2021高考排列组合归纳20大专题（解析版）

专题1两个计数原理

类型一、加法原理

【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选

取代表的方法有几种.

【解析】18+38=56.

【例2】若a、6是正整数，且a+bW6,则以（小6）为坐标的点共有多少个？

【解析】6'6=36.

【例3】用。到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A.324B.328C.360D.648

【解析】由题意知本题要分类来解，

当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，

因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8创84=256

当尾数为。时，百位有9种选法，十位有8种结果，

共有9仓图1=72

根据分类计数原理知共有256+72=328

故选：B.

【例4】用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A.8B.24C.48D.120

【解析】由题意知本题需要分步计数，

2和4排在末位时，共有£=2种排法，

其余三位数从余卜的四个数中任取三个有£二4仓旧2=24种排法，

根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2'24=48（个）.

故选：C.

【例5】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成一个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.

【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重更即可，有2£二120个；

②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有/彳=48个；③千位数字为5时，百位数字是4,十位

数字是0,1之一时，有个；最后还有5420也满足题意.

所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.

故答案为175.

类型二、乘法原理

1

【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有种不同的走法.

【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，

则进门的方法有4种，出门的方法也有4种，

则不同的走法有4'4=16种

【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有.

【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：

第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，

同理第二个小球也有4种不同的放法，

第三个小球也有4种不同的放法，

即每个小球都有4种可能的放法，

根据分步计数原理知共有即4创44=64不同的放法，

故答案为：64.

【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求

甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种.

【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有6安

排方法，故不同的安排种法有6'《二120,

故答案为120.

【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调

查团，问选取代表的方法有几种.

【解析】C'・C；8=684

【例10】六名问学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？

【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，

可得共有不同的报名方法36=729种.

【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？

【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能，

因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有6创66:6,种可能

【例12】用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且

1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.

【解析】解析：可分三步来做这件事：

第一步：先将3、5排列，共有另种排法；

2

第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2/种排法；

第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有种排法.

由分步乘法计数原理得共有用・2片・以=40（种）.

答案为：40

【例13】从集合｛1,2,3,…，11｝中任选两个元素作为椭圆方程二y+4=1中的胴和〃，则能组成落在矩形

mn

区域8=｛（x,y）||x|<11,且|yK9）内的椭圆个数为（）

A.43B.72C.86D.90

【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，，/〃，所以有两类，

一类是小，〃从｛1,2,3,%6,7,8｝任选两个不同数字，方法有q=56

令一类是〃?从9,10,两个数字中选一个，〃从｛1,2,3,%6,7.8｝中选一个

方法是：2'8=16

所以满足题意的椭圆个数是：56+16=72

故选：B.

【例14］若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函

数解析式为y=--,值域为卜1,-9｝的“同族函数”共有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个

【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有-1、1中的一个和-3、3中的一个，

满足条件的定义有:｛-1,-3｝、｛-1,3｝、｛1,-3｝、｛1,3｝、｛-1,1,-3｝、｛-1,1,3｝、｛-1,-3,

3｝、｛1,-3,3｝、｛-1,1,-3,3｝,共9个.

故选：C.

【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数

字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设

计出来的密码共有（）

A.90个B.99个C.100个D.112个

【例16】从集合｛-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5）中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个

数之和不等于1,则取出这样的子集的个数为（）

A.10B.32C.110D.220

【解析】从集合｛-1,-2,-3,-4,0,1,2,3,4,5｝中，随机选出5个数组成

子集，共有GQ5种取法，即可组成个子集，

3

记”这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件力，

而两敬夕和为1的数绢分别为(-1,2).(-2,3),(-3.4)(-4,5).(0,1),

彳包含的结果有①只有有一组数的和为I,有C$1C43c21c21c21二160种结果

②有两组数之和为1,有。$2・。61=60种，

则A包含的结果共有220种

故答案为：220.

【例17］若％、y是整数，且|x|W6,|x|W6,则以(x,y)为坐标的不同的点共有多少个？

【解析】整数％,y满足|x|W6,|x|W6

则x1A-{-6,-5,-4,-3,-2,-1»0>1,2,3,4,5,6}>ytB-{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,

3,4,5,6},

从4种选一个共有13种方法，从8选一个共有13种方法，

故有13'13=169种.

故答案为：169.

【例18】用0,1,2,3,4,5这6个数字：

⑴可以组成个数字不重复的三位数.

