，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＜1))))，N＝{y|y＝eq\r(x－1)＋1}，则N∩∁RM＝()A．(1,2) B．[0,2]C．∅ D．[1,2]答案：D解析：∵eq\f(2,x)＜1，∴eq\f(x－2,x)＞0，∴x＜0或x＞2，∴M＝{x|x＜0或x＞2}，∴∁RM＝{x|0≤x≤2}．∵y＝eq\r(x－1)＋1，∴y≥1，∴N＝{y|y≥1}，∴N∩∁RM＝[1,2]，故选D.5．(2022·郑州质检一)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}且A⊆∁RB，那么mA．1 B．2C．3 D．4答案：A解析：由B＝{x|x＜2m}，得∁RB＝{x|x≥2m}，∵A⊆∁RB，∴2m≤2，∴6．(2022·济南模拟)已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|y＝lg(x2＋x)}，设U＝R，则A∩(∁UB)等于()A．[3，＋∞) B．(－1,0]C．(3，＋∞) D．[－1,0]答案：B解析：由于x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－1，所以∁UB＝[－1,0]，又A＝(－1,3)，所以A∩(∁UB)＝(－1,0]．7．(2022·湖北八校联考)设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}答案：D解析：由题意，得x(x－2)＜0，得0＜x＜2，即A＝(0,2)；由1－x＞0，得x＜1，即B＝(－∞，1)，因此图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝[1,2)，故选D.8．(2022·长沙模拟三)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1))))，N＝{(x，y)|y＝k(x－b)}，若∃k∈R，使得M∩N＝∅成立，则实数b的取值范围是()A．[－3,3] B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案：B解析：集合M表示椭圆上的点集，集合N表示过点(b,0)的直线的点集．∃k∈R，使得M∩N＝∅成立，即表示存在过定点(b,0)的直线与椭圆没有交点，即定点(b,0)在椭圆外面，故eq\f(b2,9)＋0＞1，得b＞3或b＜－3，故选B.9．(2022·广东七校联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜9，x∈R}和B＝{x|－4＜x＜4，x∈Z}关系的韦恩图如图所求，则阴影部分所求集合中的元素共有()A．3个 B．4个C．5个 D．无穷多个答案：B解析：由韦恩图可知，阴影部分可表示为(∁UA)∩B.由于∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，于是(∁UA)∩B＝{x|－4＜x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．10．(2022·上海十三校调研)集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈N*，且x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}，若(x，y，z)∈S，且(z，w，x)∈S，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S答案：B解析：由于(x，y，z)∈S，所以x＜y＜z或y＜z＜x或z＜x＜y；又由于(z，w，x)∈S，所以z＜w＜x或w＜x＜z或x＜z＜w.两者结合有w＜x＜y＜z或x＜y＜z＜w或y＜z＜w＜x或z＜w＜x＜y.同理，若(y，z，w)∈S，则有y＜z＜w或z＜w＜y或w＜y＜z；若(x，y，w)∈S，则有x＜y＜w或y＜w＜x或w＜x＜y.两者结合有x＜y＜z＜w或y＜z＜w＜x或z＜w＜x＜y或w＜x＜y＜z.故选B.二、填空题11．(2022·南京一模)已知集合A＝{－3，－1,1,2}，集合B＝[0，＋∞)，则A∩B＝________.答案：{1,2}解析：由于A＝{－3，－1,1,2}，集合B＝[0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2}．12．(2022·济南四校联考)已知集合U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，则实数答案：2解析：依据已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋2a－3＝5，,|2a－1|＝3，))解得a＝2.13．(2022·上海模拟)如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合，若x，y∈R，A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B＝________.答案：[0,1]∪(2，＋∞)解析：∵A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}＝[0,2]，B＝{y|y＝3x，x＞0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，∴A*B＝[0,1]∪(2，＋∞)．14．(2022·上海嘉定一模)设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))解析：集合A表示的是以(4,0)为圆心，半径为1的圆，集合B表示的是以(t，at－2)为圆心，半径为1的圆．A∩B≠∅说明这两个圆至少有一个交点，故eq\r(t－42＋at－22)≤1＋1＝2，即(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，据题意此不等式有实数解，故判别式Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，即3a2－4a≤0，解得0≤a≤eq\f(4,3).15．(2022·上海徐汇、金山、松江二模)对于集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)，定义集合S＝{x|x＝ai＋aj,1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S(A)．若a1，a2，…，an是公差大于零的等差数列，则S(A)＝________.答案：2n－3解析：由题意，集合S中最小项为a1＋a2＝2a1＋d，最大项为an－1＋an＝2a1＋(2n－3)d，对任意的i(1≤i≤2n－3)，假如i≤n－1，则可取2a1＋id＝a1＋(a1＋id)＝a1＋ai＋1∈S，若n≤i≤2n－3，可取2a1＋id＝a1＋(n－1)d＋a1＋(i－n＋1)d＝an＋ai－n＋2，明显由于n≤i≤2n－3，有2≤i－n＋2≤n－1，即2a1＋id∈S，所以S16．