第2章 牛顿运动定律

第2章牛顿运动定律◆本章学习目标1．对牛顿三定律要有正确的认识和较为深入的理解；2．正确运用牛顿定律分析力学问题，掌握隔离体分析力的解题方法；3．掌握圆周运动的向心力的求解方法；4．理解惯性系和非惯性系的区别。◆本章教学内容1．牛顿运动定律；2．力学的单位制和量纲；3．牛顿运动定律的应用；4．圆周运动的向心力；5．惯性系和非惯性系。◆本章教学重点1．牛顿运动定律的应用；2．圆周运动向心力解决问题。◆本章教学难点1．隔离法解决力学问题；2．惯性系和非惯性系的区别。◆本章学习方法建议及参考资料1．注意掌握各种力的分析计算及条件；2．讲授过程中注重解题思路的训练。参考资料东南大学等七所工科院校编，《物理学》，高等教育出版，1999年11月第4版

§2.1牛顿运动定律一、牛顿第一定律1．表述任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。2．本质规律物体运动的惯性。由牛顿第一定律可知，物体之所以静止或作匀速直线运动是由于物体的本性造成的。这种本性叫做物体运动的惯性。惯性的大小可以使用一个物理量—质量来描写。这个质量也称为物体的惯性质量。物体质量越大，惯性越大，保持原有运动状态的本领越强。牛顿第一定律阐明了力是改变运动状态的原因，而不是维持物体运动状态的因素。二、牛顿第二定律1．表述物体受到外力的作用时，物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，并与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力的方向相同。2．公式表示F=ma上式是矢量形式的，也叫做牛顿运动方程。牛顿运动方程在固定直角坐标系和自然坐标系中它的分量式分别可以表示为：和。3．注意事项（1）只适用于质点的运动。（2）牛顿第二定律表达了F和a的瞬时关系。。物体在t时刻具有的加速度与同一时刻所受的力大小成正比，方向相同，并且表现为时间t的函数。（3）它符合力的叠加原理。当几个外力同时作用于物体时，其合外力所产生的加速度a，与每个外力所Fi所产生的加速度ai的矢量和是一样的，这就是力的叠加原理。式中是第i个分力，上式称为力的叠加原理。在大多数情况下，物体同时受到多个力的作用，F表示合力，a表示合力作用产生的总加速度。三、牛顿第三定律1．表述作用力和反作用力在同一直线上，大小相等而方向相反。2．公式表示F＝－F＇3．作用力和反作用力的特点作用力和反作用力是矛盾的两个方面，同时产生同时消失；作用力和反作用力分别作用在两个物体上，不能相互抵消；它们是同一性质的力。即如果是作用力是弹性力，则反作用力也是弹性力。

§2.2力学单位制和量纲在物理学中，物理方程式中出现的物理量最终将表现为以一定单位测出的数值。因此，物理方程式要和一定的单位规定相联系，这就牵涉到单位制和物理量的量纲问题，这一节将就力学中的单位和量纲进行讨论。一、基本单位和导出单位单位制物理学中的物理量，通常都包含数值和单位两部分，只有少数的物理量是没有单位的纯数。由于物理量之间存在着规律性的联系，所以没有必要对每个物理量的单位都进行规定，可以选取一些物理量作为基本量，对这些选为基本量的物理量规定其单位，这些单位称为基本单位。不直接规定其单位的物理量称为导出量，其单位可由该物理量和基本量的关系推导出来，称为导出单位。还有一些不能归类到基本单位或导出单位的单位称为辅助单位。不同的基本单位、导出单位和辅助单位就形成不同的单位制。二、国际单位制和力学中常见的单位制1．国际单位制1960年第11届国际计量大会通过了国际单位制，制定了基本单位、导出单位和辅助单位，并选择了7个量为基本量。1984年2月27日，国务院颁布实行以国际单位制（SI）为基础的法定单位制。基本量基本单位单位表示长度米m质量千克kg时间秒s电流安培A温度开尔文K物质的量摩尔mol光强度坎德拉cd在国际单位制中，对平面角的单位rad（弧度）和立体角Sr（球面度）并示指定它们是基本单位还是导出单位，且可随意将它们作为基本单位或导出单位。2．物理量纲导出单位取决于基本单位及导出量和基本量关系式的选择。导出单位对基本单位的依赖关系称为该导出量的量纲式。在SI制中，我们用L、M、T分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲。其他力学量Q都可以写出以下的关系式[Q]＝LpMqTr在物理量Q的量纲中，指数p、q、r称为Q的量纲，有时也直接把量纲式简称为量纲。例如速度、加速度、力和动量的量纲可以分别表示为[v]＝LT－1，[a]＝LT－2，[F]＝MLT－2，[P]＝MLT－1量纲在物理学中很重要，可以用量纲来检验表达式的正确性，因为只有量纲相同的量才可以加减或相等，如果一个表达式中各项的量纲不全相同，就可以肯定这个表达式有错。当然，只是量纲正确，并不能保证结果就一定正确，因为还可能出现数字系数的错误。