⑵可以组成个数字允许重复的三位数.

【解析】(1)根据题意，分2步分析：

①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选I个，则百位有5种方法，

②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有6=20种选法，

则可以组成5'20-100个无重复:数字的三位数

(2)分3步进行分析：

①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法，

②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法，

③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法，

则可以组成5创66=180个数字允许重复的三位数；

【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？

【解析】3创33仓G30336

【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有()种.

A.5B.6C.7D.8

【解析】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少1名教师，

只有一种结果1.2,

首先从3个人中选2个作为一个元素，

使它与其他两个元素在一起进行排列，

共有6种结果，

故选：B.

类型三、基本计数原理的综合应用

【例21】用0,3,4,5,6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数

的个数是.（用数字作答）

【解析】按首位数字的奇偶性分两类：

一类是首位是奇数的，有:团W；

另一类是首位是偶数，有：

则这样的五位数的个数是：耳a+（吊-团）团=20.

故答案为：20.

【例22】若自然数〃使得作竖式加法〃+（〃+1）+（〃+2）均不产生进位现象.则称〃为“可连数”.例如：32

是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23+24+25产生进位现象.那么，小

于1000的“可连数”的个数为（）

A.27B.36C.39D.48

【解析】如果〃是良数，则〃的个位数字只能是0,1,2,非个位数字只能是0,1,2,3（首位不为0）,

而小于1000的数至多三位.

一位的良数有0,1,2,共3个

二位的良数个位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3'3=9个

三位的良数个位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3创43=36个.

综上，小于1000的“良数”的个数为3+9+36=48个

故选：D.

【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？

【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共20个.

故答案为：20

【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和.

5

【解析】因为385=5x7x11,在1〜385这385个自然数中，5的倍数有［字］=77（个），

7的倍数有［箜］=55（个），11的倍数有［箜］=35（个），

5x7=35的倍数有［票］=11（个），5x11=55的倍数有［迺］=7（个），

7x11=77的倍数有［券］=5（个），385的倍数有1个.

由容斤原理知，在1〜385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-（11+7+5）+1=145（个），

而5、7、11互质的数有385-145=240（个）.即分母为385的真分数有240（个）.

如果有一个真分数为二，则必还有另一个真分数箜二即以385为分母的最简真分数是成对出现的，

385385

而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1x120=120.

【例25】用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以组成个大于3000,小于5421的数字不重复的

四位数.

【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有26=120个；

②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有耳彳=48个；③千位数字为5时，百位数字是4,十位

数字是0』之一时，有44二6个；最后还有5420也满足题意.

所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.

故答案为175.

【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“创创创0000”到

“创创创9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，

则这组号码中“优惠卡”的个数为（）

A.2000B.4096C.5904D.8320

【解析】丁1OOOO个号码中不含4、7的有84-4096,

\"优惠卡''的个数为10000-4096=5904,

故选：C.

【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡

不同的分配方式有（）

A.68.9种C.11种。.23种

【解析】设四人分别为a、b、c、",写的卡片分别为力、B、C、D,

由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故。有三种拿法，

不妨设。拿了4,则人可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c♦和"只能有一种拿法，

所以共有3创39种分配方式，

6

故选：B.

【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目

插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）

A.504B.210C.336D.120

【解析】•••由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，

\三个新节目一个一个插入节目单中，

原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，

原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果

根据分步计数原理得到共有插法种数为7创89=504,

故选：A.

【例29】某班学生参加植树节活动，苗@1中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成

一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种白种树苗的种法共（）

A.15种B.12种C.9种D6种

【解析】•.•同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，

、只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果，

当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，

当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，

当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，

共有2种结果，

'总上可知共有4+2-6种结果，

故选：D.

【例30】用。到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）

A.324B.328C.360D.648

【解析】由题意知本题要分类来解，

当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，

因百位不能为0,所以百位有8种，十位有8种，共有8创84=256

当尾数为。时，百位有9种选法，十位有8种结果，

共有9创81=72

根据分类计数原理知共有256+72=328

故选：B.

7

【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，那么一个队打14场共得

19分的情况有（）

43种B.4种C.5种D.6种

【解析】得3分最多6场，则1分的1场，剩余的场次均得0分；若3分的共5场，则1分的共4场；若3

分的共4场，则1分的共7场；若得3分的共3场，则1分的共9场；若得3分的2场，则1分的13场，

不合题意，故选8

8

专题2排列数组合数

类型一、排列数组合数的简单计算

【例1】对于满足〃213的正整数〃，(/?-5)(/?-6)...(n-12)=()

A.A，B.A'C.D.A-

【解析】C.