(2022·北京昌平期末质量抽测)将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，其中A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bn}，C＝{c1，c2，…，cn}，若A，B，C中的元素满足条件：c1＜c2＜…＜cn，ak＋bk＝ck(k＝1,2,3，…，n)，则称M为“完并集合”．(1)若M＝{1，x,3,4,5,6}为“完并集合”，则x的一个可能值为________(写出一个即可)；(2)对于“完并集合”M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，在全部符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是________．答案：(1)7(9或11)(写出一个即可)(2){6,10,11,12}解析：(1)M＝{1，x,3,4,5,6}共有6个元素，所以3个集合A，B，C中各有2个元素，由于ak＋bk＝ck，所以集合C中必含有6个元素中最大的一个．当x＜6时，由集合元素的互异性可知x＝2，此时不能满足ak＋bk＝ck，故舍去．当x＞6时，C＝{6，x}，当1＋5＝6时，3＋4＝x，此时x＝7.当C＝{5，x}时，1＋4＝5,3＋6＝x，此时x＝9.当C＝{4，x}时，1＋3＝4,5＋6＝x，此时x＝11.当集合C中另一个元素小于等于3时，已不能满足ak＋bk＝ck，故舍去．所以x的可能取值为7,9,11.(2)M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}共含有12个元素，所以集合C中含有元素4个．其中包含最大的元素12.集合C的全部可能有{8,9,10,12}，{7,9,11,12}，{6,10,11,12}．经计算可知，元素乘积最小的集合是{6,10,11,12}．B组一、选择题1．(2022·上海高考)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件答案：B解析：本题主要考查充分必要条件的推断，考查考生分析、解决问题的力量．若a>2且b>2，则a＋b>4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b>4，故选B.2．(2022·广州综合检测)命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”A．存在x0∈R，使得xeq\o\al(3,0)＞xeq\o\al(2,0)B．不存在x0∈R，使得xeq\o\al(3,0)＞xeq\o\al(2,0)C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0)D．对任意x∈R，都有x3≤x2答案：C解析：全称命题的否定是特称命题，易得命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是“存在x0∈R，使得xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0)”，故选C.3．(2022·湖北七市联考)下列说法错误的是()A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2”的充要条件D．若命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0答案：B解析：对于B选项，若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，所以B错误，故选B.4．(2022·成都其次次诊断)设命题p：∃α0，β0∈R，cos(α0＋β0)＝cosα0＋cosβ0；命题q：∀x，y∈R，且x≠eq\f(π,2)＋kπ，y≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，若x＞y，则tanx＞tany．则下列命题中真命题是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案：B解析：当α0＝eq\f(3π,4)，β0＝－eq\f(π,4)时，命题p成立，所以命题p为真命题；当x，y不在同一个单调区间内时命题q不成立，命题q为假命题．故p∧(綈q)为真命题．5．(2022·北京海淀统考)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立．当{an}是公比为2的等比数列时，有eq\f(an,an－1)＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.6．(2022·吉林试验中学一模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A解析：l⊥平面α，α∥β，∴l⊥β.又∵m⊂β，∴l⊥m.但是l⊥m不能推出α∥β.7．(2022·北京海淀模拟)在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：由∃λ∈R，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))得AB∥CD，AD∥BC，四边形ABCD为平行四边形；反过来，由四边形ABCD为平行四边形得eq\o(AB,\s\up6(→))＝1·eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝1·eq\o(BC,\s\up6(→)).因此，在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，故选C.8．(2022·衡水中学二调)给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝eq\f(ex－1,ex＋1)为偶函数，下列说法正确的是()A．p∨q是假命题 B．(綈p)∧q是假命题C．p∧q是真命题 D．(綈p)∨q是真命题答案：B解析：对于命题p：y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，令(1－x)(1＋x)＞0，得－1＜x＜1，∴函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，∵f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，∴命题p为真命题；对于命题q：y＝f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，∵f(－x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝eq\f(\f(1,ex)－1,\f(1,ex)＋1)＝eq\f(1－ex,1＋ex)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，∴命题q为假命题，∴(綈p)∧q是假命题，故选B.9．