北京朝阳区高三数学试卷

北京朝阳区高三数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f(x)$的图像在$x$轴上截距的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.0

2.在三角形ABC中，若$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\cosA$的值为（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{4}$

D.$\frac{6}{5}$

3.已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n+2$，则该数列的前10项和为（）

A.175

B.180

C.185

D.190

4.若函数$f(x)=2x+1$，则$f(-1)$的值为（）

A.1

B.0

C.-1

D.-2

5.已知复数$z=a+bi$，其中$a$，$b$为实数，若$z$的模长为$\sqrt{5}$，则$z$在复平面内的对应点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

6.在平面直角坐标系中，若点P（2，3）到直线$x+y-5=0$的距离为$d$，则$d$的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=2$，$a_3=16$，则该数列的公比为（）

A.2

B.4

C.8

D.16

8.若函数$f(x)=x^2-4x+4$，则$f(-2)$的值为（）

A.0

B.2

C.4

D.6

9.已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=4n-3$，则该数列的第10项与第15项之和为（）

A.92

B.100

C.108

D.116

10.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(1)$的值为（）

A.1

B.0

C.-1

D.无定义

二、判断题

1.在直角坐标系中，直线$y=2x+1$与$y=-\frac{1}{2}x+3$的交点坐标是（1，3）。（）

2.一个正方体的表面积是64平方厘米，那么它的体积是64立方厘米。（）

3.若一个等差数列的前三项分别为1，2，3，则该数列的公差为1。（）

4.在任意三角形中，如果两个内角相等，那么这两个角所对的边也相等。（）

5.对于任意实数$x$，方程$x^2+1=0$在实数范围内没有解。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$，则$a$的取值范围为______。

2.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=5$，公差$d=3$，则第10项$a_{10}$的值为______。

3.若直角三角形的两个锐角分别为30°和60°，则该三角形的斜边与其中一个直角边的比值为______。

4.若复数$z=a+bi$的实部$a$和虚部$b$满足$a^2+b^2=1$，则$z$在复平面内对应的点位于单位圆上。

5.若函数$g(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$的定义域为$x\neq2$，则该函数的零点为______。

四、简答题

1.简述一元二次方程的判别式的意义及其应用。

2.如何判断一个二次函数的图像是开口向上还是向下？

3.在直角坐标系中，如何通过坐标来确定一个点所在象限？

4.简述等差数列和等比数列的性质及其在数学中的应用。

5.请解释复数的概念，并说明复数在数学中的重要性。

五、计算题

1.计算下列函数的导数：

$$

f(x)=3x^4-2x^3+x^2-5

$$

2.解一元二次方程：

$$

2x^2-4x-6=0

$$

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为$S_5=35$，且$a_1=5$，求该数列的公差$d$。

4.计算下列复数的模：

$$

z=3+4i

$$

5.在直角坐标系中，已知点A（2，3）和B（4，1），求线段AB的长度。

六、案例分析题

1.案例分析题：函数图像的应用

案例描述：

某工厂生产一批产品，已知其生产成本函数为$C(x)=5x+100$，其中$x$为生产的产品数量，单位为件。市场调研显示，产品的售价与生产数量之间存在一定的关系，即$R(x)=10x-0.5x^2$，其中$R(x)$为单位产品的售价（元/件）。

问题：

（1）求出该工厂生产这批产品的最大利润。

（2）根据最大利润的生产数量，计算出该批产品的总售价。

2.案例分析题：几何问题的解决

案例描述：

在平面直角坐标系中，点A（-2，3）和B（4，-1）是直线AB上的两点。直线AB与x轴的交点为点C，直线AB的斜率为$m$。

问题：

（1）求出直线AB的方程。

（2）若直线AB与圆$x^2+y^2=25$相切，求出切点的坐标。

七、应用题

1.应用题：比例问题

某班级有男生和女生共50人，男生人数是女生人数的1.5倍。如果从这个班级中随机抽取一名学生参加比赛，求抽到女生的概率。

2.应用题：几何问题

一个长方形的长是宽的1.5倍，长方形的周长是36厘米。求这个长方形的面积。

3.应用题：函数问题

某商店销售一种商品，每天的成本为200元，售价为每件300元。已知每天的销售量与售价之间存在线性关系，且当售价为280元时，每天销售10件。求该商品的销售量与售价的函数关系，并计算在售价为320元时的每日利润。

4.应用题：增长率问题

某城市去年的居民人均可支配收入为2.5万元，今年的居民人均可支配收入为2.8万元。求去年到今年的人均可支配收入增长率。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.A

3.C

4.A

5.A

6.B

7.B

8.A

9.B

10.C

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.$a>0$

2.19

3.2

4.5

5.5

四、简答题答案：

1.一元二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实根；当$\Delta<0$时，方程无实数根。判别式在求解一元二次方程根的性质、解的个数以及根与系数的关系中都有重要应用。

2.二次函数的图像开口向上当且仅当系数$a>0$，开口向下当且仅当系数$a<0$。

3.在直角坐标系中，根据点的横坐标和纵坐标的正负可以确定点所在的象限。横坐标和纵坐标都为正的点位于第一象限，横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限，横坐标和纵坐标都为负的点位于第三象限，横坐标为正、纵坐标为负的点位于第四象限。

4.等差数列的性质包括：通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，前$n$项和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等差中项等于首项与末项的平均值。等比数列的性质包括：通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$，前$n$项和$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\neq1$），等比中项等于首项与末项的几何平均数。

5.复数是实数的扩展，由实部和虚部组成，形式为$a+bi$，其中$a$和$b$为实数，$i$为虚数单位。复数在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用，如解决代数方程、表示旋转、计算信号等。

五、计算题答案：

1.$f'(x)=12x^3-6x^2+2x$

2.$x=3$或$x=-1$

3.$d=3$

4.$|z|=5$

5.$AB=\sqrt{(4-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{8}$

六、案例分析题答案：

1.（1）最大利润的生产数量为20件，最大利润为$R(20)-C(20)=10\times20-0.5\times20^2-200=100$元。

（2）总售价为$R(20)=10\times20-0.5\times20^2=200$元。

2.（1）直线AB的方程为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$。

（2）直线AB与圆相切，切点坐标为$(\frac{8}{5},\frac{9}{5})$。

七、应用题答案：

1.抽到女生的概率为$\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}$。

2.长方形的长为18厘米，宽为12厘米，面积为216平方厘米。

3.销售量与售价的函数关系为$y=-10x+100$，每日利润为$y\times300-200=10x^2-1200x+3000$，当$x=320$时，每日利润为$-320^2+1200\times320+3000=32000$元。

4.增长率为$\frac{2.8-2.5}{2.5}\times100\%=12\%$。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括代数、几何、三角函数、复数等。具体如下：

代数部分：

-一元二次方程的解法

-导数的概念和计算

-函数的性质和应用

-数列的概念和性质

几何部分：

-直线与坐标轴的位置关系

-直线方程的求解

-圆的性质