【例2】计算耳=.

【解析】210

【例3】计算A：。，A：；

【解析】AJ=720；A®=720

【例4】计算C；=,C；=.

【解析】C"2LC”21

【例5】计算C：0,C；；

【解析】Cj1U=o120；C：=28

【例6】计算A；,A\,%嗑C：「C：9.

【解析】A5=210,Aj=5040,C?=35,%=1225,£+£=1140

【例7】已知A；"]=140A：,求〃的值.

【解析】由A&I=140A；,得伽+1)(2力(2〃叫伽一2)=140〃(〃叫(〃一2),故

(2/7+1)(2/?-1)=35(/2-2),BP4/72-1=35/7-70,解得〃-3或〃=,(舍)

【例8】解不等式4；＜64一2

【解析】8

【解析】由]；＜64；2,得(10一同(9—xj＜6,有x=8,才=9或x=10,又x«8,故x=8

【例9】证明：A；-9A：+8A；=A；.

【解析】证明:A；-9A；+8A”A；—A：+8A；=8A；=A；

【例10】解方程A；”100Aj.

【解析】13

9

【例11】解不等式A；<6A「.

【解析】同第9题

【例12］解方程：UC：=24C>

【解析】10

【例13】解不等式：C；-1>X；.

【解析】7或8

【例14】设叼表示不超过》的最大整数(如0=2,恪=1),对于给定的，定义C*="5T)匕

L4Jnx(x-1)LCr-［JT］+1)

「3、

xw［l,+8),则当xe—，3时，函数C；的值域是()

A.他28~|B.但56

_3J|_3)

(281,\f,161,.(28-

C.4A,—U［r28,56)D.4,—U—,2o8o

【解析】D.

【例15】组合数5(〃>「21,〃、下€2)恒等于()

A.—C^',B.(〃+l)G+l)C~；C.n£；l\D.-C^'

【解析】D.

【例16】已知(3，£歌£鬻=3:5:5,求m、〃的值.

【解析】由c：］:C：］=5:5知力+1+加+2=刀+2,即为+1=〃，又5C：+2=3C鬻，有加一3〃一1=0,

解m=2,〃=5.

类型二、排列数组合数公式的应用

【例17】己知C片+C/<《<%—《；，求.的值.

【解析】由cr+c；；v%〈C2-C7得CQ2<%<％,即〃=3,所以C；「1330.

【例18］若C『=Cr，ScN),则〃=

【解析】4

【例19］若C：T：C：:C：z=3：4：5,贝"-卬=

10

n\n\3

【解析】由得7初=3〃+3；

fa-1)l(/i—m+1)!m!(/i—m)!4'

nIn!4勿=27-

又----------F=E，得%?=4/7-5,解方程组有,故n-m=3Q[5

m\(n-m)\fa+1)!(/?-m-L)!□〃=62

【例20】证明:心=ft+l)CA+,+^CA

【解析】证明:Q+1)C丁+AC：=Q+1)3+gc"=〃c3+〃c3=〃c

n11n

【例21】证明:y—cy=_!—支c弋.

£/+i"〃+i£ff41

1n1

【解析】证明:z

n+1里C2+L

C*+

用一小~2~nOn+4

【例22】求证：A：T=A：：+S—l)At.

22

【解析】证明：A"：+(fli-l)A'-=S—勿+1)A“：+-DA"；=A«-I

【例23】证明：S"C：=〃-2f

*-0

【解析】证明：

£AC：=OC；+1C；+2C；+L+比；=1C；-2C；+L+仁=〃C"+〃C"+L+〃C>：=〃.犷

*-0

【例24】证明：C*+2C2+3C3+L+/?Ctf=-^°+C1+L+C").

i>2nn〃

【解析】证明:令S=C；+2C：+3C：+・・・+”C，

-1

则5=+…+3C：+2C；+C'=/©+(〃-]©•••+3c+2c丁+C"

所以2s=nC^+nC\,+nC：+〃C：+…+”C：=n(C[+C'+•••+C：)

nnnNnnnn

故c：+2a+3C+…+yq©+c：+…+c：)

