山东大学数学建模选修答案

数学建模作业姓名：学院：计算机科学与技术班级：学号：1.在区域x[-2,2],y[-2,3]内绘制函数z=exp^(-x2-y2)曲面图及等值线图。解：曲面图如下：>>x=-2:0.5:2;>>y=-2:0.5:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=exp(-X.^2-``Y.^2);>>mesh(X,Y,Z)>>等值线图如下：>>x=-2:0.5:2;>>y=-2:0.5:3;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=exp(-X.^2-Y.^2);>>mesh(X,Y,Z)>>surf(X,Y,Z)即u=ua+ce^(-Kt)根据初始条件：t=0时，u=u0代入上式得c=u0-ua于是u=u0+(u0-ua)e^(-Kt)又根据条件，当t=10时，u=u1代入上式得u1=ua+(u0-ua)e^(-10K)[(u0-ua)/(u1-ua)]根据题意我们可知u0=150，u1=87,ua=24,代入得到K===0.069从而u=24+126e^(-0.069t)这就是物体冷却时温度u随着时间t的变化规律。用t=20代入得u=55.7度4.假设在某商场中，某种商品在t时刻的价格为P(t)，若假定其变化率与商品的需求量D和供给量S之差成正比(比例系数为k),若其中均为正常数，若已知初始价格为Po,求任意时刻t时该商品的价格。解：一般情况下，某种商品的价格主要服从市场供求关系，由题意我们可知商品需求量D是价格P的单调递减函数，商品供给量S是价格P的单调递增函数，即------------------------------------------------------------------(1)其中均为常数，且b>0,d>0.当需求量与供给量相等时，由(1)可得供求平衡时的价格Pe=，并称Pe为均衡价格。由题意得：其中比例系数k>0，用来反应价格的调整进度。将(1)式代入方程可得其中常数=k(b+d)>0，所以此方程的通解为P(t)=Pe+Ce^(-t) 由于初始价格P(0)=P0代入上式，得C=P0-Pe于是我们可以求出任意时刻价格P与时刻t之间的函数为：P(t)=Pe+(P0-Pe)^(-t)，并且我们可以得出，因为>0知，时P(t)Pe，说明随着时间的不断推延，实际价格P(t)将逐渐趋近均衡价格Pe。5.农场种植计划问题某农场根据土地的肥沃程度，把耕地分为IIIIII三等，相应的耕地面积分别为100、300和200km2,计划种植水稻、大豆和玉米.要求三种作物的最低收获量分别为190、130和350吨(t).I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表所示.若三种作物的售价分别为水稻1.2元/kg,大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg.那么如何制订种植计划，才能使总产量最大？如何制订种植计划，才能使总产值最大？解：(1):问题分析：确定种植最佳土地分配，即每种等级耕地分别种植水稻、大豆、玉米的面积模型建立：1，决策变量：令x1,x2,x3分别为IIIIII三等耕地上种植的水稻面积，令x4,x5,x6分别为IIIIII三等耕地上种植的大豆面积，令x7,x8,x9分别为IIIIII三等耕地上种植的玉米面积。且令为xi（1<=i<=9）面积的耕地上的产量为ci.2,目标函数：总产量最大，即max=cixi3,约束条件：最低产量限制：最低水稻产量190吨，最低大豆产量130吨，最低玉米产量350吨11x1+9.5x2+9x3≧1908x4+6.8x5+6x6≧13014x7+12x8+10x9≧350耕地面积恒定：x1+x4+x7=100x2+x5+x8=300x3+x6+x9=200非负条件：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9≧0数学模型：max=11x1+9.5x2+9x3+8x4+6.8x5+6x6+14x7+12x8+10x9用MATLAB求解，用命令格式III，文件如下：>>c=[119.5986.86141210];>>A=[-11-9.5-9000000000-8-6.8-6000000000-14-12-10];>>b=[-190;-130;-350];>>Aeq=[100100100010010010001001001];>>beq=[100;300;200];>>vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0;0];>>vub=[];>>[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimizationterminated.x=17.27270.00000.000082.7273300.0000165.00000.00000.000035.0000fval=4.2318e+03即，模型的最优解为(17.27270.00.082.7273300.0165.00.00.035.0)T,目标函数最优值为4.231103即：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9值分别为17.27270.00.082.7273300.0165.00.00.035.0，此时才能使总产量最大。问题分析：根据题(1),当要求得产值最大时,目标函数只需变成Max=1.2(11x1+9.5x2+9x3)+1.5(8x4+6.8x5+6x6)+0.8(14x7+12x8+10x9)=13.2x1+11.4x2+10.8x3+12x4+10.2x5+9x6+11.2x7+9.6x8+8x9MATLAB求解，部分文件如下：>>c=[13.211.410.81210.2911.29.68];>>[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimizationterminated.x=17.27270.00000.00000.000019.11760.000082.7273280.8824200.0000fval=5.6460e+03即，模型的最优解(17.27270.00.0