(2022·东北三省二模)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)＜1，假如p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]答案：B解析：q：eq\f(3,x＋1)＜1⇒eq\f(3,x＋1)－1＜0⇒eq\f(2－x,x＋1)＜0⇒(x－2)(x＋1)＞0⇒x＜－1或x＞2.由于p是q的充分不必要条件，所以k＞2，故选B.10．(2022·南昌二模)下列说法正确的是()A．命题“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋2013＞0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋2013＜0”B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．函数f(x)＝eq\f(1,x)在其定义域上是减函数D．给定命题p，q，若“p且q”是真命题，则綈p是假命题答案：D解析：对于A，特称命题的否定为全称命题，所以命题“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋2013＞0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋2013≤0”，故A不正确．对于B，两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；反之，不然．即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B不正确．对于C，函数f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内既不是增函数，也不是减函数，如取x1＝－1，x2＝1，有x1＜x2，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，则f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝eq\f(1,x)在其定义域上不是减函数，故C不正确．对于D，由于“p且q”是真命题，则p，q都是真命题，所以綈p是假命题，故D正确．二、填空题11．(2022·湖北重点中学统一考试)已知r(x)：sinx＋cosx＞m；s(x)：x2＋mx＋1＞0.假如∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[eq\r(2)，2)解析：由sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，故sinx＋cosx的最小值为－eq\r(2)，若∀x∈R时，命题r(x)为真命题，则m＜－eq\r(2).若命题s(x)为真命题，即∀x∈R，不等式x2＋mx＋1＞0恒成立，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.若命题r(x)为真命题，命题s(x)为假命题，则m≤－2；若命题r(x)为假命题，命题s(x)为真命题，则－eq\r(2)≤m＜2.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－eq\r(2)，2)．12．(2022·吉林高校附属中学一模)设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝9x＋eq\f(a2,x)＋7.若“∃x∈[0，＋∞)，f(x)＜a＋1”是假命题，则a的取值范围为________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(8,7)))解析：y＝f(x)是定义在R上的奇函数，故可求解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9x＋\f(a2,x)－7，x＞0，,0，x＝0，,9x＋\f(a2,x)＋7，x＜0.))又“∃x≥0，f(x)＜a＋1”是假命题，则∀x≥0，f(x)≥a＋1是真命题，①当x＝0时，0≥a＋1，解得a≤－1，②当x＞0时，9x＋eq\f(a2,x)－7≥a＋1，结合基本不等式有6|a|－7≥a＋1，得a≥eq\f(8,5)或a≤－eq\f(8,7)，①②取交集得，a的取值范围是a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(8,7))).13．命题p：∃x∈R，使3cos2eq\f(x,2)＋eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)<a＋eq\f(3,2)；命题q：∀x∈(0，＋∞)，x2－2ax＋1≥0.若命题p∧q为真，则实数a的取值范围是________．答案：(－eq\r(3)，1]解析：3cos2eq\f(x,2)＋eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝eq\f(31＋cosx,2)＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)＋eq\f(3cosx,2)＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)＋eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\f(3,2)＋eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\r(3)，\f(3,2)＋\r(3)))，故命题p正确的条件是eq\f(3,2)＋a>eq\f(3,2)－eq\r(3)，即a>－eq\r(3).对于命题q，由于x>0，故不等式等价于a≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，由于x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号)，所以不等式成立的条件是a≤1.综上所述，命题p∧q为真，即p真q真时，a的取值范围是(－eq\r(3)，1]．14．已知c>0，且c≠1.设命题p：函数f(x)＝logcx为减函数；命题q：当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，函数g(x)＝x＋eq\f(1,x)>eq\f(1,c)恒成立．假如p或q为真命题，p且q为假命题，则实数c的取值范围为________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞)解析：由f(x)＝logcx为减函数，得0<c<1.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，由于g′(x)＝1－eq\f(1,x2)，故函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上为减函数，在[1,2]上为增函数．所以g(x)＝x＋eq\f(1,x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的最小值为g(1)＝2.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，由函数g(x)＝x＋