§2.3牛顿定律的应用一、力学中常见的力1．万有引力万有引力定律：任何两个质点之间都存在互相作用的引力，力的方向沿着两质点的连线；力的大小与两质点质量m1和m2的乘积成正比，与两质点之间的距离r的平方成反比，即式中为方向的单位矢量。负号表示与方向相反，表现为引力。G为引力常量，G=6.67×10–11m3/kg×s2。m1、m2称为物体的引力质量，是物体具有产生引力和感受引力的属性的量度。四种基本的自然力力的种类相互作用的物体力程力的强度万有引力全部粒子10–34N电磁力带电粒子102N强力夸克<10–15m104N弱力大多数（基本）粒子<10–17m10–2N2．重力重力是地球表面附近的物体受到的地球作用的万有引力。若近似地将地球视为一个半径R，质量mE的均匀分布的球体，质量为m的物体作质点处理，则当物体距离地球表面h（h<<R）高度处时，所受地球的引力（重力）大小为。g为重力加速度，数值上等于单位质量的物体受到的重力，故也可称为重力场的场强。在一般的学习性计算中g取值为10ms-2。3、弹力两个物体彼此相互接触产生了挤压或者拉伸，出现了形变，物体具有消除形变恢复原来形状的趋势而产生了弹力。实验表明，在弹性限度内，弹簧产生的弹性力与弹簧的形变（拉伸量或压缩量）成正比，即F＝－kx式中k是弹簧的劲度系数，表示使弹簧产生单位长度形变所需施加的力的大小，它与弹簧的材料和形状有关。4．摩擦力摩擦力也是普遍存在的，并在我们的生活和技术中产生重要作用。在桌面上滑动的物体，由于摩擦力的存在，其运动速度会逐渐减小，机床和车轮的转轴，由于摩擦力的作用，会逐渐磨损。但是，如果没有摩擦力，我们的一举一动都会变得不可思议了，人无法行走，车子无法行驶，即使将车子开支起来也无法使它停止，连吃饭都变得十分困难了。当一个物体在另一个物体表面上滑行或有滑行趋势时，在这两具物体的接触面上变会产生阻碍物体间做相对滑动的力，这种力叫摩擦力。当物体有滑动趋势但尚未滑动时，作用在物体上的摩擦力称为静摩擦力。静摩擦力的大小与外力的大小相等，而方向相反。静摩擦力经验告诉我们，在外力F逐渐增大到某一值之前，物体一直能保持对地静止，这说明在外力F增大的过程中，静摩擦力FS也在增大，因此，静摩擦力是有一个变化范围的。当外力F增至某一值时，物体开始对地滑动，这时静摩擦力也达到最大，以后变为滑动摩擦力，实验表明，最大静摩擦力与两物体之间的正压力FN的大小成正比：

为静摩擦因数，与接触物体的材质和表面情况有关。由以上分析可以知道，静摩擦力的规律应为：滑动摩擦力滑动摩擦力的大小与物体的材质、表面情况以及正压力等因素有关，一般还与物体的相对运动速率有关。与相对速率v的关系可以粗略地用下图表示。在相对速度不是太大或太小的时候，可以认为滑动摩擦力的大小与物体间正压力FN的大小成正比：

