巧用数形结合思想解二次函数中的问题

巧用数形结合思想解二次函数中的问题摘要：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来。通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”两个方面，已经成为当今数学的特色之一，它使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。它兼有数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。本文通过例题分析了解“数形结合思想”来解决二次函数中的问题，因为此类问题的特点是若仅进行代数推理,亦能解决,但运算繁、技巧强、难度大若以形助数,则运算简、技巧弱、难度小。关键词：数形结合思想二次方程和不等式二次函数由于初中的“二次函数”的问题，历年来都是中考的热点，因此，我从用“数形结合”思维思想来谈一谈这些问题。一、数形结合思想概述法国著名的自然辨证哲学家恩格斯曾经说过“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学”。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面。借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径．因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法．而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂教学中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法。有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，营造愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学．“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面．一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样．有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体。永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．“数形结合”作为数学中的一种重要思想，它在初、高中都是解决许多问题得重要思想，特别是在高中数学中占有极其重要的地位，关于这一点，我们只要翻阅近年高考试卷就可以一目了然。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛．大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，与此同时“数形结合”思想在二次函数中的应用在中、高考命题中解决问题也成了必不可少的部分，也是平时学习二次函数解决应用问题的一个重点。巧妙运用“数形结合”思想解题．可以化抽象为具体，达到事半功倍的效果。二、二次函数与系数之间的关系，，00cf(0)10b020c所以b2c5b0c2①②③④。由①、②、④得20c≤b≤100,0<c<5,所以当c=1时，有②、③得：0<b<6且b2≥20，得b=5；2当c=2时，0<b<7且b≥40，此时b无整数解；当c=3时，0<b<8且b2≥60，此时b无整数解；当c=4时，0<b<9且b2≥80，此时b无整数解；所以b=5，c=10。四、数形结合可以求得平移后的抛物线解析式，比较函数值的大小。例1：如图2，把此抛物线线绕顶点旋转180°，则该抛物线对应的解析式为：。若把新的抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，则此时抛物线对应的函数解析式为：。解：1、由于是绕顶点旋转180°，所以顶点的坐标不变，对称轴不变，所以设原抛物线的解析式为：Y=a（x+1）2+4，又因为过了A点（1,0），带入解析式得到：a=-1，所以原函数的解析式为：Y=-（x+1）2+4，故绕顶点旋转180°后，只有开口变了，所以新函数的解析式为：Y=（x+1）2+4。2、因为抛物线图象的平移本质上是把握点的平移。只要把握好规律，结合图形的变换，做到做“+”右“-”，上“-”下“＋”这样就很容易得到此时的函2数解析式：Y=（x-1）-1。例2：若Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（－２，ｙ２）是抛物线上ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｃ（ａ＞０）上的两点，则ｙ１＜ｙ２（填＜，＞或＝）。变式１：若Ａ（－１，ｙ１），Ｂ（４，ｙ２）是抛物线上ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｃ（ａ＞０）上的两点，则ｙ１＜ｙ２（填＜，＞或＝）。变式２：若Ａ（ｍ，ｙ１），Ｂ（ｍ＋２，ｙ２）是抛物线上２ｙ＝ａ（ｘ－１）＋ｃ（ａ＞０）上的两点，当ｍ取何值时，ｙ１＝ｙ２？ｙ１＞ｙ２？解：因为ａ＞０，开口向上，又从图中看到ｘ＝１是函数的对称轴，又因为函数图象与ｙ轴的交点在ｙ轴的负方向，所以ｃ＜０，所以得出：当ｘ≥１时，ｙ随ｘ的增大而增大；当ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小。因此：（１）因为－２＜－１＜０，所以ｙ１＜ｙ２；（２）因为－１＜０＜４，所以ｙ１＜ｙ２；（３）要使ｙ１＝ｙ２，则｜ｘ１－ｘ２｜＝１，即是ｘ１、ｘ２关于ｘ＝１对称，所以就有：ｍ－（ｍ－２）＝１，解得：ｍ∈Ｒ，所以无论ｍ取何值，ｙ１＝ｙ２；很明显ｍ＜ｍ＋２，要得到ｙ１＞ｙ２，从图像可知：在对称轴的右侧，则只要ｍ≥１就行。五、从函数的“形”到方程的“数”，使推理判断更准确例1．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出了约米(精确到0．1m)。解：由题意和图像可可知，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)2+9，将点A(0，1)代入，得a=-1/8。所以该二次函数的解析式为：y=-1/8(x-8)2+9=-1/8x2+2x+1,令y=0,则有-1/8x2+2x+1=0，解得：62，62,所以C（88A0）,x16.5(米)O628OC注：从“形”到“数”的问题时，应注意观察函数图像的形状特征，充分挖掘图像的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的性质来解。六、“数形结合”在二次函数中的综合应用例1：市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量v(千克)与销售单价x(元)(x≥30)存在如下图所示的一次函数关系式。(1)试求出v与x的函数关系式；(2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元．现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围。解：(1)设y=kx+b，由图像可知,1000b200b40k-20,解得k400b30k所以一次函数的表达式为：y=-20x+1000,(30≤x≤50)。(2)p=(x-20)y=(x-20)(-20x+lO00)=-20x2+1400x-20000又因为a=一20<0，所以P有最大值。(或通过配方，P一20(x一35)+4500，也可求得最大值)答：当销售单价为35元／千克时，每天可获得最大利润4500元。(3)因为4180≤-20(x-35)+4500≤4480，1≤(x一35)≤16，所以31≤x≤34或36≤x≤39。注：在解决二次函数问题时，要注意“由数想形，以形助数”的方法，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题。（-20）14004500元235时，pmax当x七、结语在学习二次函数中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”。见“形”不忘“数”。在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在在用数形结合的思想解决“二次函数”中的问题时，还应掌握以下几点：1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。总之，二次函数的问题，在数形结合中来解决就显得不是那么的难，都是“二次方程、不等式”的“数”与二次函数的“形”之间相互转化的。数与形的结合就是解决二次函数，以及所有函数问题得一双慧眼。参考文献：[1]姚立新．数形结合的数学思想方法在解题中的应用[J]，2005，1．[2]蔡东兴．数形结合思想方法的应用[J］．中学数学教与学，2009，2．[