平移与旋转的教学研究与案例分析

平移与旋转的教学研究与案例分析邯山区渚河路小学李敏一、引子领导老师们好！感谢书记能再次给我这个机会，交流假期备课和教学实践中的一些思考。今天，和大家交流的主题是“平移与旋转的教学研究与案例分析”选择这个话题，因为曾经在教学三年级“简单图形的平移”内容时感觉学生理解有一定难度，曾经学习过相关的一些内容给我带来一些思考，假期针对这一内容进行了比较深入的学习，并设计其中冀教版三年级下册“简单图形的平移”一课，拿来与大家分享，希望能得到在座专家、老师们的一些指导、建议，使我们能更有效的把握这部分内容的教学。我们知道“图形与几何”是小学数学教学四大领域中的一项重要内容，其中包括“图形的认识”、“测量”、“图形的运动”、“图形与位置”四部分内容，而“平移与旋转”就是“图形的运动”中的重要内容，本次我主要围绕着这样一个主题重点从四个方面与老师们进行研讨与交流：1.“图形的运动”具体包括哪些内容？在小学里，学习平移，旋转和这些知识的价值是什么？2.《2011版课程标准》与2001年实验稿课标相比，关于“图形的运动”部分在每一个学段的教学目标有哪些变化？3、“图形运动”常用的教学策略有哪些？4、冀教版三年级下册“简单图形的平移”一课的案例分析。

话题一：“图形的运动”具体包括哪些内容？在小学里，学习平移，旋转和这些知识的价值是什么？1、图形的运动。在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；可以直观地想一想，两个图形是完全一样的，要由这个图形运动得到那个图形，可以通过怎样的运动。首先可以是平移，或者两个图形需要经过旋转重合；或者是图形需要经过反射（翻折）重合了。上面的变换就是我们所说的平移、旋转变换和反射变换（轴对称变换），实际上一个图形经过反射变换后得到另一个图形，这两个图形是成轴对称的。这三种是三种基本的全等变换。二是形状不变而大小变化（相似运动）。我们课本的图形放大或缩小就是对应的内容。不过我们这里讲的“放大或缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，为初中学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础。按照《课程标准》的要求，小学一到六年级中，图形的运动主要指合同运动，包括图形的平移、旋转和轴对称，还有简单图形扩和缩的知识内容。通过这部分内容的学习，可使学生更好地认识现实中大量的图形运动的现象，能以运动的观点认识图形，欣赏与设计图案。对于小学生而言通过操作活动直观感受到，平移就是沿着一定的方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角度，了解这从上表中不难看出，《标准》在第一学段适当降低了要求，修订后更加关注能辨认简单图形平移后的图形，但在方格纸上画出简单的轴对称图形这个要求已经去掉了，而将其放入了第二学段，因为在实际教学中，还是感觉学生对这一内容还是感到比较抽象、不易理解。在第二学段，修订前它强调要画出轴对称变化后的图形，那么在修订后要求是补全这个轴对称图形。这微小的变化，说明这一部分的要求是适当降低难度，这样的话，这两个学段的层次就很明确了：第一学段，结合实例，通过观察、操作，直观认识平移、旋转和轴对称。第二学段，通过在方格纸上作图等活动，定量刻画运动，体会平移、旋转、轴对称的特征；体会图形的相似。修改后的课标在这部分降低了难度，更加强调观察与操作，让学生能够积累数学的活动经验，在经验积累的过程中，逐步去建立和培养学生的空间观念。

《标准》更加明确了两个学段的层次，教学中要把握好各自的侧重点和联系。第一学段，侧重于对这三种运动的直观认识。学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受，了解平移、旋转和轴对称；并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。其实，学生很早就有了物体或图形运动的经验，他们通过折纸、转风车、照镜子等获得诸如平移、旋转、反射等的体验。生活中的许多现象，如旗帜升起、螺旋桨转动等，以及建筑、植物（如枫叶）、动物（如蝴蝶）等物体为学生认识平移、旋转、反射提供了丰富的素材。教师应注意收集并利用这些素材，鼓励学生对这些素材加以分析（分类、比较），进而了解、归纳、发现什么是平移，什么是旋转，什么是轴对称及各种运动的特点，从而直观认识图形的运动现象。第二学段，对于这三种运动，借助在方格纸上画图去定量刻画图形的运动，并通过丰富的活动体会三种运动的特征。看下面的例子：方格图中的图1向右平移（）个格得到图2。学生在解决这一问题时，已经开始探索如何定量刻画平移。学生在处理这个问题时还是存在一些困难的，比如学生在找平移格数时，常常会不去找平移前后两个对应点之间的格数，而是房子中间空白那一段的格数，得到平移2格的错误答案。