2025年湘教新版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高二数学下册阶段测试试卷263考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4；则P到另一焦点距离为（）

A.5

B.4

C.6

D.7

2、计算的结果是（）

A.-

B.

C.-1

D.1

3、正方体的棱长为1，线段上有两个动点且则下列结论中错误的是()

A.B.A1C⊥平面AEFC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线所成角为定值4、设则数列{an}的最大项为（）A.5B.11C.10或11D.365、已知a、b、c、d∈R＋，且a+d=b+c，│a-d│<│b-c│，则（）A.ad=bcB.adC.ad>bcD.ad≤bc6、读程序。

甲：i=1

乙：i=1000

S=0S=0

WHILEi<=1000DO

S=S+iS=S+i

i=i+li=i鈭�1

WENDLoopUNTILi<1

PRINTSPRINTS

ENDEND

对甲乙两程序和输出结果判断正确的是(

)

A.程序不同结果不同B.程序不同，结果相同C.程序相同结果不同D.程序相同，结果相同评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、已知的三边分别为a，b，c，且＝那么角C＝.8、是虚数单位，计算：=____9、【题文】函数的图象。

如图所示，则的表达式是____.10、【题文】已知的值为____。11、sin15°+cos15°=____．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共40分)19、如图；在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

20、已知：求证：21、【题文】已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.22、已知数列{an}

的前n

项和为Sn

且满足Sn=2an鈭�n

求数列{an}

的通项公式.

勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．

思路1

先设n

的值为1

根据已知条件，计算出a1=

______，a2=

______，a3=

______．

猜想：an=

______

然后用数学归纳法证明.

证明过程如下：

垄脵

当n=1

时；______，猜想成立。

垄脷

假设n=k(k隆脢N*)

时；猜想成立，即ak=

______．

那么；当n=k+1

时，由已知Sn=2an鈭�n

得Sk+1=

______．

又Sk=2ak鈭�k

两式相减并化简，得ak+1=

______(

用含k

的代数式表示)

．

所以；当n=k+1

时，猜想也成立．

根据垄脵

和垄脷

可知猜想对任何k隆脢N*

都成立．

思路2

先设n

的值为1

根据已知条件，计算出a1=

______．

由已知Sn=2an鈭�n

写出Sn+1

与an+1

的关系式：Sn+1=

______；

两式相减；得an+1

与an

的递推关系式：an+1=

______．

整理：an+1+1=

______．

发现：数列{an+1}

是首项为______；公比为______的等比数列．

得出：数列{an+1}

的通项公式an+1=

______，进而得到an=

______．评卷人得分五、计算题(共3题，共12分)23、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．24、已知a为实数，求导数25、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．评卷人得分六、综合题(共1题，共2分)26、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】

∵椭圆的方程为P为椭圆上一点，P到它的一个焦点的距离等于4；

设P到另一个焦点的距离为x；

则x+4=2a=10；

x=6．即P到另一个焦点的距离为6．

故选C．

【解析】【答案】由椭圆的定义即可求得P到另一个焦点的距离．

2、D【分析】

由题，==1．

故选D．

【解析】【答案】由于F（x）=sinx为f（x）=cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值．

3、D【分析】【解答】解：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D；

∴AC⊥BE．故A正确．

∵EF垂直于直线AB1，AD1；

∴A1C⊥平面AEF．故B正确．

C中由于点B到直线B1D1的距离不变；故△BEF的面积为定值．

又点A到平面BEF的距离为故VA-BEF为定值．C正确。

当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1；

当E在上底面的中心时，F在C1的位置；

异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1

显然两个角不相等；D不正确．

故选D．

【分析】通过直线AC垂直平面平面BB1D1D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB1，AD1，判断A1C⊥平面AEF是正确的；计算三角形BEF的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案．4、A【分析】【解答】由题意，=﹣（n﹣5）2+36

∴n=5时，an取得最大。

故选A．

【分析】利用配方法，即可求得数列{an}的最大项．5、C【分析】【分析】取a=1，d=4，b=2；c=3验证知，选C。

【点评】对此类问题，既可以加以论证，也可以用特殊值检验的方法。6、B【分析】解：程序甲是计数变量i

从1

开始逐步递增直到i=1000

时终止；

累加变量从0

开始；这个程序计算的是：1+2+3++1000

程序乙计数变量从1000

开始逐步递减到i=1

时终止；

累加变量从0

开始；这个程序计算的是1000+999++1

．

但这两个程序是不同的.

