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文档简介
平行四边形典型例题1.已知如图12-1-19,所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE上AD于E,OF⊥BC于F.求证:四边形AECF是平行四边形错证:在△AOE和△COF中∵OE⊥AD,OF⊥BC
∴∠AEO=∠CFO=90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA=OC,AD∥BC
∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF(AAS)
∴OF=OE∴四边形AECF是平行四边形错误分析:上面证明由OF=OE,OA=OC不能说明EF与AC互相平分,因为原题设中没有说明E、O、F三点共线,因此先证E、O、F三点共线.正确证明:在△AOE和△COF中∵OE⊥AD
OF⊥BC
∴∠AEO=∠CFO=90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA=OC,AD∥BC
∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF(AAS)
∴OF=OE又∵AD∥BC,OE⊥AD,OF⊥BC∴E、O、F三点共线∴四边形AECF是平行四边形2.如图12-1-22所示,现有一块等腰直角三角形的铁板,通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形,请你设计一种最简单的方案,并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形.分析:运用三角形全等,平行四边形的识别方法来解答,在证明时不要忽略证明F,E,D共线.解:取AC、BC的中点E、D连结ED,则沿ED切割下来,如图使点E不变,点C与点A重合,再焊接上去最简单.证明:在Rt△ABC中
∵AC=BC
∴∠B=45°又∵E、D分别为AC、BC的中点∴EC=DC
∴∠CED=∠CDE=45°∴∠AEF=∠CED=45°
∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED=180°∴F、E、D在一条直线上
∵∠EAF=∠C=90°
∴AF∥CD又∵AF=CD=DB
∴四边形AFDB是平行四边形,且∠B=45°3.如图12-1-23,在□ABCD的对角线上取两点E、F,且BF=DE,请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形,并指出哪种方法最简便.分析:可证两组对边分别相等,也可证对角线互相平分.证明方法(一)在△ABF和△CDE中,AB=CD,BF=DE,∠ABF=∠CDE.∴△ABF≌△CDE
∴AF=CE同理可证AE=CF,故四边形AECF是平行四边形方法(二)连AC交BD于O在□ABCD中,OA=OC,OB=OD∵BF=DE
∴OE=OF
∴四边形AECF为平行四边形C.两条对角线互相平分
D.一对邻角互补6.以下结论正确的是(
)A.对角线相等,且一组对角也相等的四边形是平行四边形.B.一边长为5,两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形.C.一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形.D.对角线相等的四边形是平行四边形.7.在□ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,如果点E,F分别由下列各种情况得到的,那么四边形AECF不一定是平行四边形的是(
)A.AE、CF分别平分∠DAB、∠BCDB.AE,CF使∠BEA=∠CFDC.E、F分别是BC、AD的中点D.BE=BC,AF=AD8.□ABCD对角线交点为O,△OBC的周长为59cm,且AD=28cm,两对角线之差为14cm,则对角线长为(
)A.12cm和9cm
B.24cm和38cmC.8.5cm和22.5cm
D.15.5cm和29.5cm四、解答题1.如图12-1-31所示,在□ABCD中,AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,四边形AECF是平行四边形吗?2.如图12-1-32所示,四边形ABCD中∠B=∠D,∠1=∠2,则四边形ABCD是平行四边形吗?为什么?3.如图12-1-33所示,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是OD、OB上一点,若∠ECD=∠FAB,EC=AF,则四边形AECF是平行四边形吗?为什么?4.如图12-1-34所示,四边形ABCD中AB=CD,∠DBC=90°,FD⊥AD于D,求证四边形ABCD是平行四边形.5.如图12-1-35所示,△ABC中DE在BC边上,N、M在AB、AC上,且EN与DM互相平分,MD∥AB,NE∥AC求证:BD=DE=CE五、证明题1.已知:如图12-1-18,在□ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF.求证:(1)AE=CF(2)AE∥CF2.已知:如图12-1-19,四边形ABCD为平行四边形,E、F是直线BD延长线上的两点,且DE=BF,求证AE=CF参考答案一、填空题1.平行四边形
点拨:由一组对边平行且相等,即可判断2.平行四边形3.130°,50°,130°4.平行四边形
点拨:由题意可得两组对边分别平行5.4个
点拨:□ABCD,□ADFE,□EFCB,□EDFB6.3个
□AECF,□APCQ,□AMCN二、判断题1.√
2.×点拨:对角线不一定相等,但互相平分3.√
4.√5.×点拨:对角线不平分一组对角,只是自己互相平分
6.√三、选择题1.B
2.D
3.A
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B四、解答题1.解:四边形AECF是平行四边形点拨:由□ABCD知∠BCD=∠BAD,又AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,故∠EAF=∠ECF,又∠AF∥EC,故∠AEC+∠EAF=18O°,即∠AEC+∠ECF=18O°,所以AE∥CF,故四边形AECF是平行四边形.2.解:四边形ABCD是平行四边形由∠1=∠2得DC∥AB,所以∠D+∠DAB=18O°,又∠B=∠D,所以∠DAB+∠B=180°,所以AD∥BC,即四边形ABCD为平行四边形.3.解:是平行四边形点拨:AB∥CD,故∠ACD=∠CAB,又∠ECD=∠FAB,故∠ACD-∠ECD=∠CAB-∠FAB,即∠ACE=∠CAF,所以CE=AF,CE=AF,故AFCE是平行四边形.4.证明:∵BD⊥AD
∴∠BDA=90°∵∠DBC=90°,DC=AB,DB=DB∴△ADB≌△CBD
∴AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形5.证明:∵NE,MD互相平分∴四边形MNDE为平行四边形
∴MNDE又∵MD∥AB,NE∥AC
∴四边形MNBD、MNEC为平行四边形∵MN=BD,MN=CE
∴BD=DE=CE五、证明题1.证明:∵四边形ABCD为平行四边形∴ABDC
∴∠ABE=∠CDF在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF
∴
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