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微分方程的基本概念微分方程的基本概念一曲线通过点(0,1)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2sinx，求该曲线的方程.解根据导数的几何意义可知，所求曲线y=y(x)应满足方程此外，未知函数y=y(x)还应满足条件x=0时，y=1.对方程(12-1)两端积分，得【例1】(12-1)微分方程的基本概念其中C是任意常数.由条件x=0时，y=1得C=3，把C=3代入式(12-2)，即得所求曲线方程y=－2cosx+3.从几何图形上看y=－2cosx+C是一族曲线，而所求曲线y=－2cosx+3是这族曲线中通过点(0,1)的那一条曲线.(12-2)微分方程的基本概念质量为m的物体在时刻t=0时自高度为h0处落下,设初速度大小为v0，方向向下,不计空气阻力,求时刻t物体距地面的高度h.解设物体与地面的距离h与时间t的关系为h=h(t),如图12-1所示.【例2】图12-1微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念含有未知函数的导数或微分的等式，称为微分方程.未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程.微分方程中出现的各阶导数的最高阶数，称为微分方程的阶.如例1中的微分方程y′=2sinx是一阶微分方程，微分方程y″+2y′－3y+2x=0是二阶微分方程.一般地，n阶微分方程的形式是F(x,y,y′,…,y

(n))=0.(12-3)这里必须指出，在方程(12-3)中，y

(n)是必须出现的，而x,y,y′,…,y

(n－1)等变量则可以不出现.例如，n阶微分方程y

(n)+1=0中，除y

(n)外，其他变量都没有出现.定义1微分方程的基本概念如果能从方程(12-3)中解出最高阶导数，则得微分方程y(n)=f(x,y,y′,…,y(n－1)).(12-4)以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且式(12-4)右端的函数在所讨论的范围内连续.微分方程的基本概念如果一个函数代入微分方程后，方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解.求微分方程解的过程，称为解微分方程.如例1中，y=－2cosx+C，y=－2cosx+3都是微分方程y′=2sinx的解.定义2微分方程的基本概念如果微分方程的解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称这样的解为微分方程的通解.在通解中给任意常数以确定的值或通过附加条件确定通解中的任意常数而得到的解，称为微分方程的特解.定义3微分方程的基本概念确定微分方程通解中任意常数的题设条件或附加条件，称为微分方程的初始条

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