两种程序的输出结果都是：S=1+2+3++1000=100500

．

故选B．

分析程序中各变量；各语句的作用；再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并打印S

值。

考查由框图分析出算法结构的能力，本题考查是循环的结果．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】试题分析：在中，化简整理得:根据余弦定理化简为;答案为考点：1.三角形的面积公式；2.余弦定理.【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

因为【解析】【答案】-1-3i9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、【分析】【解答】解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin（15°+45°）=sin60°=．故答案为：

【分析】原式提取利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果．三、作图题(共9题，共18分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共40分)19、略

【分析】

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD；BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD=90°；得CD⊥BC；

又PD∩DC=D；PD；DC⊂平面PCD；

所以BC⊥平面PCD．

因为PC⊂平面PCD；故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB；PC的中点E、F；连DE、DF，则：

易证DE∥CB；DE∥平面PBC，点D；E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD；所以平面PBC⊥平面PCD于PC；

因为PD=DC；PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF=故点A到平面PBC的距离等于．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．

因为AB∥DC；∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．

从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积．

因为PD⊥平面ABCD；DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．

又PD=DC=1，所以．

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．

由VA-PBC=VP-ABC，得

故点A到平面PBC的距离等于．

【解析】【答案】（1）；要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；

（2）；有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：

方法一；注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D；E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；

方法二；等体积法：连接AC，则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等，而三棱锥P-ACB体积易求，三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．

20、略

【分析】【解析】试题分析：思路分析：利用“分析法”，从假定成立入手，经过两边平方等一系列变换，探寻其成立的条件，归结为成立，而此成立，达到证明目的。证明：要使原不等式成立，只要：3分只要：6分只要：由已知此不等式成立。10分考点：绝对值不等式的证明【解析】【答案】应用分析法21、略

【分析】【解析】(1)∵椭圆C的短轴长为2,椭圆C的一条准线为l:x=2,

∴不妨设椭圆C的方程为+y2=1.

∴==2,即c=1.

∴椭圆C的方程为+y2=1.

(2)F(1,0),右准线为l:x=2.设N(x0,y0),

则直线FN的斜率为kFN=直线ON的斜率为kON=

∵FN⊥OM,∴直线OM的斜率为kOM=-

∴直线OM的方程为y=-x,

点M的坐标为M(2,-).

∴直线MN的斜率为kMN=

∵MN⊥ON,∴kMNkON=-1.

∴·=-1.

∴+2(x0-1)+x0(x0-2)=0,即+=2.

∴ON=为定值.【解析】【答案】(1)+y2=1(2)见解析22、略

【分析】本题满分8

分)

解：思路1

隆脽Sn=2an鈭�n

隆脿a1=1(1

分)

由1+a2=2a2鈭�2

得：a2=3(2

分)

同理可得；a3=7(3

分)

猜想：an=2n鈭�1(4

分)

a1=21鈭�1=1(5

分)

ak=2k鈭�1(6

分)

Sk+1=2ak+1鈭�(k+1)(,(7

分)

ak+1=2k+1鈭�1.(8

分)

思路2

a1=1(1

分)

Sn+1=2an+1鈭�(n+1)(2

分)

an+1=2an+1(3

分)

an+1+1=2(an+1)(4

分)

2(5

分)

2(6

分)

an+1=2n(7

分)

an=2n鈭�1.(8

分)

思路1

由Sn=2an鈭�n

可求得a1a2a3

故可猜想：an=2n鈭�1

然后用数学归纳法证明．

思路2

先设n

的值为1

根据已知条件，计算出a1

再由已知Sn=2an鈭�n

写出Sn+1

与an+1

的关系式：Sn+1=2an+1鈭�(n+1)

两式相减，得an+1

与an

的递推关系式：an+1=2an+1

．

继而发现：数列{an+1}

是首项为2

公比为2

的等比数列，于是可得：数列{an+1}

的通项公式，进而得到an

．

本题考查数列递推式的应用，熟练掌握数学归纳法与等比数列的判断及通项公式的应用是解决问题的关键，属于中档题．