线性方程组有解的判别定理

线性方程组有解的判别定理线性方程组有解的判别定理在第三章中，我们将具有m个方程n个未知数的齐次线性方程组（4-8）写成矩阵形式为AX=0（4-9）其中这里的m×n矩阵A被称为线性方程组（4-8）的系数矩阵.如果将矩阵A按列分块写成A=(β1,β2,…,βn)

其中βi=(a1i,a2i,…,ami)T，i=1,2,…,n，那么线性方程组（4-8）可以改写成向量形式

β1x1+β2x2+…+βnxn=0（4-10）在前面我们给出了线性方程组解的概念.一个含有n个未知数的线性方程组的解是n维向量，因此，我们也将线性方程组的解称为解向量.为了表述一致，通常也将方程组的解写成列向量形式.那么一个n维向量α=(c1,c2,…,cn)T是齐次线性方程组AX=0的解，当且仅当α满足其中向量表达式只是一种形式的表达.由向量线性相关性的定义，我们有如下结论.定理4-3

齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是方程组系数矩阵A的列向量组β1,β2,…,βn是线性相关的.推论4-3

齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是方程组系数矩阵的列向量组β1,β2,…,βn是线性无关的.利用矩阵的秩的概念，可以将前面对齐次方程组解讨论的结果表述为下面的定律.定理4-4齐次线性方程组有非零解的判别定理）齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A的秩R(A)<n.推论4-4

如果齐次线性方程组AX=0中的方程个数m小于未知数个数n，那么方程组必有非零解.由于对于一个n阶方阵A，|A|≠0当且仅当R(A)=n，则有下面的推论.推论4-5

如果齐次线性方程组AX=0中的方程个数m等于未知数个数n，即系数矩阵A是一个方阵，那么方程组AX=0有非零解的充分必要条件是|A|=0.上面的结论及求矩阵的秩的方法说明：判断一个给定的形如AX=0的齐次线性方程组是否有解，首先观察其方程个数m是否小于未知数个数n，如果m<n，方程组有非零解；否则，对方程组的系数矩阵A进行初等行变换，将A化成行阶梯形矩阵B，再观察B的非零行个数r（这个数即为矩阵A的秩），若r<n，则方程组有非零解，而若r=n，则方程组只有零解.利用矩阵的秩的概念，可以将上一章关于非齐次线性方程组的结果表述为下面的定理.定理4-5（非齐次线性方程组有解的判别定理）非齐次线性方程组AX=β有解的充分必要条件是它的系数矩阵A的秩与增广矩阵A的秩相等，即R(A)=R(A)，且(1）当R(A)=R()=n时，方程组存在唯一解.(2）当R(A)=R()<n时，方程组存在无穷多组解.由于对于一个n阶方阵A，|A|≠0当且仅当R(A)=n，则有下面的推论.推论1-2

如果非齐次线性方程组AX=β中的方程个数m等于未知数个数n，即系数矩阵A是一个方阵，那么当|A|≠0时，方程组AX=β存在唯一解.证明因为0≤R()≤n，且n=R(A)≤R()，故R(A)=R()=n.推论即为克莱姆法则给出的结论.因此，一个给定的非齐次线性方程组AX=β解的情况判别步骤如下：首先，对方程组的增广矩阵进行初等行变换，将化成行阶梯形矩阵C.然后，观察C的非零行个数（这个数即为矩阵的秩），是否等于C除去最后一列剩下的矩阵的非零行个数（这个数即为矩阵A