2021年全国高考甲卷数学（理）试题（解析版）

2021年全国高考甲卷数学（理）试题

1.设集合M={H0vxv4},N=.1；《冗《5卜则MP1N=()

1，

A.<xO<x<—•B.<x-<x<4>

33

C.{A|4<X<5}D.1x|O<x<5}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为M={x|0vxv4},N={jd』VxV5},所以"cN=Wx<4»,

3I3.

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得

根据比频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】c

【解析】

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应

的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.

【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可

作为息体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确：

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

3x0.02+4x0.044-5x0.10+6x0.14+7x0.204-8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68（万元），超

过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率

的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均

频率

值的估计值.注意各组的频率等于X组距.

丽

3.已知(1—i)2z=3+2i,则2=()

3333

A.-1--zB.-1+—fC.——+zD.------i

2222

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得z=—根据复数除法运算法则，即可求解..

-2i

【详解】(l-i)2z=-2iz=3+2i,

3+2/(3+2/)-/-2+3，।3.

z=------=------------=---------=-1+-/.

-2i-2ii22

故选：B.

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录

视力数据,，五分记录法的数据/和小数记录表的数据/的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法

的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（啊BI.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】

分析】根据关系，当L=4.9时，求出IgV,再用指数表示丫，即可求解.

【详解】由L=5+lgV,当L=4.9时，lgV=-0.1,

]11

则丫=10°」=107=」*-----a0.8.

胸1.259

故选：C.

5.已知小"是双曲线c的两个焦点，夕为c上一点，且/片『g=60。,仍用=3俨q，则c的离心率为

（）

A.—B.—C.近D.V13

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|「娟,|产鸟|,结合余弦定理可得答案.

【详解】因为|尸用=3|刊讣由双曲线的定义可得|尸周一|尸园=2|尸周二2，

所以|P闾=〃"尸制=3a；

因为=60。，由余弦定理可得4c2=9«2+a2-2x3i?^cos60°，

整理可得4。2=7/,所以/=£.=1,即e=立.

a242

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立©C间的等量关系是求解的关键.

6.在一个正方体中，过顶点力的三条棱的中点分别为区F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多

面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

故选：D

7.等比数列｛4｝的公比为6前〃项和为S”，设甲：q>0,乙：｛5〃｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

-B

【解析】

【分析】当4>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛s,｝是递增数列时，必有4>0成立即可

说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】由题，当数列-2,-4,-8,・・・时，满足q>0,

但是⑸｝不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛SJ是递增数列，则必有%>0成立，若乡>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则4>0

成立，所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过

程.

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m),三角高程测量

法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测星法的一个示意图，现有4B,C三点，且46,C在同

一水平面上的投影满足NACg=45。，NA'BV=60。.由。点测得3点的仰角为15。，BB'与

CC的差为100；由8点测得4点的仰角为45。，则4C两点到水平面48C'的高度差AA—CC约为

(V3«1.732)()

C.446D.473

【答案】B

【解析】

【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得48'，进而得到答案.

A

详解】

过C作CH_L33',过8作班)J_AA'，

故CC=8")=AV-89+100=AD+100,

由题，易知△4)8为等腰直角三角形，所以A£)=OB.

所以A4」CC'=03+100=A'3'+100.

inn

因为N5C”=15。，所以C〃=C'8'=------

tan15°

在“TB'。中，由正弦定理得：

45'_CE_100_100

sin450-sin75°-tanl50cosl5°.sin15°'

而sin150=sin(45°-30°)=sin450cos30°-cos450sin30°=瓜心

100x4x—

朋以A'3'=—=-=2-=100(X/3+1)»273,

V6-V2

所以A4:CC'=AB+100p373.

故选:B.

【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为⑷9+100

(八乃、ccosa

9.若aw0,—Ltan2a=-——；——，贝］tana=()

I2J2-sina

A.姮B.叵C.如D.巫

15533

【答案】A

【解析】

qin2a2sinotcosciI

【分析】由二倍角公式可得tan2a-再结合已知可求得sina二二,利用同角三

cos2al-2sm-af4

角函数的基本关系即可求解.

ccosa

（详解】•/tan2a=-------

2-sina

_sin2a2sinacosacosa

tan2a=------=--------——=-------，

cos2al-2sin~a2-sina

ae（0,cosaw0,——=---!----,解得sina=~,

12）l-、2‘s访i：n2a2-sina4

A—r-;-V15sinaV15

cosa=VI-sina=---，tana-----=-----

4cosa15

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.