此时，教师们会运用这样的策略：鼓励学生观察局部的点（如房子顶）的变化情况，通过一格一格的数来寻找正确的格数。这已经开始从整体感知运动到细致刻画变换了，当然这个过程是通过操作实现的。教学中需要注意的是，第一，操作应该与适当的想象相结合。开始可以先操作然后再去回想变换的过程，积累一定经验后可以先去想象，然后再去操作，然后再回想。第二，教师还应明确教学要求，特别是作图的要求。首先小学阶段的作图是在方格纸上。另外，对于平移的作图，只要求做基本图形沿水平方向、竖直方向的平移；对于旋转来说，要求做基本图形旋转90度后的图形。《标准》不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度。方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，能更好地使学生认识和描述空间图形的变换过程，可以有效地促进学生对空间概念的建立。话题三:“图形的运动”内容常用的教学策略有哪些？1.结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动。首先，生活中大量存在这样的素材，学生大量接触，有丰富的生活经验。课程内容的选择就要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。再者，从学生思维发展来说，儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给与支撑，对感知图形运动这样抽象概念来说尤其重要。小学阶段关于图形的运动定位在积累感性体验，形成初步认识。因此，必须结合实例展开教学，才更符合学生的认知规律。（如：吴正宪讲平移旋转课时……）这样做，一方面有利于激发学生学习图形运动的兴趣，另一方面使学生进一步体会到数学与生活的密切联系，发展学生的概括能力。2.借助操作活动，加深对图形运动的认识，帮助学生体会运动的特征。这种策略尤其在学生对图形进行定量刻画时尤为重要。比如研究图形在方格纸上平移了几格，学生常出的错误是：不是找平移前后两个对应点之间的距离，而是中间空白那一段的距离。要客服这个问题，必须通过操作，然后引导学生再次操作——牵住一个点平移整个图形，然后在脑中想象这一平移过程，学生就好理解了，也便于学生总结方法。还有在旋转时，将一个直角三角形绕直角那个顶点顺时针旋转90°。有的学生想象不出了。可以通过旋转三角形加深理解，也可以借助铅笔，分别将三角形的两条边旋转确定位置及长度，然后抛开铅笔，想象着旋转直角边。通过这样的活动，将操作与想象结合起来，逐步培养学生的这种空间观念、发展几何直观。3.注重从运动的角度，引导学生欣赏图形、设计图案。如，一位老师在教学《图形的旋转》一课时，引导学生借助信息技术，动态呈现一些基本图形旋转后形成的美丽图形、图案以及生活中的应用，鼓励学生从变换的角度去欣赏，感受其中蕴涵的美，体会数学的应用价值。并注意鼓励学生从不同角度观察图形，识别不同的基本图形发生了怎样的变换之后，形成了同一个图形，体验图形旋转的美妙，同时也激发了学生的创造性思维，为后面利用图形变换自己设计、制作图案做了孕伏。4．在解决问题中注重“图形的运动”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力。如从运动变换的角度来认识图形，像长方形沿着长边旋转就可以成为一个圆柱体，就是柱体的形成，它体现了和圆柱体之间的联系。再如从运动变化的角度来理解度量，把两个完全一样的三角形，通过旋转平移就可以拼成一个平行四边形，用它来推导公式效果会更佳。总之，小学阶段有关图形的运动的目标的达成是一个循序渐进的过程，教师在课堂教学中应该注重多种策略的运用，以这个内容为载体，帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观。

话题四：冀教版三年级下册“简单图形的平移”一课的案例分析。一、教材分析《简单图形的平移》是冀教版三年级下册一单元第二课时的内容。本节课是在学生初步认识了旋转与平移现象的基础上进行教学的。教材主要是通过动手操作让学生感受、认识图形的平移。共安排了两个环节。首先，让学生在方格纸上按要求平移长方形纸片，了解平移过程中的两个要素：移动的方向和移动的距离，弄清纸片从一个位置平移到另一个位置时平移方向和平移距离的含义。第二个环节，在“试一试”中引导学生在方格纸上画出简单图形沿水平或竖直方向平移后的图形。再通过“练一练”，让学生进一步感受平移现象，掌握画图技能，发展初步的空间观念。二、教学目标1、结合操作活动，经历人生图形平移和在方格纸上画平移图形的过程。2、能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。3、在探索简单图形平移的过程中，发展空间观念。教学重点：1、学会判断方格图上图形平移的方向和格数。2、能在方格图上将图形按指定的方向和格数平移。教学难点：1、判断方格图上图形平移的方向和格数。2、平移的作图。3、帮助学生建立空间观念。