平行四边形典型例题

平行四边形典型例题1．已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F．求证：四边形AECF是平行四边形错证：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD，OF⊥BC

∴∠AEO=∠CFO=90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，AD∥BC

∴∠EAC＝∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS）

∴OF=OE∴四边形AECF是平行四边形错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线．正确证明：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD

OF⊥BC

∴∠AEO＝∠CFO＝90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，AD∥BC

∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS）

∴OF＝OE又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC∴E、O、F三点共线∴四边形AECF是平行四边形2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线．解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单．证明：在Rt△ABC中

∵AC＝BC

∴∠B=45°又∵E、D分别为AC、BC的中点∴EC＝DC

∴∠CED＝∠CDE＝45°∴∠AEF＝∠CED＝45°

∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°∴F、E、D在一条直线上

∵∠EAF＝∠C＝90°

∴AF∥CD又∵AF＝CD＝DB

∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45°3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便．分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分．证明方法（一）在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．∴△ABF≌△CDE

∴AF＝CE同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形方法（二）连AC交BD于O在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD∵BF＝DE

∴OE=OF

∴四边形AECF为平行四边形C．两条对角线互相平分

D．一对邻角互补6．以下结论正确的是（

）A．对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形．B．一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形．C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形．D．对角线相等的四边形是平行四边形．7．在□ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E，F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（

）A．AE、CF分别平分∠DAB、∠BCDB．AE，CF使∠BEA＝∠CFDC．E、F分别是BC、AD的中点D．BE＝BC，AF＝AD8．□ABCD对角线交点为O，△OBC的周长为59cm，且AD＝28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为（

）A．12cm和9cm

B．24cm和38cmC．8．5cm和22．5cm

D．15．5cm和29．5cm四、解答题1．如图12-1-31所示，在□ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，四边形AECF是平行四边形吗？2．如图12-1-32所示，四边形ABCD中∠B＝∠D，∠1＝∠2，则四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？3．如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB上一点，若∠ECD＝∠FAB，EC＝AF，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？4．如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，∠DBC＝90°，FD⊥AD于D，求证四边形ABCD是平行四边形．5．如图12-1-35所示，△ABC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分，MD∥AB，NE∥AC求证：BD＝DE＝CE五、证明题1．已知：如图12-1-18，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE＝CF（2）AE∥CF2．已知：如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DE＝BF，求证AE＝CF参考答案一、填空题1．平行四边形

点拨：由一组对边平行且相等，即可判断2．平行四边形3．130°，50°，130°4．平行四边形

点拨：由题意可得两组对边分别平行5．4个

点拨：□ABCD，□ADFE，□EFCB，□EDFB6．3个

□AECF，□APCQ，□AMCN二、判断题1．√

2．×点拨：对角线不一定相等，但互相平分3．√

4．√5．×点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分

6．√三、选择题1．B

2．D

3．A

4．D

5．C

6．C

7．B

8．B四、解答题1．解：四边形AECF是平行四边形点拨：由□ABCD知∠BCD＝∠BAD，又AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，故∠EAF＝∠ECF，又∠AF∥EC，故∠AEC+∠EAF＝18O°，即∠AEC+∠ECF＝18O°，所以AE∥CF，故四边形AECF是平行四边形．2．解：四边形ABCD是平行四边形由∠1＝∠2得DC∥AB，所以∠D+∠DAB＝18O°，又∠B＝∠D，所以∠DAB+∠B＝180°，所以AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．3．解：是平行四边形点拨：AB∥CD，故∠ACD＝∠CAB，又∠ECD＝∠FAB，故∠ACD-∠ECD＝∠CAB-∠FAB，即∠ACE＝∠CAF，所以CE=AF，CE＝AF，故AFCE是平行四边形．4．证明：∵BD⊥AD

∴∠BDA=90°∵∠DBC＝90°，DC＝AB，DB＝DB∴△ADB≌△CBD

∴AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形5．证明：∵NE，MD互相平分∴四边形MNDE为平行四边形

∴MNDE又∵MD∥AB，NE∥AC

∴四边形MNBD、MNEC为平行四边形∵MN＝BD，MN＝CE

∴BD=DE＝CE五、证明题1．证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴ABDC

∴∠ABE＝∠CDF在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）

∴AE＝CF

∴