矩阵的概念课件

矩阵的概念矩阵的概念矩阵在科学计算和日常生活中经常用到，首先看几个例子：设有线性方程组：【例2-1】该方程组中每个方程的未知量x1，x2，x3，x4的系数及等号右端的常数项按方程组中的顺序可以组成一个4行5列的矩形数表,如下：这个矩形数表决定了该方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题．因此，对线性方程组的研究就可以转换为对这个矩形数表的研究．

考虑产品的调运问题．设某种产品有3个产地A1，A2，A3和4个销地B1，B2，B3，B4，且从产地Ai（i=1,2,3）到销地Bj（j=1,2,3,4）的调运方案如表2-1所示.【例2-2】则表中的数据按照原有位置可组成一个矩形数表：该数表简明地描述了从每个产地运往每个销地的产品数量，我们可以称其为产品的供销矩阵．已知某厂生产m种产品需要n种材料．假设生产第i种产品（i=1，2，…，m）所需第j种材料（j=1，2，…，n）的数量为aij，则该厂生产过程中的耗材数量可以用一个矩形数表表示：【例2-3】这个数表描述了生产过程中产出的产品与投入的材料之间的数量关系．由上述例子可以看出，这种矩形数表在现代管理、自然科学等领域中是会经常遇到的，其被称为矩阵．定义2-1将m×n个数aij（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形数阵（为了标明这是一个整体，将其括以圆括号）（2-1）称为一个m行n列矩阵，或者简称为m×n矩阵，在不发生混淆的情况下，也简称为矩阵.通常用大写黑体字母A,B,C,…或(aij

),(bij

),(cij),…表示矩阵.矩阵的行数、列数标明了矩阵的形状.于是，有时为了标明矩阵的形状，也将m×n矩阵记为Am×n,Bm×n,Cm×n,…或(aij)m×n

,(bij)m×n,(cij)m×n

,….这样可以将上面式（2-1）的矩阵简记为A=(aij)m×n，数aij（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）称为矩阵的第i行第j列元素.要注意矩阵符号与行列式符号的区别.当矩阵的元素均为实数时，称其为实矩阵；当元素均为复数时，称这个矩阵为复矩阵.本书中，如果没有特别说明，矩阵都是指实矩阵，并且将实数域上的所有m×n矩阵的集合记为Mm×n(R).当一个矩阵的行数和列数相等，即m=n时，称这个n×n矩阵为n阶方阵或n阶矩阵.将实数域上的所有n阶方阵的集合记为Mn(R).提示下面给出几种特殊形式的矩阵.所有元素均为0的m×n矩阵称为零矩阵，记为Om×n.在不发生混淆情况下，也可以简记为O.将1行n列的矩阵(a1,a2,…,an)称为行矩阵或行向量.这里我们在元素之间加了逗号，主要是为了避免发生混淆.将m行1列的矩阵称为列矩阵或列向量.通常用黑体希腊字母α,β,…表示列矩阵（向量），而用αT,βT,…表示行矩阵（向量）.在本书中，如果没有特别说明，涉及的向量均指列向量.对于一个n阶方阵将a11,a22,…,ann

所在的那条对角线称为矩阵A的主对角线，而另外一条对角线称为矩阵A的副对角线，即a1n,a2,n－1,…,an1所在的对角线.将主对角线以下都是0的n阶方阵称为n阶上三角矩阵，即当i>j时，aij=0，也就是形如（2-2）的矩阵.将主对角线以上都是0的n阶方阵称为n阶下三角矩阵，即当i<j时，aij=0，也就是形如的矩阵.（2-3）对于上（下）三角矩阵，对角线下（上）方的元素必为0，而其他位置的元素可以为0，也可以不为0.提示将除了主对角线以外元素全为0的n阶方阵称为n阶对角矩阵，即形如的矩阵，通常将这个对角矩阵简记为（2-4）显然，对角矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵.特别地，当对角矩阵的对角线上的元素都相等，则称这个矩阵为n阶标量矩阵；更特别地，对角矩阵的对角线上的元素都等于1，则称这个矩阵为n阶单位矩阵，简记为En，在