10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1224

A.-B.-C.-D.一

3535

【答窠】C

【解析】

【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

【详解】将4个1和2个。随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有C；=5种排法，若2个。不相邻，则有C；=10种排法，

所以2个0不相邻的概率为一二二］.

5+103

故选：C.

11.已如儿B,。是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC_LBC,4C=8C=1,则三棱锥O-ABC

的体积为（）

A应R6c近n6

A.--D.C.D.

121244

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得△A6C为等腰直角三角形，得出△A6C外接圆的半径，则可求得0到平面4BC的距

离，进而求得体积.

【详解】.・△ABC为等腰直角三角形，=夜，

则△力外接圆的半径为变，又球的半径为1,

2

设。到平面ABC的距离为d,

所以%1SA"•d=LX，X1X1X—=­­

332212

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面

距离的勾股关系求解.

12.设函数/(/)的定义域为R,〃x+l)为奇函数，,f(x+2)为偶函数，当xe[L2]时，

,、，(9

f(x)=ax2+b.若/(0)+/⑶=6,则/-=()

\/

-27

BC.-D

4-"141

【答案】D

【解析】

【分析】通过/(x+1)是奇函数和/(戈+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式/(工)=-2炉+2,进

而利用定义或周期性结论，即可得到答案.

【详解】因为/(工+1)是奇函数，所以/(一1+1)=-/(工+1)①;

因为/(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=—/(2)=-(4〃+〃)，由②得：/(3)=/(1)=〃+〃,

因为/(0)+/(3)=6,所以一(4a+b)+a+力=6=a=-2,

令1=0,由①得：/(1)=—/(l)=/(l)=0=b=2,所以/(x)=_2f+2.

思路一：从定义入手.

一噌卜一吗

所以喧H图二|

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/(X)的周期7=4.

所以尼卜噌卜/图惠

故选：D.

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计

算的效果.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y二一二在点(-1,-3)处的切线方程为__________.

x+2

【答案】5x-y+2=0

【解析】

【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.

【详解】由题，当x=T时，y=-3,故点在曲线上.

2(x+2)—(2x—1)5

求导得：y'

(x+2)2-(x+2)2所以y'l.v=-i=5.

故切线方程为5x—y+2=O.

故答案为：5x-y+2=0.

14.已知向量5=(3,1)石=(1,0),2=£+攵尻若Z_L",则4=_______.

…小10

【答案】一二■.

3

【解析】

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量乙的坐标，利用向量的数量积为零求得2的值

【详解】,.•5=(3,l),^=(l,0),..c=a+^=(3+A:,l),

­.­alc,.*.«^c=3(3+A:)+lxl=0,解得出二一号，

故答案为：一不~.

3

【点睛】本题考杳平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

万=（%，y）%=（乙，%）垂直的充分必要条件是其数量积X\X2+）'l）'2=°•

22

15.已知耳,鸟为椭圆G粉+?=1两个焦点，月0为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|二忸闾，

则四边形尸耳。鸟的面积为

【答案】8

【解析】

【分析】根据己知可得26设1尸61=皿1尸61=〃，利用勾股定理结合根+〃=8,求出机〃，四

边形尸片。K面积等于根〃，即可求解.

【详解】因为尸，。为C上关于坐标原点对称的两点，

且IPQH4入I,所以四边形尸:Q4为矩形,

设|PFt|=m,\PF2\=n，则/+〃=8,+〃2=4§,

所以64=（加+〃）2=W2+2mn+/?2=48+2mn,

〃仞=8,即四边形尸用2鸟面积等于8.

故答案：8.

16.已知函数/（x）=2cos（〃沈+9）的部分图像如图所示，则满足条件

/（笛-/卜子））/（%）-/（与）＞0的最小正整数X为_______♦

【解析】

【分析】先根据图象求出函数/(X)的解析式，再求出/(-一),/(一)的值，然后求解三角不等式可得最小

43

正整数或验证数值可得.

【详解】由图可知37二四一二二型，^T=—=7T,所以口=2；

41234co

由五点法可得2xf+e=],即°=一2；

326

所以『(X)=2cos(2x—看).