三、学情分析学生在上节课已经初步认识了旋转和平移现象，本节课对于平移的方向，学生容易理解；但对图形平移的距离，学生往往会把平移前后图形间的空格数误认为平移的距离。四、教学设计（一）、回顾旧知、揭示新课上课伊始，引导学生说说生活中的旋转、平移的实例，回顾旋转和平移的特征，巩固旧知，揭示课题，引出新课。（二）游戏激趣、铺垫孕伏1、手势游戏、渗透新知出示方格图，让学生想象眼前有这样一幅方格图，（黑板贴出）（课件），然后右手握拳放在胸前，听老师口令平移拳头，边平移边数格数，看谁反应快！如，师：向上平移3格！1、2、3！归位！向左平移4格！归位！等等。通过活动，迅速激发学生学习兴趣，巧妙渗透平移知识。2、点的平移、示范引领想象把拳头缩小为方格图上的一枚棋子（课件），让学生听命令走棋子。如，向右平移5格，向左平移3个，等等。使学生在游戏中感受点平移的方向并注意引导正确数出点平移的格数。为判断图形的平移作了再次铺垫。3、线的平移,拓展思路。接着让学生判断一条线段平移的方向和距离，让学生明白线段平移前后之间的距离是多少。为探究图形的平移又一次进行铺垫。同时，也为判断图形的平移提供了一种方法。（三）合作探究、总结方法1、操作想象，互动生成（课件）（1）出示图，学生观察，想一想A到B向哪平移几格。然后每人拿出格子图、长方形卡片，操作验证后，请学生演示。故意反问：奇怪，中间明明空着3格，怎么却不是平移了3格呢？操作后学生肯定知道，3格到不了。课件再来演示一遍。有的学生可能就会发现：空格+图形自身格数=平移格数。（没有发现不追问）总之，追问——纠正学生直觉的错误。操作和演示——帮学生形成正确认识，为脱离实物，形成想象奠定基础。（2）启发学生从拿着整张卡片平移，能否转化为牵住一个点平移，就好像人们牵牛时，只要牵住哪儿，就能把牛轻松牵走？（牛鼻子）能否在图形上也找这样一个牛鼻子，牵着牛鼻子往前走？课件示范牵着一点向右移。要求，每走一步，要想象整个图形被牵到什么位置了。（课件）（5格）到位了吗？通过刚才活动，你发现什么？启发学生发现：可以牵着牛鼻子平移图形；牛鼻子平移了几格，图形就平移了几格。从而发现数平移格数的简便方法：找到一个点，看它到对应点平移了几格，则图形就平移了几格。通过课件化静为动，化虚为实，从具体形象逐步过渡抽象，为学生提供合理想象的支架，便于学生建立空间观念。同时，牛鼻子的形象比喻，生动有趣，便于理解和想象。（3）启发学生换个牛鼻子再来数一数。直接在自己的方格纸上，然后同桌展示所选的“牛鼻子”及“牛鼻子”的平移过程交流，学生展示。这里注意纠正学生的错例：主要是点不对应的问题。（4）牛鼻子是图形上的一些点，能否牵住边移一移呢？自己尝试、小组交流、小组展示。（5）引导学生总结完善方法：找出一组对应点或对应边，数出他平移的格数就是图形平移的格数。【通过换点数一数、找边数一数，在多次的平移过程中，发散学生思维，丰富学生对数格方法的认识。使学生形成技能。】2、及时巩固，形成技能对书上（2）、想一想的要求，留给学生独立完成，组内交流、小组展示。3、拓展延伸、深化提高师：通过找牛鼻子，数牛鼻子，学会了判断一个图形向哪里平移了几格。其实“牛鼻子”还有一个更大的用处，那就是帮助我们方便快捷地平移图形。（课件）出图，把图左移2格，怎样移最方便？讨论，集体交流。明确：选一点、或一条边平移确定位置，再画图。学生自主尝试完成“试一试”2个问题。组内交流选了那个点或那条边？怎样平移、画图的。教师巡视，查找典型错例。小组展示。展示典型错例，引导辨析：移的距离错了、图的位置反了等情况。【有了前面深入探究，为此处自主探究奠定基础。自主探究，使学习更有挑战性，学生能拾阶而上。】4、完成蓝灵鼠的要求，展示学生作品。四、训练应用完成书中练一练1—4题。1、2题趣味性很强，能让学生轻松巩固已学知识，化学习被动为主动，化抽象为具体，激发学生内心深处的学习兴趣，也为教师及时提供学生评价和反馈信息的方法与途径。3、4针对重点难点训练，巩固新知。最后，增加游戏题，设计格罗斯方块练习，让学生说平移格数，在玩中巩固新知，寓教于乐。《2011版数学课程标准》在“图形与几何”领域仍然增加了“平移，旋转，放大与缩小这些内容”，只是把“图形与变换”改为“图形的运动”。所谓图形的运动，在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）。1.从学生角度来看现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，例如，电梯、地铁列车在平行移动；钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动；许多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。我们希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法。2．从数学发展的角度来看1872年，德国大数学家克莱茵发表“爱尔兰根纲领”的演说，这个里