二、牛顿定律的应用举例1．应用牛顿定律解决质点动力学问题的三大类型第一类是已作用于质点的力，求质点的加速度或运动情况；第二类是已知物体加速度，求作用于质点的力；第三类是已知作用于质点的某些力和运动学条件，求质点所受到的另一些力和质点的运动情况。2．应用牛顿定律解决力学问题的基本思路（1）选择研究对象在了解有关问题的物理现象的基础上，选出一个或几个物体作为“隔离体”或研究对象，分析周围环境对它们的作用力和隔离体的运动情况。（2）分析运动状态分析所认定的隔离体的运动状态，包括它的轨道、速度和加速度，问题涉及几个隔离体时，还要找出它们运动之间的联系，即它们的速度呀加速度之间的关系。（3）画出受力图对选择的隔离体进行受力分析，画出简单的受力示意图，表示隔离体受力情况与运动情况。（4）建坐标列方程建立适当的坐标系，在图中注明坐标轴方向，把上面分析出的质量、加速度和力用牛顿运动定律联系起来，列出方程式。在方程式足够的情况下就可以求解未知量了。3．应用举例[例1]英国剑桥大学物理教师阿特伍德,善于设计技巧的演示试验,他为验证牛顿第二定律而设计的滑轮装置,称作"阿特伍德机"。研究它需建立理想模型，在理论模型中，重物和可视为质点；滑轮是理想的,求重物释放后物体加速度及物体对绳的拉力。解：选地球作为惯性参考系研究对象分别为m1、m2xmxm1m2m1gm2g受力分析：m1:m2:由牛顿第二定律列方程由牛顿第三定律列方程坐标分量式①②绳不伸长，，解得：

[例2]质量为m1倾角为q的斜块可以在光滑水平面上运动。斜块上放一小木块，质量为m2。斜块与小木块之间有摩擦，摩擦因数为m。现有水平力F作用在斜块上，如图(a)所示。欲使小木块m2与斜块m1以相同的加速度一起运动，水平力F的大小应该满足什么条件？解：分别以m1、m2为研究对象，隔离物体受力分析如图。由题意分析，如果水平力F过小从而加速度a过小，小木块m2有沿斜面下滑的趋势，此时斜块对小木块的静摩擦力沿斜面向上，如图(b)所示。如果水平力F过大从而加速度a过大，小木块就有沿斜面上滑的趋势，此时小木块受到的静摩擦力沿斜面向下，如图(c)所示。下面分别就两种情况列方程。(1)小木块m2有沿斜面下滑的趋势。对照图(b)，小木块受力有重力G2，斜面对它的正压力FN，斜面对它的静摩擦力FS，按图示坐标，有：(1)(2)斜块受力有重力G1，水平力F，小木块给予的正压力FN，小块只沿水平方向运动，故只需列出x方向的方程就可以了。

(3)再考虑到m1、m2相对静止，摩擦力为静摩擦力应有：(4)联立求解（1）～（4）式，可得：(2)小木块m2有沿斜面上滑的趋势。参照图(c)，对小木块除了静摩擦力FS改为沿斜面向下外，其它力方向不变，因此应用(1)(2)对斜块，静摩擦力改为沿斜面向上，在x方向上有：(3)静摩擦力FS仍然应满足：(4)联立求解(1)～(4)式，可得：因此，水平力F的大小应满足[例3]一质量为m的物体从高空中某处由静止开始下落，下落过程中所受空气阻力与物体速率的一次方成正比，比例系数c>0。求①物体落地前其速率随时间变化的函数关系。②物体的运动方程。解：①选定该物体作研究对象，受力分析如上图。物体受重力G，空气阻力，负号表示与速度方向相反。以物体开始下落时为计时起点和坐标原点，取y轴竖直向下，牛顿第二定律方程为：考虑到此题是在已知力的情况下求速率v与时间t的关系，因此应将代入上式，或者直接列出牛顿第二定律的微分形式，两种方式都可得到：稍作化简，令，得：这是一个关于速率v与时间t的一阶微分方程，需要用积分的方法求解。先分离变量考虑到积分时需要确定积分限，还应从题意中给出初始条件。根据计时起点和坐标原点的确定，初如条件为t=0时，，，现在对上式两边积分并将初始条件代入：积分得：解出物体速率随时间变化的函数关系为：此式表明，在下落的前期，物体的速率随时间t增大，由于空气阻力也同时增大，因此速率的增大将逐渐变缓，当经历了相当长的时间后可近似认为，，速率将趋于一极限值，称为极限速率，此后物体将以极限速率匀速运动，例如下雨时从高空中坠落的雨滴就可采用这一物理模型进行讨论。②根据①求出的结果及，有：分离变量并将初始条件代入作为积分限：积分可得物体的运动学方程：