「、，£，7兀、.(11兀、.几、_/5兀、八

因为/(--)=2cosl---1=1,/(y)=2cosly1=0；

7TC47t

所以由(/(x)-/(-y))(/(x)-/(y))>0可得/«>1或f(x)<0；

因为7(1)=2cos(2<2cosf———=1,所以，

\6/\26/

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/(x)<。，即cos(2x-m)<0,

解得女兀+色<X<人兀+变,ZEZ,令人二0,可得巳<彳〈区,

3636

可得X的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足/(幻<0,又f(2)=2cos(4-^|<0,符合题意，可得x的

最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解。，根据特殊点求解心

三、解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分

别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(++c)(b+d)

P（K、k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）75%；60%；

（2）能.

【解析】

【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可

【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为埋=75%,

200

120

乙机床生产的产品中的一级品的频率为一=60%.

200

2

40()(150x80-120x50)=400>10>6,635>

⑵K2=

270x130x200x20039

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18.已知数列｛〃”｝的各项均为正数，记S”为｛q｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另

外一个成立.

①数列｛q｝是等差数列：②数列｛疯｝是等差数列；③生二34.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】选①②作条件证明③时，可设出底，结合凡,S”的关系求出4,利用｛4｝是等差数列可证

%=3。1；

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出疯，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时,设出疯=m+b，结合凡,S”的关系求出根据〃2=3《可求人然后可证｛《J

是等差数列.

【详解】选①②作条件证明③：

设y[s^t=an+b[a>0),则Sn=(〃〃+/?『，

2

当〃=1时，aA==(a+Z?)；

22

当〃22时，atl=Sn-Sn_｝=(«/?+Z?)-(az?-a+Z?)=a(2an-a+2b)；

因为｛qj也是等差数列，所以(々4b)2=a(2〃_a+2£>),解得b=0：

所以=々2(2〃-1),所以〃2=3q.

选①③作条件证明②：

因为出=3%,｛4｝是等差数列，

所以公差d=a2-a1=2《，

2

所以5”=Id=na],即y[S^t=»

因为7^7一底=日(〃+1)一师2=8，

所以｛£｝是等差数列•

选②③作条件证明①：

设伙。>0)，则5〃=(〃〃+/?『，

当〃=1时，q=£=(a+Z?)2；

22

当〃22时，an-Sn-Sn_t=(an+Z?)-(an-a+Z?)=a(2an-a-\-2b)；

因为出=3q,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得匕=0或〃=一与；

当人=0时，4=/，4=/(2〃_1),当〃之2时，a,f“=2/满足等差数列的定义，此时｛%｝为等差

数列;

当人=一当时，y[s^=an+b=an-^at廓=一]<0不合题意，舍去.

综上可知｛〃“｝为等差数列.

【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住己知条件，结合相关公式，逐步推演，等

差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.

19.已知直三棱柱ABC-A由G中，侧面44田田为正方形，AB=8C=2,£,尸分别为AC和Cq的中

点，〃为棱A片上的点.BF±A.B.

（1）证明：BFA.DE;

（2）当耳。为何值时，面BBC。与面。尸石所成的二面角的正弦值最小？

【答案】（1）见解析；（2）BQJ

2

【解析】

【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线

垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案.

【详解】因为三棱柱48C—4MG是直三棱柱，所以BgJ.底面A8C,所以BgJLAB

因为AB'/AB,BF1,所以

又BB、cBF=B,所以平面BCCM.

所以用两两垂直.

以4为坐标原点，分别以8ABe,8片所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

所以B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,g（0,0,2），A（2,0,2），G（0,2,2）,

E(l,l,0),F(0,2,l).

由题设。(〃,0,2)(OVa«2).

（1）因为游=（0,2,1）,诙=（1一。,1,一2）,

所以游•诙=0x(l—a)+2xl+lx(-2)=0,所以

（2）设平面。氏E的法向量为〃?=（x,y,

因为丽=(-1,1,1),诙=(1-41,一2),

mEF=0-x+y+z=0

所以一，即《

tfi-DE=0(l-tz)x+y-2z=0

令z=2-。，则历=（3/+。,2—。）

因为平面8CG用的法向量为丽=（2,0,0）,

设平面BCC.B,与平面DEF的二面角的平面角为J,

,小眄•明6

3

则cos。=彳|1=——I,

|m|-|BA|2xV2a2-2«+14/2〃2-2。+14•

i27

当〃二不时，2/一20+4取最小值为二

22

3_>/6

此时cos。取最大值为（27-3.

vT

所以（sin。）,=

\/mm

此时打。一

【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出。（。,0,2）（0WQK2）,在第二问中通过余弦

值最大，找到正弦值最小是关键一步.

