2021年4月阶段性检测-数学参考答案及评分细则

2021年4月阶段性检测

数学参考答案及评分细则

一、选择题

1-5：DCCAB,6—8：BCD

二、选择题

9.ACD10.ABDll.BD12.BCD

三、填空题

13./(x)=2sin(3x--)14.4

4

止4百8.会

1D.----71y—10.o3b

273

四、解答题

17.解：MBC中，由余弦定理知，b2+c2-a2=2bccosA,由

2b2cosA=(b1+c2-a2)(cosA-sinA),

所以，262cosZ=2bccos4(cos4—sin4),(1分)

由cos/wO即b=c(cos"-sin/)(2分)

由正弦定理知，1=s,"B得sin8=sinC(cos/一sin/),

csinC

所以，sin(/4+C)=sinC(cosA-sinA),(3分)

即sinAcosC+cosJsinC=sinCcosJ-sinCsinA,

所以，sinCcos/I=-sinCsint(4分)

因为sinZ00,所以cosc=-sine,所以tanc=-l,

3

又0＜。＜乃，所以。二二".（5分）

4

⑵若选择条件①，

因为sin8=（*,所以cos8=（1-sin8〉

（6分）

Vio

又sin<5JC=sin(5+C)=sinBcosC+cos5sinC=

"To"（7分）

荒二人厮以八厘=2加

由正弦定理知,（8分）

又D为BC中点，所以BD=Q.（9分）

在AJBC中，由余弦定理知AD2=AB2+BD?-2AB・BDCGSB,

得40二质.（10分）

若选择条件②I

因为AJ8C的面积S=4=；absinC=；〃bsin詈，所以。6=8血，（6分）

222

由余弦定理知c=（2而了=40=a+b-2^/＞cos—,（7分）

4

所以，a2+b2+42ab=40,

/+/+缶％=40

解得八a二=24五a=25/2

由＜或＜（8分）

ab=86b=4

因为8＞4,所以b＞a,所以1-7,又D为BC中点，所以CD=J5,（9分）

h=4

在AJC0中，AD2=CA2+CD:-2CA*CDcosC=\6+2-2x4xy/2cos—=26,

4

所以JD=V26.(10分)

18题评分细则：

⑴^n+l=2\+1..............................①

an=2S〃_1+1(〃>2)......................②.............................................1分

①-②得：

a“+i=3aM(w>2)--............................................................................2分

令n=l时,

4)=2tZ]+1=3=3al满足上式

%=3%(〃21)

，数列｛4｝是以外为首项,3为公比的等比数列。------------3分

qn~=3n-1......................................................................4分

=匕

s=%am1...............................................5分

“\-q1-32

注：没有验证为二3a扣1分

(2)证明：

3"-1

由①得：a„=3"T,Sit=

2

・“号

4.3"T=(

・•・4=q(r-i)(3--i)tr-1i31—)------------.......7分

—1

,1=bi+b?+…+"

2Z111111、

3288263"-13"+,-1

12c八

丁尸5..............................................9分

/.Tn<-------------------------------------------------------10分

3

又•••普为递增数列

<r<--------------------------------------------------12分

4"3

注：没有结论扣1分

19题.

(1)这60人年龄的平均数为

15x0.15+25x0.2+35x0.3+45x0.15+55x0.1+65x0.05+75x0.05=371分

前两组所占频率之和为(0.015+0.020)x10=0.35,

前三组数据频率之和为(0.015+0.020+0.030)xl0=0.65,

设中位数估计值为x,则0.35+0.030xl0x(x-30)=0.5,解得x=35.3分

(2)由题意可知，年龄在[50,60)内的人数为6,[60,70)内的人数为3,X的可能取值

有0,1,2,3...........................4分

3

p（x=o）=*cc=0型20=25

C；8421

C}C\4515

P（X=1）

C；8428

CgJ83

p（y=2）=

C；8414

r°r3

产（丫=3）=苛

56分（求概率共2分，错1个扣1分，扣完为止）

Xfi勺分布歹I」为

X0123

P51531

21281484

..........7分（若无求概率过程直接列表，则表中只要错1个数据就不得分）

45+36+3=1

84..................................8分

（3）由题意队伍中男士共75人，女士125人，则2x2列联表如下:

40岁以下40岁以上合计

男士304575

女士7055125

合计100100200

200x（30x55-70x45）2「4

100x100x75x125-,

...................10分（若计算正确，不列联表不扣分）

v4.8>3.841

.....................................11分

所以，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关...12分

20.评分细则:

(1)取4c中点D,连接OM小。

*：AA\=AC,AD=CM,Z.A\AC=AACM

g△4CM（1分）

ZAAiD=ZCAM

又：ZAAiD+ZAiDA=

/.ZCAM+ZA\DA=

：.AMrA]D（2分）

又・・ZMJ_48i小8i=4

・・・4W_L面小8WQ（4分）注不写48i=〃扣1分

又TNPu面/liBiND注不写NPu面AiBiND不扣分

：.AMA-PN（5分）

（2y：AB=ACt8c=2

：.AB2-\-AC1=BC1

：.AB±AC

：.AM±AB

yL'：AM（\AC=A

：.ABV^ACC\A\

：.ABLAA\

以力8,AC,44i为x,y,z建系(7分)

（注：建系过程无证明，只得结果1分）

Ml，1，0)A/(0,2,1)设尸“，0,2)f£[0,2]

设面MN尸的法向量=(x,yfz)

令x=l得1y=，z=（8分）

又面力8c的法向量=（0,0,1）

设面尸MN与面ABC所成角为。

则|cos0\=|cos<>|=||=J-------------------(9分)

P+(l+0/)2"+(2-/)2

令〃=2—1V/G[0,2]・・・u£[0,2]

icosa=

当〃=o时cos^=o不符合舍去

当时|cos例=

令加=|cos0\=

*.*(p(m)=18w2—6w4-2[»+8)递增

工9(z«)2贝)=(11分)

所以0<|cos"W

又为锐角，|cosa的范围为（0,]（12分）

21.(1)解•.•阿+|BN卜网+网=4>网

N的轨迹是以A,B为焦点的椭圆Aa=4,2c=2(2分)

a=2,b=拒,c=1

V22(4分)

w的方程为—+—v=1

43

注：1.不写N的轨迹扣一分，不写4>|AB|不扣分

2.没写a,b,c的值，直接写w的方程，若正确不扣分。

3.没中间过程，只有最后结果只得1分。

（2）由题意得F61,0；,直线匕（2的方程分别是:y=k1(x-l),y=k2(x-l)

设C&3,y3）,D（X4,yj

2

联立x2,y2.，得(3+4K2)x-8kx+4%：-12=0,

—H-------1

43

所以…=U行

则G(4窃-3%],(6分)

13+4M'3+4M1

同理H（4修*]（7分）

一3kl一3卜

3+4%；―3+4叱

所以生”=

4M必[(8分)

3+4匕2-3+4七2

由&+“2=_1得此“=[+占依+1）,（9分)

所以直线G”的方程为^+丁冬亍=（4+占+：]|\%、

3+4垢I4人3+明

(3、3

整理得y=&2+&+(x_i)+।(11分)

(3、(12分)

所以直线GH过定点

22.题评分细则：

，x,

(1)f(x)=(x^l)e-2axtf(\)=2e-2a=-2i------------1分

a=e+l,f(l)=e-a=-\-----------------2分

y+1=-2(x-l),^=-2x+l--------------------3分

注：1)直线方程不化简的不扣分

2)无过程的只有结果的只给结果1分

(2)方法一:

Zw_a(l±ln£+l_x)>0

由XX

心丝L壮%-R0对X>0恒成立

得XX

xex-a\nx-ax-a>0x>0

即对恒成立

xex-a(lnx4-x+1)>0x>0

即对恒成立

h(x)=xex-a(lnx+x+1)h(x)>0x>0

设即对恒成立_____________4分

。=0h(x)=xex>0x>0

①当时，对恒成立________________5分

h,(x)=(x+V)ex-a(\+—)=(x4-l)(ex--)=(x+l)^^———

xxx

a<0h\x)>0h{x}xG(0,+OO)

②当时，，在上为增函数

0<x<lh(x)=xex-a(\nx+x+1)<e-a(lnx+2)

当时，

-—2——2e

h(ea)<e-a(\nea+2)=e-ax—=0

a

不合题意---------------6分

a>0«x)=xex-axe(0,+co)

③当时，设在上为增函数

«0)=-〃<0/伍)=4(，-1)〉0

又

r

3x0e(0,a)z(x0)=0xoe°=a

所以使即

0cx</时，"x)<0,h\x)<0,力(x)为减函数

所以，当

%>/时，心)>0,力'(幻>0,〃(用为增函数

当

则当x=/时，

Xl

力mm(%)=M%)=xQe'-a(x0+lnx0+1)

Xvx(>

=xQe-a(lnxQe+1)