【例25】求证：C；+C'+C\+L+C[=C-+I；

【解析】证明：C：+C；JC、2+L+C1

11

=6：：+C-）+C'+L+C；

=C/?+l+C\+L+Cn

/?+2〃+2n+ar

=（C：：；+G+2）+GJ・・+CL,

=C"；+C2L+Cn=L

/i+3n+3〃+肘

n+1

=Cn^a+1

【例26】计算：C2+Q,C：+C；+C>L+%

【解析】C；9+C^=CJOO=161700;

C；+C；+C；+L+C；3=e+C>C；+L+/=L=*=《=1902

【例27】证明：C：C：+C：C：T+C：C：2+L+C：C；=C".（其中AWm力血,〃｝）

【解析】算两次，现有加+〃个相同的球，其中黑球加个，红球〃个，现从这加+〃中取出攵个球（其中

kWh.AM，/?｝）,则共有C>种取法；另一方面，取出的4个球的颜色为红色的情形共有C：C"C'mc：-,

Cf；，……C”种情形,故C：C：+C：CACC：2+L+C"=C"

【例28】解方程C：+s=C：；"G；；+：A〉

【解析】由c1=c<+c/+,AL得，c"=c"+c二+3），

即C：“+C"=C"+?A>,有C;、A：3,解得X=14

【例29】确定函数A：的单调区间.

【解析】（x）=A；=1XG-DG_2）=L/—/+2*,求导/（切=¥-2X+2,故在［3,+oo）上单调递增.

3333

【例30】规定A：=xCr-l）La-加+1）,其中xeR,皿为正整数，且A：=l,这是排列数A：（〃，/〃是

正整数，且加的一种推广.

（D求A：的值；

⑵排列数的两个性质：①A；=〃A：：,②A：+mA：」=A：H（其中勿，〃是正整数）.是否都能推广到

A：（xwR,〃是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由.

【解析】（1）A:=（一⑸（-15-1）J15-2）=-4080

（2）性质①能推广，推广形式为A：=妫::，

12

证明：当初=1显然成立，

当勿\2时，A；=A-(X-1)(A--2)L(x-m+1)=X[(A--1)Cr-2)LG-卬十1)]=x[A：二[=AA二；，故成立.

性质②能推广，推广形式为A：+mA；=A：+1

证明：当m=1显然成立，

当初»2时，A*=X(¥-1)(Y-2)L(¥-/»+1),mA："二加才(¥—1)(Y-2)L(jc-m+2)

所以A：+勿A："=X(Y-1)(¥-2)L(x-m+1)+/2?^(Y-1)(Y-2)L(Y-/»+2)

=xCr-1)Gr-2)LCr一勿+2)[(x—6+1)+勿]

=Cr+l)xCr-1)Cr-2)LG—勿+2)

=A：+1

故性质②的推广成立.

13

专题3排队问题

例1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不

同的排法共有（）

A.1440种B.960种C.720种D.48Q种

【解析】可分3步.

第一步，排两端，丁从5名志愿者中选2名有6=20种排法，

第二步，•••2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有m=24种排法

第三步，2名老人之间的排列，有*=2种排法

最后，三步方法数相乘，共有20x24x2=960种排法

故选：B.

例2.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的

相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）

A.B.C；屋C.C；履D.

【解析】从后排8人中选2人共C；种选法，

这2人插入前排4人中且保证前排入的顺序不变，

则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；

余下的一人则要插入前排5人的空挡，

有6种插法，

.•.为《

故选：C.

例3.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，

若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（）

A.B.C；&C.C；A；D.

【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，

首先从后排的7人中选出2人，有C；种结果，

再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有片,

14

.••不同的调整方法有c；《，

故选：B.

例4.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）

A.6B.12C.24D.18

【解析】在数字1,2,3与符号”五个元素的所有全排列中，

先排列1,2,3,

有吊=6种排法，

再将“-”两个符号插入，

有用=2种方法，共有12种方法,

故选：B.

例5.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须

连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有（）

A.44B.力：6C.D.承：&

【解析】先把每种品种的画看成一个整体，

而水彩画只能放在中间，

则油画与国画放在两端有国种放法，

再考虑4幅油画本身排放有父种方法,

5幅国画本身排放有4种方法，

故不同的陈列法有团团&种，

故选：D.

例6.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，

则不同排法的种数是（）

A.360B.288C.216D.96

【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列

共有C；石力：4；=432种，

在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有2xC；用《用=144种,

15

不同的排列方法共有432-144=288种

故选：B.