20.抛物线。的顶点为坐标原点0.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于凡。两点，且。尸_LOQ.已知

点M（2,0）,且OM与/相切.

（1）求乙0M的方程；

（2）设A，&，4是C上的三个点，直线A4，A4均与0M相切.判断直线44与0M的位置关系，

并说明理由.

【答窠】（1）抛物线C:y2=x,0M方程为（x-2>+y2=i；（2）相切，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据已知抛物线与4=1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,。

坐标，由OPJ_OQ,即可求出P；由圆M与直线x=l相切，求出半径，即可得出结论；

（2）先考虑A4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由a,4三

点在抛物线上，将直线A4，A4，A24斜率分别用纵坐标表示，再由44,与圆M相切，得出

%+丫3，%,为与乂的关系，最后求出M点到直线A2%的距离，即可得出垢论.

【详解】（1）依颗意设抛物线C:y2=2px（〃>0）,P（l,yo）,Q（L—yo）,

-OP.LOQ,.\OPOQ=\-yl=l-2p=0,:.2p=\,

所以抛物线C的方程为V=x,

M（0,2）,OM与工=1相切，所以半径为

所以0M的方程为（x—2）2+V=1；

（2）设4（修,），4（工2，必），413，）’3）

若44斜率不存在，则44方程为x=i或x=3,

若A4方程为1=1，根据对称性不妨设A。，1），

则过A与圆M相切的另一条直线方程为y=L

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在人,，不合题意；

若A4方程为％=3,根据对称性不妨设A（3,△）,4（3,-6）,

则过A与圆M相切的直线AA为y—J5=¥*—3），

又Z--1—1

大一天y+必，3+、33

W=0,4（0,0）,此时直线AA，44关于x轴对称，

所以直线44与圆M相切；

若直线A4,AA3,斜率均存在，

,111

贝|J鼠4=-7-~7~，鼠人=---,

X+必H+必必+%

所以直线44方程为丁一乂=了干（工一办），

整理得不一（凹十%”+%%二°，

同理直线A4的方程为x-（y+%）＞+y[％=°，

直线44的方程为x-(y2+y3)y+y2y}=0,

|2+必必1i

与圆加相切'飞+9广

整理得(犬-1)£+2yM+3-^=0,

AA与圆M相切，同理（y；-Dy；+2y%+3-y；=o

所以为，为为方程（寸-1）丁+2凹〉+3-犬=。的两根,

2M3-x

%+旷3二--

Ji-1XT

M到直线44的距离为:

42+必为1.才-1

＞/1+(%+%)2Jl+(一『7

…L旧十1一8+!-1

J(y：-l)2+4y；W+1

所以直线A2%与圆M相切；

综上若直线44,44与圆M相切，则直线Azd与圆M相切.

【点睛】关键点点睛：(1)过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标(或横坐标)表示，将问题转化为

只与纵坐标(或横坐标)有关；(2)要充分利用的对称性，抽象出＞2+)'3，％・丁3与耳关系，把

%，%的关系转化为用),i表示.

Xa

21.已知。>0且awl,函数/(X)==(%>()).

(1)当4=2时，求/(力的单调区间;

(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.

(22

【答案】(1)0,一上单调递增;--,+00上单调递减；(2)(l,e)D(e,+x)).

Iln2ln2

【解析】

【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；

(2)利用指数对数的运算法则，可以将曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点等价转化为方程

乎二等有两个不同的实数根，即曲线y=g(x)与直线》=焉有两个交点，利用导函数研究g(x)的

单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到0＜W＜L发现这正好是

ae

。＜g(〃)＜g(e)，然后根据g(力的图象和单调性得到。的取值范围.

、%2x222、-f❷2、In222'(2-xln2)

【详解】(1)当。=2时，f(x)=^J(x)=-------厂手-------=-------/-------，

2(2")4

，229

令/'(力=。得二,当。＜不＜不二时,当“＞不二时'f(x)＜。,

m2m2m2

/21「2、

・•・函数在0,丁大上单调递增；丁不小上单调递减；

7Iln2ln2J

(2)=m=oxina=alnx=电^=^q,设函数g(x)Inx

x

贝Ug'(x)=M^，令g'(x)=。，得x"，

X

在(0,。内g<x)>0,g(x)单调递增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(x)单调递减；

•・g")〃s=g(e)=j

又g(l)=。，当x趋近于+00时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=/(X)与直线y=l有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线丁=扁有两个交点的充分必

要条件是0〈吆<L这即是Ovg(〃)<g(e),

ae

所以a的取值范围是乂0,+oo).