=a-a(lna+l)>0

所以alna<0

因为。>0

所以0<aW1-----------------------------7分

0<a<\

综上8分

注：此解法中有两处需要取点，若没有取点，用趋势表达的不扣分，两种方式都

没写的，最后总分中扣1分，若有一处写了，不扣分

方法二：

/(x)J+lnx、、八

:L-^-L-a(------+l1-x)>0

由XX

小二竺1—4（上叱+l-x）>0对X>0恒成立

得XX

xex-a\nx-ax-a>Qx>0

即对恒成立

xex-t/(lnx+x+1)>0x>0

即对恒成立

xex-a(\nxex+1)>0x>0

即对恒成立

t=xexxe(0,+oo)Z>0

设在上为噌函数，则

G(z)=r-a(lnz+l)G(r)>0t>0

并设问题转化为对恒成立___________4分

a=0G(t)=t>0t>0

①当时，对恒成立_______________5分

GXO=1--=—

tt

a<0G\t)>0GQ)te(0,+oo)

②当时，，在上为增函数

0<Z<1G(t)=t-a(lnt+[)<1-a(Int+1)

当时，

1_11_!j

G(ea)<\-a(\nea+l)=l-ax—=0

不合题意6分

a>00<f<a时，G'（r）<0,G（。为减函数

③当时，当

时，G'a）>O,G«）为增函数

当

则当f=a时,

Gmin⑺=G(a)=a-a(\na+l)>0

所以aIna<0

因为a>0

所以0<aW1-----------------------------7分

0<a<i

综上8分

注：此解法中有一处需要取点，若没有取点，用趋势表达的不扣分，两种方式都

没写的，最后总分中扣1分。

方法三'

f(x)A+\nx.、、八

------+l-x)>0

由xx

史二竺一4（11皿+l-x）>0对X>0恒成立

得XX

xex-a\nx-ax-a>0x>0

即对恒成立

xex-a(lnx+x+1)>0x>0

即对恒成立

yi”_〃(1+Inx+1)>0x>0

即对恒成立

/=x+lnxxe(0,+oo)teR

设在上为增函数，则

G(z)=d-〃(z+l)G(/)>0twR

并设问题转化为对恒成立—4分

a=0G(Z)=ez>0teR

①当时，对恒成立5分

a<0/<0G(t)=ela(t+1)

②当时，当时，

G(--l)<l-a(--1+1)=1-t7xl=0

aaa

不合题意--------------6分

a>0G'(t)=ef-atvlna时，G'(f)<0,G(。为减函数

③当时，当

”Ina时，G'(f)>0,G«)为增函数

当

则当f=In〃时，

Gmin(f)=G(lna)=a-a(lna+1)>0

所以aIna<0

因为。>0

7

所以0<Q<]-------------------------------------------------------分

0<a<l

综上8分

注：此解法中有一处需要取点，若没有取点，用趋势表达的不扣分，两种方式都

没写的，最后总分中扣1分。

方法四：

由％工

xex-ax~A+\nx(、、八“八卜一—―

---------a(------+l-x)>0对x>0怛成工

得x不

xex-a\x\x-ax-a>0x>0

即对恒成立

xex-a(\nx+x+1)>0x>0

即对恒成立

/?(x)=lnx+x+1xG(0,+oo)

设在上为增函数，

心」>0,心)=［一1<0

且eee"e

土o七(万，一)//(A0)=l+A0+lnA0=0

所以&。使

0<x</时，h(x)<0,

所以，当

x>/时，h(x)>0,

当

x=x1+x+Inx=06r(l+x+lnx)</e"忧

①当0时，,00成乂

6（'）=谭商（》内。）

(x+1)/(1+x+Inx)-xex(\+-)

G'(x)=x

(1+x+Inx)

(x+1)/(1+x+Inx)-xex(x+\)

(1+x+lnx)2

(x+\)ex(x+Inx)

(1+x+Inx)2

p(x)=lnx+xXG(0,-K»)

设在上为增函数,

p(-)=--l<0,p(D=l>0

且ee

3x.e(—,1)p(x,)=x.+Inx.=0

所以e使

xa

x>xl+x+lnx>0o4a<----------------xG(x,+oo)

②当n。时，即时，1+x+lnx对n」怛成乂

xQ<x<x]p(x)<0,G'(x)<0,G(x)为减函数

当E寸，

x>当时，p(x)>0,G'(x)>0,G(x)为增函数

当

则当％时,

GmM)=G(»)=1Tl=M

D.八x,eX1X1+,nX1=e°=l

又.+ln-=0