§2.4圆周运动的向心力一、圆周运动的向心力1.匀速圆周运动的动力学方程在上一章已经讨论过，当物体做匀速圆周运动时，物体只具有向心加速度，其方向始终指向圆心。根据牛顿第二定律，有Fn＝man2．匀变速圆周运动的动力学方程当物体做匀变速度圆周运动时，物体的加速度a可以分解成向心加速度（法向加速度）an和切向加速度at，即a=an+at因此，由牛顿第二中知，做变速圆周运动的物体所受各力的合力F为F＝man+mat显然，向心力Fn为切向力Ft在变速圆周运动中，向心力使物体不断地改变运动方向，沿着圆周运动，切向力使物体的速率发生变化。二、圆周运动动力学方程的举例有一长为R的细绳，一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，令小球绕O点在重力作用下于一竖直面内做圆周运动，若欲使小球位于最高点时，绳的张力为0而小球又不离开圆形轨道下落，其速率应为多大？并求出此条件下小球在轨道上任一位置的速率和绳中的张力。解：以小球为研究对象，受力分析如图，根据牛顿第二定律（1）当小球位于最高点时，其法向力应为小球的重力与绳的张力之和，根据题意，绳的张力此时为零，所以可得小球在最高点时的速率（2）当小球在任一位置时，如图所示，设绳与竖直方向成θ角，则此时的分量式为其中则根据已知条件当θ＝0时，则两边积分可得代入分量式中，得

§2.5惯性系和非惯性系一、惯性系力学的相对性原理1．惯性系在运动学中，按照研究问题的方便，参考系的选择可能是任意的，但是应用牛顿运动定律时，参考系却不能任意选择，因为牛顿运动定律并非在任何参考系中都适用。例如，当两人同时从一平台上跳下来时，如各自以自身为参考系，观察对方的运动，会发现对方是静止的，按照牛顿第一定律，他不应受到力的作用，然而每个人都确实受到重力的作用，与牛顿第一定律发生矛盾。又如，我们坐在加速运动的汽车里时，以车厢为参考系观察周围的现象，将看到路边的树木、房屋朝后方加速运动，但它们确实未受到任何推动力，故在加速运动的车厢里观察的现象，也与牛顿第一定律不符。可见，并非对一切参考系牛顿第一定律都成立。牛顿第一定律成立的参考系为惯性参考系，否则为非惯性系。牛顿第一定律只能在惯性系中才适用。要确定一个参考系是不是惯性系，只能依靠观察和实验。一般来说，地球并不是严格的惯性系，由于地球对太阳的向心加速度以及地面上的物体对地心的向心加速度都比较小，所以地球仍可近似看成惯性系。如果一个参考系相对于某个惯性系静止或做匀速直线运动，在惯性系中静止或做匀速直线运动的质点，在这个参照系中也必然静止或做匀速直线运动。因而，相对于惯性参考系静止或做匀速直线运动的任何其他参考系也一定是惯性系。在一切惯性参考系中，一切力学现象都是相同的，即物体所遵从的力学规律完全相同――称为力学的相对性原理或伽利略相对性原理。2．惯性力非惯性系：牛顿第一定律不成立的参考系，叫非惯性系；反过来说，相对于已知惯性系做加速运动的参考性，一定不