例7.公因数只有1的两个数，叫做互质数.例如：2与7互质，1与4互质.在1,2,3,4,5,6,7的

任一排列四・4•巴•4•%•%•%中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有（）种.

A.576B.720C.864D.1152

【解析】根据题意，先排1、5、7,有@=6种情况，排好后有4个空位，

对于2、4、6和3这四个数，

分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有团=24种情况，3不能放在6

的两边，有.5种排法，则此时有24x5=120种不同的排法，

②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有4：=12种情况，则此

时有2x12=24种不同的排法，

则2、4、6和3这四个数共有120+24=144种排法；

则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6x144=864种；

故选：C.

例8.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人

的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.168B.20160C.840D.560

【解析】从后排8人中选2人共C；种选法，

这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，

则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；

余下的一人则要插入前排5人的空挡，

有6种插法，「.6x5

则不同调整方法的种数是仁彳=840.

故选：C.

例9.2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾

救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决

定将这8列列车编成两组，每组4歹U，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后

16

一个开出.如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有（）

A.36种B.108种C.216种D.720种

【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有

再将两组分别按要求排序，各有《种，

因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有=720种.

故选：D.

例10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）

A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法

B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法

C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法

D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法

【解析】4中4：H=576,

8中可&=720,

C中+3团）=1440,

。中=1440.

综上可得：正确.

故选：CD.

例11.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相

邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有576个.（用数字作答）

【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有用种结果，

这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有团种结果，

三对相邻的元素内部各还有一个排列4，

根据分步计数原理得到这种数字的总数有彳片片=576,

故答案为：576.

例12.5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数

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(1)甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种.

(2)甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种.

(3)甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有种，丙在

甲乙之间(不要求一定相邻)的排法有种.

(4)甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种.

(5)5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种.

(6)女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种.

(7)甲与乙、丙都不相邻的排法有____种.

(8)甲乙之间有且只有4人的排法有种.

【解析】(1)甲站正中间的排法有8!,用不站在正中间的排法有8x8!；

(2)甲、乙相邻的排法有2x8!,甲乙丙三人在一起的排法有6x7!；

(3)甲站在乙前的排法有‘9!,甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有19!,丙在甲乙之

26

间(不要求一定相邻)的排法有;9!；

(4)甲乙不站两头的排法有片㈤；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9!-2x8!+7!；

(5)5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有2x5!x4I；

(6)女生互不相邻的排法有5!义心男女相间的排法有5!x4!；

(7)甲与乙、丙都不相邻的排法有9!-2x8!x2+2x7!；

(8)甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法.2x4；x4!.

故答案为：(1)8!,8x8!(2)2x8!,6x7!(3)-9!,-9!,-9!；

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(4)44；9!-2x8!+7!；(5)2x5!x4!；(6)5!,5!x4!x2

(7)9!-2x8!x2+2x7!；(8)2x4；x4!.

例13.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火,

火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法

有10种(结果用数值表示).

【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，

则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，

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第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，

故总的排列方法种数有5x2x1x1x1=10

故答案为10

例14.从集合｛尸，Q,R,S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排（字母和

数字均不能重复）、每排中字母。和数字。至多只能出现一个的不同排法种数是一5832.（用数字作答）、

【解析】各任取2个元素排成一排（字母和数字

均不能重复），共有每排中字母0和数

字0都出现有

符合题意不同排法种数是

C：G3：—GC；4：=5832.

故答案为：5832

例15.从集合｛O,P,。，R,S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排（字

母和数字均不能重复）.每排中字母。，0和数字。至多只能出现一个的不同排法种数是（用数

字作答）.

【解析】由题意知每排中字母。，。和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解

（1）这三个元素只选。，有C；C；4=3x36x24

（2）这三个元素只选。同理有3x36x24

（3）这三个元素只选0有=3x9x24

（4）这三个元素000都不选有=3x36x24

根据分类计数原理将（1）（2）（3）（4）力口起来3x36x24+3x36x24+3x9x24+3x36x24=8424

故答案为：8424

例16.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本.将它们任意地排成一排，

左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_奈_（结果用分数表示）.

【解析】由题意知本题是一个古典概型，

总事件数是8本书全排列有《种方法，

而符合条件的事件数要分为二步完成：

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首先两套中任取一套，作全排列，有&・