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较

难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，

利用数形结合思想求解.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.在直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为

p=2>f2cos0.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点力的直角坐标为(1,0),附为。上的动点，点2满足而=夜而，写出尸的轨迹G的参数方程，

并判断C与G是否有公共点.

【答窠】⑴(X-V2)2+/=2；⑵P的轨迹G的参数方程为「(。为参数)，,与

G没有公共点.

【解析】

【分析】(1)将曲线C的极坐标方程化为p2=2&0cos。，将X=pcos6,y=psin。代入可得;

(2)设P(x,y),设M(夜+J^cos。,、历sin。)，根据向量关系即可求得P的轨迹G的参数方程，求出

两圆圆心距，和半径之差比较可得.

【详解】(1)由曲线C的极坐标方程0=2播cos。可得。2=2⑦cos。，

将x=pcosay=psin。代入可得f+V=2后,即卜一夜丫+丁=2,

即曲线。的直角坐标方程为［一Ji)?+),2=2；

(2)设尸(x,y),设M(夜+0cos6,夜sin。)

AP=y/2AM

(x-1,y)=A/2(5/2+5/2cos6-1,&sin6)=(2+2cos0-2sin6),

x-l=2+2cos6-&口(x=3-&+2cos6

则tI〈，即〈，

y=2sin。［y=2sin。

故尸的轨迹G的参数方程为，入一3-夜+2cos'(6为参数)

y=2sin。

•・•曲线C的圆心为(J5,o),半径为正，曲线G的圆心为(3-收,0),半径为2,

贝IJ圆心距为3—2加，・・・3—2亚＜2—0，•••两圆内含，

故曲线C与&没有公共点.

【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M的参数坐标，利用向量关系求解.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

23.已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3］—|2x-1|.

(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;

（2）若f（x+a）Ng（x）,求a的取值范围.

【答案】（1）图像见解析；（2）aN?

2

【解析】

【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像;

（2）根据函数图像数形结和可得需将y=/（x）向左平移可满足同角，求得y=/（x+。）过时。

的值可求.

2-x,x<2

【详解】（1）可得f（x）=|x—2|=・cc，画出图像如下:

x-2,x>2

画出函数图像如下:

y

(2)f(x+a)=\x+a-2\t

如图，在同一个坐标系里画出/(x),g(R)图像，

y=/(x+〃)是y=f(x)平移了|/i|个单位得到,

则要使f(%+a)Ng(x),需将y=/(x)向左平移，即4>0,

f1AiiI

当y=/(x+〃)过4彳，4时，|-+«-2|=4,解得。=不或一-（舍去）,

/222

则数形结合可得需至少将y=/(x)向左平移日•个单位，a2U

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

2021年全国高考甲卷数学（理）试题

1.设集合M={H0vxv4},N=.1；《冗《5卜则MP1N=()

1，

A.<xO<x<—•B.<x-<x<4>

33

C.{x|4Kx<5}D.1x|O<x<5|

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.已知（l—i）2z=3+2i,则2=（）

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录

视力数据，五分记录法的数据£和小数记录表的数据，的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法

的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（而«1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知月，鸟是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且/£尸鸟=60。,|班|=3归用，则。的离心率为

（）

A.—B.—C.J7D.屈

22

6.在一个正方体中，过顶点/!的三条棱的中点分别为区F,G.该正方体截去三棱锥A-瓦G后，所得多

面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

7.等比数列｛4；｝的公比为s前〃项和为S“，设甲：4>0,乙：｛'｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量

法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有力，B,C三点，且4B,。在同

一水平面上的投影A,8',C'满足NAC8=45。，ZA^C=60°.由C点测得3点的仰角为15。，BB'与

CC”勺差为100；由8点测得力点的仰角为45。，则4。两点到水平面A8C的高度差AA'-CC约为

（1.732）（）

A

A.345B.373C.446D.473

"乃、"cosa…

9.若0,Ltan2a=.,P!Jtana-()

<2)2-sma

岳R有「小叵

A.----D.L.D.

15---------------------5-----------------------33

10.招4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（)

1224

A.B.-C.D.

3535

11.已如4B,。是半径为1的球0的球面上的三个点，且AC_L8cAe=BC=则三棱锥O—ABC

的体积为（）

BC

A.也得近